Формула Тейлора

Лагранжа и в форме Пеано
Единственность разложения Тейлора
Разложение основных элементарных функций

по формуле Тейлора.

предместье Лондона. Получил прекрасное домашнее музыкальное и художественное образование. В

15 лет поступил в Кембриджский университет, где незадолго до этого работал И.Ньютон, остававшийся кумиром молодых математиков, среди которых был и Брук Тейлор. В 1712г. Тейлора избрали членом Королевского общества. В 1718г. он уходит с поста секретаря общества, чтобы освободить время для философской работы.
Тейлор исследовал свойства функций. В 1712г. нашел, в 1715г. опубликовал общую формулу разложения функций в степенной ряд, которая носит теперь его имя.

х0 называется
многочлен следующего вида:




где по определению 0! = 1,

f (0)(x) = f(x).

ЛЕММА.


Доказательство.
Из формулы (1) следует, что Tn(x0) = f(x0). Продифференцировав (1),
получим Tn′(x0) = f '(x0), и т.д.

называется формулой Тейлора n-ого порядка функции f(x) в точке х0.

Здесь функция Rn(x), представляющая собой разность между функцией и её многочленом Тейлора, называется n-ым остатком Тейлора.
Примеры.
Формула конечных приращений Лагранжа
f(х) = f(х0) + f ′ (ξ)(х – х0),
где ξ – между х и х0, f(х0) = T 0(x), f ′ (ξ)(х – х0 ) = R0(x).
Это формула Тейлора нулевого порядка с остатком в форме Лагранжа.
Если f(х) дифференцируема в точке х0, то
f(х) = f(х0) + f ′ (х0)(х – х0) + о(х – х0).
Это формула Тейлора первого порядка с остатком в форме Пеано.
cosx = 1 – x2/2 + o(x2).
Это формула Тейлора второго порядка с остатком в форме Пеано.

функция f(x) n+1 раз дифференцируема в Uδ(x0). Тогда для f(x)

справедлива формула Тейлора n-ого порядка в точке х0, причём

где ξ – между х и х0.

Доказательство.
Пусть, для определенности, x > x0.
Rn(x) = f(x) – Tn(x).
Заметим, что
Rn(x0) = R'n(x0) = R''n (x0) = … = Rn(n)(x0) = 0,
Rn(n+1)(x) = f (n+1)(x) для ∀х∈ Uδ(x0).

= g'(x0) = g''(x0) = … = g(n)(x0) = 0,

g(n+1)(x) = (n+1)! для ∀х∈ Uδ(x0).
Применим к функциям Rn(x) и g(x) теорему Коши n+1 раз






где x0 <ξ < xn < … < x1 < x < x0+ δ.

x0

x

x1

xn

ξ

x0 + δ

x2

f(x) n раз дифференцируема в Uδ(x0)
и f (n)(x) непрерывна

в точке x0. Тогда при х→ x0 функция
может быть представлена в виде



Замечание.
Последнюю формулу называют формулой Тейлора с остатком в форме
Пеано или локальной формулой Тейлора.

для нее справедлива
формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа

порядка (n-1):



где ξ между х и x0.
f (n)(ξ) → f (n)(x0) при х → x0, т.е. f (n)(ξ) = f (n)(x0) + о(1) при х → x0.
Тогда получим, что

Наук. Окончил Туринский университет. Работал там же.
Пионер и пропагандист символической

логики. Исследовал основные понятия и утверждения анализа (вопросы о возможно более широких условиях существования решений дифференциальных уравнений, понятие производной и другие). Занимался формально-логическим обоснованием математики.

– х0)

ТЕОРЕМА 3.
Пусть функция f(x) n раз дифференцируема в Uδ(x0)

и f (n)(x) непрерывна в точке x0. Если при х→ x0 функция представима в виде

то коэффициенты

при х→ x0 в левой и правой частях равенства, получим

a0 = f(x0).
Отбросим равные члены и поделим на (x - x0). Переходя к пределу при х→ x0, получим
a1 = f '(x0).
И т.д.
Итак, единственным многочленом наилучшего приближения для функции f(x) при х→ x0 является ее многочлен Тейлора.

х0 = 0, то в этом частном случае ее называют

формулой Маклорена. Формула Маклорена с остатком в форме Пеано имеет следующий вид:



Или



Получим разложения основных элементарных функций по формуле Маклорена.

= 1, k = 0, 1, 2, …



f(x) =

shx
f (2k)(x)= shx, f (2k +1)(x)= chx;
f (2k)(0) = 0, f (2k+1)(0) =1, k = 0, 1, 2, …



f(x) = chx
f (2k)(x)= chx, f (2k +1)(x)= shx ;
f (2k)(0) = 1, f (2k+1)(0) = 0, k = 0, 1, 2, …

(2m)(0) = 0, f (2m+1)(0) = (-1)m, m = 0,

1, 2, …




f(x) = cosx
f (k)(x)= cos(x + kπ/2);
f (2m)(0) = (-1)m, f (2m+1)(0) = 0, m = 0, 1, 2, …

f(0) = 0, f (k) (0) = (-1)k-1(k-1)! , k

= 1, 2, …



f(x) = (1+x)α
f (k)(x) = α(α -1)(α - 2)…(α - k + 1) (1 + x)α - k ;
f(0) =0, f (k)(0) = α(α - 1)(α - 2)…(α - k + 1), k = 1, 2, …