Разделы презентаций

Гипербола и её каноническое уравнение

Содержание

4. Гипербола и её каноническое уравнение

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1ТЕМА: Линии второго порядка, заданные каноническими уравнениями.

ТЕМА: Линии второго порядка, заданные каноническими уравнениями.

Слайд 24. Гипербола и её каноническое уравнение

4. Гипербола и её каноническое уравнение

Слайд 34. Гипербола и её каноническое уравнение
Гиперболой называется геометрическое место точек,

для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух

фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть данное положительное число 2a меньшее, чем расстояние 2c между фокусами.
4. Гипербола и её каноническое уравнениеГиперболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых абсолютная величина разности

Слайд 6


F1
F2
M

F1 F2 M

Слайд 7По определению |F1М - F2 М | = 2a

2c

По определению |F1М - F2 М | = 2a < 2c

Слайд 8По определению |F1М - F2 М | = 2a

2c
|F1 F2 | = 2c

По определению |F1М - F2 М | = 2a < 2c |F1 F2 | = 2c

Слайд 14x



F1
F2
M

О

xF1 F2 MО

Слайд 15x



F1
F2
M

О
y

xF1 F2 MОy

Слайд 16Так как |F1 F2 | = 2c,

Так как |F1 F2 | = 2c,

Слайд 17Так как |F1 F2 | = 2c,
значит в выбранной

системе координат фокусы имеют координаты

Так как |F1 F2 | = 2c, значит в выбранной системе координат фокусы имеют координаты

Слайд 18Так как |F1 F2 | = 2c,
значит в выбранной

системе координат фокусы имеют координаты
F1 (-c; 0), F2

(с; 0)
Так как |F1 F2 | = 2c, значит в выбранной системе координат фокусы имеют координаты F1

Слайд 19Так как |F1 F2 | = 2c,
значит в выбранной

системе координат фокусы имеют координаты
F1 (-c; 0), F2

(с; 0) произвольная точка M(x,y), тогда
Так как |F1 F2 | = 2c, значит в выбранной системе координат фокусы имеют координаты F1

Слайд 20Так как |F1 F2 | = 2c,
значит в выбранной

системе координат фокусы имеют координаты
F1 (-c; 0), F2

(с; 0) произвольная точка M(x,y), тогда


Так как |F1 F2 | = 2c, значит в выбранной системе координат фокусы имеют координаты F1

