xn, y, которые связаны
между собой так, что каждому
набору
числовых значений переменных x1, x2, ..., xn
соответствует единственное
значение переменной y.
Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Функция нескольких переменных
Содержание
- 1. Функция нескольких переменных
- 2. Основные понятия
- 3. Пусть имеется n+1 переменная
- 4. Тогда говорят, что задана функция f от
- 5. Будем говорить, что задана функция двух переменных,
- 6. График функции двух переменных есть
- 7. Слайд 7
- 8. Пусть ‑ некоторое положительное
- 9. Точка M0(x0;y0) называется точкой минимума функции z = f(x;y),
- 10. Точка M0(x0;y0) называется точкой максимума функции z = f(x;y),
- 11. Число A называется пределом функции z = f(x;y) в
- 12. Функция z = f(x;y) называется непрерывной в точке M0(x0;y0), если
- 13. Частные производные
- 14. Частной производной по x функции
- 15. Совершенно аналогично можно определить частную производную по y функции z = f(x;y) в точке M0(x0;y0):
- 16. Сами частные производные могут являться
- 17. Если смешанные частные производные второго порядка непрерывны,
- 18. Дифференциал функции двух переменных
- 19. Дифференциал представляет собой главную часть приращения функции, линейную относительно приращений её аргументов.
- 20. Дифференцируемая в точке функция обязательно непрерывна в
- 21. На рисунке 1 график функции z = f(x;y)
- 22. Слайд 22
- 23. Так как df(x0;y0) f(x0;y0), дифференциал df даёт
- 24. Производная по направлению
- 25. Производной функции z = f(x;y) в точке M0(x0;y0) по направлению называется число
- 26. Градиентом или вектором-градиентом функции f(x;y) в точке (x;y) G называется вектор, который задается формулой
- 27. Производная по направлению от функции
- 28. Вектор-градиент функции в точке
- 29. Экстремум функции двух переменных
- 30. Точка M0(x0;y0) является точкой максимума (минимума)
- 31. Слайд 31
- 32. Пусть zx(x0,y0)=0 и zy(x0,y0) = 0, а вторые
- 33. Введем обозначения: A = zxx(x0;y0); B = zxy(x0;y0); C = zyy(x0;y0); D = AC - B2.
- 34. Тогда, если D 0, причем если A > 0,
- 35. Метод наименьших квадратов
- 36. Пусть проводится n однородных испытаний или
- 37. Итогом этих испытаний является таблица:
- 38. где каждому числу
- 39. В качестве значений xi часто рассматриваются
- 40. Пусть точки с координатами (xi,yi) группируются
- 41. Признаком наилучшей прямой считается минимум суммы
- 42. Можно показать, что график функции S2 выглядит примерно так, как изображено на рисунке:
- 43. Точку минимума можно искать, используя лишь необходимые условия экстремума: (2) (3)
- 44. Уравнения (2) и (3) можно преобразовать:Получилась
- 45. Формула (1) с параметрами a0, a1
- 46. Скачать презентанцию
Основные понятия
Слайды и текст этой презентации
Слайд 3 Пусть имеется n+1 переменная
x1, x2, ...,
xn, y, которые связаны
числовых значенийпеременных x1, x2, ..., xn
соответствует единственное
значение переменной y.
Слайд 4Тогда говорят, что задана функция f от n переменных. Число
y, поставленное в соответствие набору x1, x2, ..., xn называется
значением функции f в точке (x1, x2, ..., xn), что записывается в виде формулыy=f(x1,x2,..., xn) или
y =y(x1,x2,..., xn).
Слайд 5Будем говорить, что задана функция двух переменных, если любой паре
чисел (x;y) из некоторого множества D поставлено в соответствие единственное
число, которое обозначается f(x;y) и называется значением функции f в точке (x;y).Множество D называется областью определения функции.
Слайд 6
График функции двух переменных есть
множество точек (x;y;f(x;y)),
где (x;y)D.
График представляет собой некоторую
поверхность. Пример
такой поверхности приводится на рисунке 1.
Слайд 8 Пусть ‑ некоторое положительное число.
-окрестностью V
точки M0(x0;y0)
называется множество всех точек,
координаты (x ; y)
которых удовлетворяют Неравенствам:
Слайд 9
Точка M0(x0;y0) называется точкой
минимума функции z = f(x;y), если
существует такое
положительное число ,
что из условия M(x;y) V (x0;y0)
следует
f(x;y) > f(x0;y0). 
Слайд 10Точка M0(x0;y0) называется точкой
максимума функции z = f(x;y), если
существует такое
положительное число ,
что из условия M(x;y) V (x0;y0)
следует: f(x;y) < f(x0;y0).
Точки минимума и максимума
называются точками экстремума.
