Функции нескольких переменных. План

переменных.
2. Частные производные.
3. Экстремумы функций нескольких переменных.
4.

Метод наименьших квадратов.
5. Функции нескольких переменных в задачах экономики.

и интегрального исчисления было завершено в трудах И.Ньютона(1643-1727) и Г.Лейбница(1646-1716)

к концу 17 века .
Частные производные появились в 17 веке в трудах И.Ньютона и Г.Лейбница. Частные производные являются одним из основных инструментом исследования функций в математическом анализе, в частности используются при отыскании экстремумов, а также при решении классических задач на оптимизацию.
Для простоты в основном ограничимся рассмотрением случаев функций двух переменных.

множества

плоскости поставлено в соответствие число , тогда говорят, что на множестве задана функция двух переменных . Используется также запись .
Аналогично определяется понятие функции нескольких переменных.
Примеры. Функция спроса D – зависимость спроса D на некоторый товар от различных факторов (цены, дохода).

Определение функции нескольких переменных.

различных факторов (цены, дохода).
Функция полезности

– полезность приобретенных товаров .
Функция Кобба – Дугласа
где  – объем производственных фондов,  – затраты труда,  – объем выпускаемой продукции. По экономическому смыслу , , т.е. О.О.Ф. Кобба – Дугласа является первый квадрант.

уровня -множество точек плоскости, таких

что .Линии уровня функции полезности называют кривыми безразличия.

принадлежит области определения функции

. Функция называется непрерывной в точке , если имеет место равенство

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в области.

Непрерывность функций нескольких переменных.

называется предел отношения частного

приращения z по x к приращению при стремлении к нулю:

функции называется производная по x, вычисленная в предположении, что y

– постоянная. Частной производной по y от функции называется производная по y, вычисленная в предположении, что x – постоянная.
Пример.
Решение.

называется предельная производительность труда(приблизительно объем выпуска продукции при увеличении

затрат труда на единицу). называется предельная фондоотдача (приблизительно объем выпуска продукции при увеличении фондов на единицу).

дифференцируемой в точке ,

если её полное приращение в данной точке может быть представлено в виде:

где A, B – постоянные, - бесконечно малые функции при .
Дифференциалом функции двух переменных называется главная линейная часть её приращения.

Дифференциал .

числа рабочих и объема фондов изменение объема выпускаемой продукции вычисляется

с помощью предельной производительности труда и предельной фондоотдачи.

функция

имеет частные производные по всем аргументам, непрерывные в точке . Тогда эта функция дифференцируема в точке .
Теорема. Если функция и её частные производные определены и непрерывны в точке и в некоторой её окрестности, то в этой точке .

противоположное ему направление указывает направление быстрейшего убывания функции в данной

точке.


Градиент функции полезности называется вектор предельных полезностей.

функции ,заданной уравнением

выражается формулой

называют точкой максимума (соответственно – минимума) для функции

, если эта функция непрерывна в точке а и существует окрестность U(а), в которой выполняется неравенство (соответственно – ).

функция

имеет экстремум в какой-либо точке, то все ее частные производные в этой точке (если они существуют) необходимо равны нулю.
Положим для функции

имеет непрерывные частные производные второго порядка

в некоторой окрестности своей стационарной точки .
Тогда:
а)если и , то  – точка максимума функции;
б) если и , то  – точка минимума функции;
в) если , то в точке экстремума нет.

с так называемым условным экстремумом. Это понятие можно разъяснить на

примере функции двух переменных.
Пусть заданы функция и линия L на плоскости 0xy. Задача состоит в том, чтобы на линии L найти такую точку P(x, y), в которой значение функции является наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями этой функции в точках линии L, находящихся вблизи точки P. Такие точки P называются точками условного экстремума функции на линии L.

найти необходимо:
1) найти частные производные функции и критические точки;
2) исследовать

функцию на условный экстремум на границе области;
3) вычислить значения функции в критических точках и точках, подозрительных на условный экстремум;
4) из найденных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

следующем виде: найти значения переменных x1,x2,…,xn, удовлетворяющие системе неравенств (уравнений)

(1)
и обращающие в максимум (или минимум) целевую функцию, то есть
(2).
При дифференцируемости функций f и i, можно применять классические методы оптимизации.

таблично, используют методы математического программирования. Если Z и i -

линейные функции , то задача является задачей линейного программирования (ЗЛП). В противном случае имеем задачу нелинейного программирования. В частности, если указанные функции обладают свойствами выпуклости, то задача является задачей выпуклого программирования.

расстоянии от всех точек сразу. Для этого необходимо минимизировать выражение:



Необходимые

условия экстремума:

Возьмем соответствующие производные и приравняем их к нулю:

Метод наименьших квадратов

относительно получаем
их оценки,где

этой тематике. Функция предложения (потребления) – зависимость предложения (потребления) некоторого

товара от различных факторов (цены, дохода).
В экономических приложениях используются производственные функции, выражающие связь между затратами производственных ресурсов и объемом выпускаемой продукции. Производственные функции, как правило, зависят от многих переменных (факторов). В частности, рассматриваются двух­факторные функции

затраты труда,  – объем выпускаемой продукции. Примером двухфакторной

функции является функция Кобба – Дугласа

где , ,   – постоянные.
Функции нескольких переменных возникают при необходимости учета зависимости некоторой величины более чем от одного фактора.

– производственная функция, p–

цена выпускаемой продукции, и – факторные цены. Пара чисел называется оптимальным планом, если функция прибыли достигает максимума при
Функция полезности– зависимость полезности некоторого действия от уровня действия . Ее линии уровня называют кривыми безразличия.

,если
Решение. Приравняем к 0 частные производные

Тогда

Вычисляя вторые производные и пользуясь достаточным условием экстремума, получим, что в точке функция прибыли достигает максимума, равного
Примеры из тестов.

0,5*2*(1/5)=0,2