Слайд 21По определению |F1М - F2 М | = 2a (1)
Получим

По определению |F1М - F2 М | = 2a (1)Получим

Слайд 22По определению |F1М - F2М | = 2a (1)
Получим

По определению |F1М - F2М | = 2a (1) Получим

Слайд 23По определению |F1М - F2М | = 2a (1)
Получим избавимся

от модуля и преобразуем

По определению |F1М - F2М | = 2a (1) Получим избавимся от модуля и преобразуем

Слайд 24По определению |F1М - F2М | = 2a (1)
Получим избавимся

от модуля и преобразуем

По определению |F1М - F2М | = 2a (1) Получим избавимся от модуля и преобразуем

Слайд 25По определению |F1М - F2М | = 2a (1)
Получим избавимся

от модуля и преобразуем
возведём обе части в квадрат

По определению |F1М - F2М | = 2a (1) Получим избавимся от модуля и преобразуем

Слайд 26По определению |F1М - F2М | = 2a (1)
Получим избавимся

от модуля и преобразуем
возведём обе части в квадрат


По определению |F1М - F2М | = 2a (1) Получим избавимся от модуля и преобразуем

Слайд 27По определению |F1М - F2М | = 2a (1)
Получим избавимся

от модуля и преобразуем
возведём обе части в квадрат




По определению |F1М - F2М | = 2a (1) Получим избавимся от модуля и преобразуем

Слайд 29

Разделим на 4 и возведём обе части в квадрат




Разделим на 4 и возведём обе части в квадрат

Слайд 30

Разделим на 4 и возведём обе части в квадрат




Разделим на 4 и возведём обе части в квадрат

Слайд 31

Разделим на 4 и возведём обе части в квадрат




Разделим на 4 и возведём обе части в квадрат

Слайд 32

Разделим на 4 и возведём обе части в квадрат




Разделим на 4 и возведём обе части в квадрат

Слайд 34

Так как по определению a < c, обозначим











Так как по определению a < c, обозначим

Слайд 35

Так как по определению a < c, обозначим










Так как по определению a < c, обозначим

Слайд 36

Так как по определению a < c, обозначим

получим выражение









Так как по определению a < c, обозначимполучим выражение

Слайд 37

Так как по определению a < c, обозначим

получим выражение

умножим его

на получим









Так как по определению a < c, обозначимполучим выражениеумножим его на

Слайд 38

Так как по определению a < c, обозначим

получим выражение

умножим его

на получим









Так как по определению a < c, обозначимполучим выражениеумножим его на

Слайд 39

Мы доказали, что координаты любой точки гиперболы удовлетворяют уравнению

(2)







Мы доказали, что координаты любой точки гиперболы удовлетворяют уравнению (2)

Слайд 40

Докажем обратное: если координаты некоторой точки М(x,y) удовлетворяют уравнению (2),

то для этой точки выполнятся равенство |F1М - F2 М

| = 2a (1)








Докажем обратное: если координаты некоторой точки М(x,y) удовлетворяют уравнению (2), то для этой точки выполнятся равенство |F1М

Слайд 41Пусть точка M (x; y) удовлетворяет уравнению (2), тогда выразим

:

подставим

Пусть точка M (x; y) удовлетворяет уравнению (2), тогда выразим :подставим

Слайд 42Пусть точка M (x; y) удовлетворяет уравнению (2), тогда выразим

:

подставим

Пусть точка M (x; y) удовлетворяет уравнению (2), тогда выразим :подставим

Слайд 43Пусть точка M (x; y) удовлетворяет уравнению (2), тогда выразим

:

подставим

Пусть точка M (x; y) удовлетворяет уравнению (2), тогда выразим :подставим

Слайд 44Пусть точка M (x; y) удовлетворяет уравнению (2), тогда выразим

:

подставим

Пусть точка M (x; y) удовлетворяет уравнению (2), тогда выразим :подставим

Слайд 45
Так как

,

Так как ,

Слайд 46
Так как

, значит

Так как , значит

Слайд 47
Так как

, значит

После замены получим




Так как , значитПосле замены получим

Слайд 48
Так как

, значит

После замены получим




Так как , значитПосле замены получим

Слайд 49
Так как

, значит

После замены получим




аналогично

Так как , значитПосле замены получиманалогично

Слайд 50
Так как

, значит

После замены получим




аналогично

Так как , значитПосле замены получиманалогично

Слайд 51Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами гиперболы


Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами гиперболы

Слайд 52Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами гиперболы


Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами гиперболы

Слайд 53Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами гиперболы


Из уравнения

следует, что

Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами гиперболыИз уравнения

Слайд 54Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами гиперболы


Из уравнения

следует, что

Если ,
Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами гиперболыИз уравнения

Слайд 55Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами гиперболы


Из уравнения

следует, что

Если , то в силу соотношения

будем иметь

Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами гиперболыИз уравнения

Слайд 56Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами гиперболы


Из уравнения

следует, что

Если , то в силу соотношения

будем иметь

Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами гиперболыИз уравнения

Слайд 57Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами гиперболы


Из уравнения

следует, что

Если , то в силу соотношения

будем иметь

Если
Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами гиперболыИз уравнения

Слайд 58Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами гиперболы


Из уравнения

следует, что

Если , то в силу соотношения

будем иметь

Если или
Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами гиперболыИз уравнения

Слайд 59Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами гиперболы


Из уравнения

следует, что

Если , то в силу соотношения

будем иметь

Если или , то
Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами гиперболыИз уравнения