Слайд 11Число A называется пределом функции z = f(x;y) в точке M0(x0;y0):
если
для произвольного числа > 0 найдется такое число > 0, что для
всех точек M(x;y) из -окрестности точки M0(x0;y0) выполняется неравенство|f(x;y) - A|< .
Слайд 14 Частной производной по x
функции z = f(x;y) в точке
M0(x0;y0)
называется предел
если этот предел существует.
Слайд 15 Совершенно аналогично можно
определить частную
производную по y
функции
z = f(x;y) в точке M0(x0;y0):
Слайд 16 Сами частные производные могут являться
функциями от нескольких
переменных на
некотором множестве. У этих функций тоже
могут существовать
частные производные по x и по y. Они называются вторыми
частными производными или частными
производными второго порядка и
обозначаются zxx, zyy, zxy
или
Слайд 17Если смешанные частные производные второго порядка непрерывны, то они не
зависят от того, в какой последовательности вычислялись частные производные по
x и по y.
Слайд 19
Дифференциал представляет
собой главную часть
приращения функции,
линейную относительно
приращений
её аргументов.
Слайд 20Дифференцируемая в точке функция обязательно непрерывна в этой точке.
Функция
дифференцируема в точке, если обе частные производные этой функции непрерывны
в этой точке.
Слайд 21
На рисунке 1 график функции z = f(x;y) представляет собой поверхность
F. Длина отрезка Р0Р равна значению функции z в точке
P0, то есть Р0Р = f(x0;y0).Дифференциал функции в точке Р0 равен R2R1.
Слайд 23
Так как df(x0;y0) f(x0;y0), дифференциал df даёт приближенное значение приращения
функции при малых значениях приращений аргументов.
Слайд 26
Градиентом или
вектором-градиентом функции
f(x;y) в точке (x;y) G называется
вектор, который задается формулой
Слайд 27
Производная по направлению от
функции z = f(x;y) в
точке M0(x0;y0)
достигает наибольшего значения,
если это направление совпадает с
направлением вектора-градиента
функции в рассматриваемой точке,
так как cos 1, и равенство
достигается только если = 0.
Слайд 28
Вектор-градиент функции в точке
направлен в сторону
наискорейшего
возрастания функции в этой точке.
Слайд 30
Точка M0(x0;y0) является точкой максимума (минимума) функции z = f(x;y), если
найдется такая окрестность точки M0, что для всех точек M(x;y)
из этой окрестности выполняется неравенствоf(x;y)< f(x0;y0) ( f(x;y)> f(x0;y0)).
Точки максимума и минимума
называются точками экстремума.
Слайд 32
Пусть zx(x0,y0)=0 и zy(x0,y0) = 0,
а вторые частные
производные функции
z
непрерывны в некоторой
окрестности точки (x0;y0).
Слайд 34
Тогда, если D
D > 0, причем если A > 0,
то в точке (x0;y0) функции z
имеет минимум, а если A < 0, то
максимум.
Если D = 0, то экстремум может
быть, а может и не быть.
Слайд 36
Пусть проводится n однородных
испытаний или экспериментов, и
результатом
каждого испытания
является пара чисел – значений
некоторых переменных x
и y. Испытание с номером i приводит к
числам xi, yi.
Слайд 38
где каждому числу xi (величину x
рассматриваем как независимый показатель или фактор) поставлено в соответствие число
yi (величину y рассматриваем как зависимый показатель – результат).
Слайд 39
В качестве значений xi часто рассматриваются моменты времени: t1, t2, ..., tn,
взятые через равные промежутки. Тогда таблица
называется временным рядом.
Слайд 40
Пусть точки с координатами (xi,yi) группируются на плоскости вдоль
некоторой прямой. Задача заключается в том, чтобы найти параметры a0
и a1 этой прямой:y = a0 + a1x, (1)
причем это нужно сделать так, чтобы она лучше любой другой прямой соответствовала расположению на плоскости экспериментальных точек (xi, yi).
Слайд 41
Признаком наилучшей прямой считается минимум суммы квадратов отклонений фактических
значений y, полученных из таблицы, от вычисленных по формуле (1).
Эта сумма квадратов рассчитывается по формулеS2=(y1–(a0+a1x1))2+(y2-(a0 + a1x2))2 +…
+ (yn – (a0 + a1xn))2 =
Слайд 44
Уравнения (2) и (3) можно преобразовать:
Получилась так называемая система
нормальных уравнений относительно
неизвестных величин a0 и a1.
. (4)
Слайд 45
Формула (1) с параметрами a0, a1 определенными из системы
(4), называется уравнением регрессии.
Прямая линия, описываемая этим уравнением, называется
линией регрессии. Для временных рядов обычно вместо слова “регрессия” употребляется слово тренд.
