Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего

Иммануила Канта»
Институт природопользования, территориального развития и градостроительства
ПРОЕКТНАЯ РАБОТА

На тему: «Применение

понятия множества»
Специальность: 07.02.01 Архитектура

Разработала студентка
Группы А-11
________П.В. Мамонкина
Руководитель
________Е.Х. Тавгер
Консультант
________И.О. Сидоренко
 

Калининград
2020г.

НАД МНОЖЕСТВАМИ
2.1 Объединение
2.2 Пересечение
2.3 Разность
Заключение
Список использованной литературы

стала основой многих разделов математики — общей топологии, общей алгебры,

функционального анализа и оказала существенное влияние на современное понимание предмета математики. В первой половине XX века теоретико-множественный подход был привнесён и во многие традиционные разделы математики, в связи с чем стала широко использоваться в преподавании математики, в том числе в школах.
Людям постоянно приходится иметь дело с различными совокупностями предметов, что повлекло за собой возникновение понятия числа, а затем и понятия множества, которое является одним из основных простейших математических понятий и не поддается точному определению.
Множества это – специальная самостоятельная тема, которая относится к области основ математики.
Множества как тип данных оказались очень удобными для программирования сложных жизненных ситуаций, так как с их помощью можно точно моделировать объекты реального мира и компактно отображать сложные логические взаимоотношения.
Интуитивно под множеством понимается совокупность определенных, вполне различимых объектов, рассматриваемых как единое целое. Как правило, термин множество объясняется с помощью примеров, а потом указываются правила его использования в математических применениях.

его следует отнести к аксиоматическим понятиям. Одним из наиболее устоявшихся

определений множества является следующее: под множеством понимают любое собрание определённых и отличных друг от друга объектов, мыслимых как единое целое. Создатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) говорил так: "Множество есть многое, мыслимое нами как целое".
В математике изучаются множества чисел, например, состоящие из всех:
натуральных чисел 0, 1, 2, 3, 4, ...
простых чисел
чётных целых чисел
Универсальность этого понятия в том, что под него можно подвести любую совокупность предметов. Здесь годится все – марки, числа, люди, точки, звезды, тигры, векторы, функции и т.д. Даже сами множества могут объединяться во множества. Например, математики говорят про множество фигур на плоскости, про множество тел в пространстве, но каждую фигуру, каждое тело они представляют как множество точек.
Следует подчеркнуть, что о множестве можно вести речь только тогда, когда элементы множества различимы между собой. Например, нельзя говорить о множестве капель в стакане воды, т.к. невозможно четко и ясно указать каждую отдельную каплю.
Множества, все элементы которого являются числами, называются числовыми множествами. Множества, элементами которого являются другие множества, называются классом или семейством.

1 

прямой. Например: а) A={x, xN, x5} А - это множество, состоящее из первых пяти натуральных чисел, на координатной прямой отмечается пятью точками.

В математике приходится постоянно сталкиваться с бесконечными множествами (нельзя сказать, сколько элементов в этих множествах, нельзя их полностью перебрать). Например: множества натуральных, целых, четных, нечетных чисел и многие другие.
 
 

части. Это называется выделением подмножеств:
Множество В называется подмножеством множества А, если все элементы В принадлежат и А: В  А – В включено (или

содержится) в А. Если хотя бы один элемент В не содержится в А, то B  A –В не подмножество (не включено в) А. (см. рисунок 1.1.).

Считают, что каждое множество А является подмножеством самого себя. A  A.
Любое непустое подмножество В множества А, не совпадающее со множеством А, называется собственным подмножеством. Для множества А пустое множество  и само множество А называются несобственными подмножествами множества А. Множество, которое включает все рассматриваемые множества, называется универсальным. Обозначается U.
Любое множество можно изобразить графически, нарисовав замкнутый контур и представив себе, что элементы этого множества изображены точками, находящимися внутри этого контура. Показывать на рисунке точки не обязательно. Универсальное множество изображается в виде прямоугольника. Такой способ изображения множеств носит название диаграмм Венна (или кругов Эйлера ). Чаще называется диаграммами Эйлера-Венна.

состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных

множеств. Объединение записывается как:
AB=x:x А или х В или обоим множествам
Если представить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то объединение данных множеств изобразится заштрихованной областью (см. рисунок 2.1.).

Пример:
Пусть А=1,3,6,8 и В=2,4,6,8, тогда Объединение А и В есть АВ=1,2,3,4,6,8. При этом элементы 6 и 8 принадлежат обоим множествам.
Аналогично определяется объединение более чем двух множеств. Объединение трех множеств АВС, каждый, из элементов которого принадлежит хотя бы одно­му из множеств А, В и С:
АВС=х:хА или хВ или хС
Объединение множества положительных чётных чисел и множества положительных нечётных чисел является множество натуральных чисел.
Если в выражении есть С и Е множеств, но нет скобок, то сначала выполняют С.

2.2Пересечение
Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно.
Пересечение записывается как:
АВ=х:х А х В.

Эйлера, то пересечение данных множеств изобразится заштрихованной областью (см. рисунок

2.2)

Пример:
А=1,2,3,4,5; В=4,5,6,7
АВ=4,5
Пересечение более чем двух множеств определяется аналогичным об­разом. Пересечение трех множеств А, В и С есть множество элемен­тов, которые принадлежат А, В и С: АВС=х:х А и х В и х С.
Если множеств А и В не имеют общих элементов, то их пересечение пусто: АВ=. Такие множества А и В называются непересекающимися.
Пусть А – множество целых положительных чисел, а В – множество целых отрицательных чисел. Тогда А и В – непересекающиеся множества, так как не существует целых чисел, которые были бы одновременно и положительными, и отрицательными.
 

2.3Разность
Разностью двух множеств А и В называется множество, элементами которого являются те и только те элементы множества А, которые не принадлежат В. При этом предполагается, что множество В не является частью множества А. Разность множеств А и В обозначается А/В и по определению А/В=х:х А и х В. Таким образом, при вычитании множества В из множества А из А удаляют пересечение А и В:

А/В=А/(АВ).

понятия множества, а также способы его задания, подмножества и операции

над множествами. Кроме того, в моей проектной работе даны такие определения, как: непересекающиеся множества, универсальное множество, собственное подмножество, характеристическое свойство, пустое множество и т.д.
Теория множеств может быть активно использована на практике и в теории управления системами, в финансах и экономике для решения задач при условии неопределенности основных показателей. Например, такая техника, как фотоаппараты и некоторые стиральные машины, оборудована нечеткими контроллерами. Также множества как тип данных оказались очень удобными для программирования сложных жизненных ситуаций, так как с их помощью можно точно моделировать объекты реального мира и компактно отображать сложные логические взаимоотношения. Множества применяются в языке программирования Паскаль.
Таким образом, мы убедились, что теория множеств имеет важное прикладное значение и может применяться в различных областях.

2 : учеб. Пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений

/ Г.М. Аматова, М.А. Аматов. – М. : Издательский центр «Академия», 2008. – 240 с.
Истомина Н.Б. Математика: учимся решать комбинаторные задачи (1-3 кл.)/ – Ассоциация XXI век, 2014.
К. Куратовский, А. Мостовский. Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — 416 с.
Петерсон Л.Г. Математика. Учебники для 1–4 классов. – М., 2000.
Стойлова Л.П. Математика: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб.заведений М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 424 с.
Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. / Перевод с английского Ю. А. Гастева и И. Х. Шмаина под редакцией Ю. А. Шихановича. — М.: Просвещение, 1968. — 232 с.
Столяр А.А., Лельчук М.П. Математика. – Минск, 1975.