Слайд 60Таким образом, получаем

если

Таким образом, получаем если

Слайд 61Таким образом, получаем

если

если



Таким образом, получаем если

Слайд 62Таким образом, получаем

если

если


Подставим в равенство

Таким образом, получаем если

Слайд 63Таким образом, получаем

если

если


Подставим в равенство
(|F1М - F2 М | = 2a)
Таким образом, получаем если

Слайд 64Таким образом, получаем

если

если


Подставим в равенство
(|F1М - F2 М | = 2a)
если
Таким образом, получаем если

Слайд 65Таким образом, получаем

если

если


Подставим в равенство
(|F1М - F2 М | = 2a)
если выполняется


Таким образом, получаем если

Слайд 66Таким образом, получаем

если

если


Подставим в равенство
(|F1М - F2 М | = 2a)
если выполняется

если , то
Таким образом, получаем если

Слайд 67Таким образом, получаем

если

если


Подставим в равенство
(|F1М - F2 М | = 2a)
если выполняется

если , то
Таким образом, получаем если

Слайд 68Таким образом, уравнение (2) есть уравнение гиперболы, т.к. доказано, что

координаты любой точки M (x; y) гиперболы, т.е. любой точки,

для которой выполняется выражение (1) удовлетворяет уравнению (2) и обратно, если два числа x и y удовлетворяет уравнению (2), то точка M (x; y) удовлетворяет соотношению (1), т.е. лежит на гиперболе.
Таким образом, уравнение (2) есть уравнение гиперболы, т.к. доказано, что координаты любой точки M (x; y) гиперболы,

Слайд 69каноническое уравнение гиперболы

каноническое уравнение гиперболы

Слайд 70каноническое уравнение гиперболы

каноническое уравнение гиперболы

Слайд 715. Исследование формы гиперболы

5. Исследование формы гиперболы

Слайд 72 5. Исследование формы гиперболы
Т.к. в каноническое уравнение гиперболы координаты x

и y входят во второй степени

5. Исследование формы гиперболыТ.к. в каноническое уравнение гиперболы координаты x и y входят во второй степени

Слайд 73 5. Исследование формы гиперболы

Т.к. в каноническое уравнение гиперболы координаты x

и y входят во второй степени => оси Ox и

Oy являются осями симметрии гиперболы, а начало координат центром симметрии.
5. Исследование формы гиперболыТ.к. в каноническое уравнение гиперболы координаты x и y входят во второй степени =>

Слайд 74Из уравнения => что

,т.е. и



Геометрически это означает, что между прямыми x=a и x=-a нет точек гиперболы.

Из уравнения => что ,т.е. и

Слайд 75Из уравнения => что

,т.е. и



Геометрически это означает, что между прямыми x=a и x=-a нет точек гиперболы.
Ось симметрии Oy не пересекает гиперболу и называется мнимой осью.
Из уравнения => что ,т.е. и

Слайд 76Ось симметрии Ox пересекает гиперболу в двух точках A1(-a;0) A2(a;0)

– вершинах гиперболы и называется действительной осью.

Ось симметрии Ox пересекает гиперболу в двух точках A1(-a;0) A2(a;0) – вершинах гиперболы и называется действительной осью.

Слайд 77Ось симметрии Ox пересекает гиперболу в двух точках A1(-a;0) A2(a;0)

– вершинах гиперболы и называется действительной осью.
a и b

в уравнении гиперболы называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы.
Ось симметрии Ox пересекает гиперболу в двух точках A1(-a;0) A2(a;0) – вершинах гиперболы и называется действительной осью.

Слайд 78Выразим y из уравнения гиперболы и возьмем положительное значение

Выразим y из уравнения гиперболы и возьмем положительное значение

Слайд 79Выразим y из уравнения гиперболы и возьмем положительное значение
считая,

что получим точки

гиперболы, лежащие в I четверти.



Выразим y из уравнения гиперболы и возьмем положительное значение считая, что

Слайд 80Выразим y из уравнения гиперболы и возьмем положительное значение
считая,

что получим точки

гиперболы, лежащие в I четверти.
Из уравнения (3) => что y в полуинтервале есть возрастающая функция при этом предел



Выразим y из уравнения гиперболы и возьмем положительное значение считая, что

Слайд 81Выразим y из уравнения гиперболы и возьмем положительное значение
считая,

что получим точки

гиперболы, лежащие в I четверти.
Из уравнения (3) => что y в полуинтервале есть возрастающая функция при этом предел



Выразим y из уравнения гиперболы и возьмем положительное значение считая, что

Слайд 82Выразим y из уравнения гиперболы и возьмем положительное значение
считая,

что получим точки

гиперболы, лежащие в I четверти.
Из уравнения (3) => что y в полуинтервале есть возрастающая функция при этом предел



