Геометрия Лобачевского

и своей аксиомы, и доказывал теоремы геометрическим методом, подобно тому,

как это делается в геометрии Евклида. Основой служила теория параллельных линий, так как именно здесь начинается отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Все теоремы, не зависящие от аксиомы о параллельных, общи обеим геометриям и образуют так называемую абсолютную геометрию, к которой относятся, например, теоремы о равенстве треугольников. Вслед за теорией параллельных строились другие разделы, включая тригонометрию и начала аналитической и дифференциальной геометрии.

бесконечно много прямых, не пересекающих R и находящихся с ней

в одной плоскости; среди них есть две крайние x, y, которые и называются параллельными прямой R в смысле Лобачевского. В моделях Пуанкаре они изображаются хордами, имеющими с хордой (дугой) R общий конец (который по определению модели исключается, так что эти прямые не имеют общих точек).
Угол θ между перпендикуляром PB из P на R и каждой из параллельных (называемый углом параллельности) по мере удаления точки P от прямой убывает от 90° до 0° (в модели Пуанкаре углы в обычном смысле совпадают с углами в смысле Лобачевского, и потому на ней этот факт можно видеть непосредственно). Параллель x с одной стороны (а y с противоположной) асимптотически приближается, а с другой — бесконечно от неё удаляется.  

a, Лобачевский дал формулу для угла параллельности П(a):

Здесь q —

некоторая постоянная, связанная с кривизной пространства Лобачевского. Она может служить абсолютной единицей длины аналогично тому, как в сферической геометрии особое положение занимает радиус сферы.

Если прямые имеют общий перпендикуляр, то они бесконечно расходятся в обе стороны от него. К любой из них можно восстановить перпендикуляры, которые не достигают другой прямой. 

треугольники равны, если их углы равны.
Сумма углов всякого треугольника меньше

π и может быть сколь угодно близкой к нулю. Это непосредственно видно на модели Пуанкаре. Разность δ = π − (α + β + γ), где α, β, γ — углы треугольника, пропорциональна его площади:

Из формулы видно, что существует максимальная площадь треугольника, и это конечное число: πq2.

кривая, называемая эквидистантой, или гиперциклом.
Предел окружностей бесконечно увеличивающегося радиуса не

есть прямая, а особая кривая, называемая предельной окружностью, или орициклом.
Предел сфер бесконечно увеличивающегося радиуса не есть плоскость, а особая поверхность — предельная сфера, или орисфера; замечательно, что на ней имеет место евклидова геометрия. Это служило Лобачевскому основой для вывода формул тригонометрии.
Длина окружности не пропорциональна радиусу, а растёт быстрее. В частности, в геометрии Лобачевского число π не может быть определено как отношение длины окружности к её диаметру.

меньше геометрические соотношения в этой области отличаются от соотношений евклидовой

геометрии. Можно сказать, что в бесконечно малой области имеет место евклидова геометрия. Например, чем меньше треугольник, тем меньше сумма его углов отличается от π; чем меньше окружность, тем меньше отношение её длины к радиусу отличается от 2π, и т. п. Уменьшение области формально равносильно увеличению единицы длины, поэтому при безграничном увеличении единицы длины формулы геометрии Лобачевского переходят в формулы евклидовой геометрии. Евклидова геометрия есть в этом смысле «предельный» случай геометрии Лобачевского.

интегралов.
В теории функций комплексного переменного геометрия Лобачевского помогла построить теорию

автоморфных функций. Связь с геометрией Лобачевского была здесь отправным пунктом исследований Пуанкаре, который писал, что «неевклидова геометрия есть ключ к решению всей задачи».
Геометрия Лобачевского находит применение также в теории чисел, в её геометрических методах, объединённых под названием «геометрия чисел».

с кинематикой специальной (частной) теории относительности. Эта связь основана на

том, что равенство, выражающее закон распространения света

при делении на t2, то есть для скорости света, даёт

— уравнение сферы в пространстве с координатами vx, vy, vz — составляющими скорости по осям х, у, z (в «пространстве скоростей»). Преобразования Лоренца сохраняют эту сферу и, так как они линейны, переводят прямые пространства скоростей в прямые. Следовательно, согласно модели Клейна, в пространстве скоростей внутри сферы радиуса с, то есть для скоростей, меньших скорости света, имеет место геометрия Лобачевского.

относительности. Если считать распределение масс материи во Вселенной равномерным (это

приближение в космических масштабах допустимо), то оказывается возможным, что при определённых условиях пространство имеет геометрию Лобачевского. Таким образом, предположение Лобачевского о его геометрии как возможной теории реального пространства оправдалось.
При помощи модели Клейна, даётся очень простое и короткое доказательство теоремы о бабочке в евклидовой геометрии.

в разрешении проблем реального мира.
Нельзя также забывать, что появление

неевклидовых геометрий сыграло важную роль в борьбе материалистической философии с идеалистической трактовкой пространства и времени и широко распространенной и XIX в. философии И.Канта.
Кант полагал, что пространство и время не являются объективными формами существования материи, а проявляются лишь как формы нашего воззрения ли мир, как формы нашего восприятия.
Причем евклидова геометрия это единственная мыслимая геометрия, всем нам непосредственно очевидная, поскольку она порождена характером нашего воззрения на мир.

поставило вопрос об эксперименте, чтобы выяснить, какая из систем геометрии

реализуется в физическом пространстве. Таким образом, объективная сущность пространства была отчетливо выявлена, а идеалистическая, трактовка этого вопроса Кантом опровергнута.  
Напряженная многолетняя деятельность Николая Ивановича Лобачевского, вдохновленного своим высоким идеалом ученого, отдающего все силы развитию науки и просвещения, принесла замечательные результаты. И если его научные идеи не были поняты современниками (так, ни один из его учеников не продолжил его геометрических исследований), то впоследствии они утвердили его ими как имя борца и революционера в науке, чьи смелые идеи, нарушили казавшиеся незыблемыми тысячелетние устои и во многом предопределили дальнейшее развитие математических наук.

параллельных
Абсолютная геометрия
Аксиомы Евклида

Абсолютная геометрия – это …

Линия равных расстояний от прямой

Предел окружностей

бесконечно увеличивающегося радиуса


все теоремы, не зависящие от аксиомы о параллельных, общи обеим геометриям (Евклида и Лобачевского)

гиперцикл

безграничное увеличение единицы длины

орицикл

(хотя бы 4 примера)