Выразим y из уравнения гиперболы и возьмем положительное значение считая, что

Слайд 83Всякая прямая пересекает гиперболу не более чем в двух точках,

так как прямая определяется уравнением I степени, а гипербола -

II



Всякая прямая пересекает гиперболу не более чем в двух точках, так как прямая определяется уравнением I степени,

Слайд 84Рассмотрим уравнение прямой

или
Найдем расстояние d от точки M(x,y), лежащей на

дуге гиперболы, определенной уравнением (3), до прямой (4):






Рассмотрим уравнение прямой или Найдем расстояние d от точки

Слайд 85Рассмотрим уравнение прямой

или
Найдем расстояние d от точки M(x,y), лежащей на

дуге гиперболы, определенной уравнением (3), до прямой (4):







Рассмотрим уравнение прямой или Найдем расстояние d от точки

Слайд 86Рассмотрим уравнение прямой

или
Найдем расстояние d от точки M(x,y), лежащей на

дуге гиперболы, определенной уравнением (3), до прямой (4):







Рассмотрим уравнение прямой или Найдем расстояние d от точки

Слайд 87Рассмотрим уравнение прямой

или
Найдем расстояние d от точки M(x,y), лежащей на

дуге гиперболы, определенной уравнением (3), до прямой (4):







Рассмотрим уравнение прямой или Найдем расстояние d от точки

Слайд 88Рассмотрим уравнение прямой

или
Найдем расстояние d от точки M(x,y), лежащей на

дуге гиперболы, определенной уравнением (3), до прямой (4):







Рассмотрим уравнение прямой или Найдем расстояние d от точки

Слайд 89Получили, что на полуинтервале

расстояние d от точки M(x,y) рассматриваемой части гиперболы до

прямой (4) есть убывающая функция и
(т.е. расстояние стремиться к 0)







Получили, что на полуинтервале расстояние d от точки M(x,y) рассматриваемой

Слайд 90Получили, что на полуинтервале

расстояние d от точки M(x,y) рассматриваемой части гиперболы до

прямой (4) есть убывающая функция и
(т.е. расстояние стремиться к 0)

Прямая, определяемая уравнением называется асимптотой гиперболы.







Получили, что на полуинтервале расстояние d от точки M(x,y) рассматриваемой

Слайд 96В силу того, что гипербола, заданная каноническим уравнением, симметрична относительно

начала координат, расстояние от точки М(x;y), лежащей на дуге гиперболы,

заданой

уравнением

до прямой
стремится к нулю при

В силу того, что гипербола, заданная каноническим уравнением, симметрична относительно начала координат, расстояние от точки М(x;y), лежащей

Слайд 97Так как гипербола, заданная каноническим уравнением, симметрична относительно оси Оy,

то она имеет вторую асимптоту
которая обладает свойством аналогичным свойству первой

асимптоты по отношению к дугам гиперболы, расположенной в II и IV четвертях .
Асимптоты являются диагоналями прямоугольника с вершинами Р(а;b), Q(-a;b), S(a;-b), K(-a;-b).



Так как гипербола, заданная каноническим уравнением, симметрична относительно оси Оy, то она имеет вторую асимптотукоторая обладает свойством

Слайд 98


x=-a
A1
A2
F1
F2
M
x
y
x=a

x=-aA1A2F1F2Mxyx=a

Слайд 99


P
Q
S
K
A1
A2
F1
F2
M
x
y
x=-a
x=a
y=-b
y=b

PQSKA1A2F1F2Mxyx=-ax=ay=-by=b

Слайд 100


P
Q
S
K
A1
A2
F1
F2
M
x
y

PQSKA1A2F1F2Mxy

Слайд 101


P
Q
S
K
A1
A2
F1
F2
M
x
y

PQSKA1A2F1F2Mxy

Слайд 102



P
Q
S
K
A1
A2
F1
F2
M
x
y

PQSKA1A2F1F2Mxy

Слайд 103



P
Q
S
K
A1
A2
F1
F2
M
x
y

PQSKA1A2F1F2Mxy

Слайд 104



A1
A2
F1
F2
M
x
y

A1A2F1F2Mxy

Слайд 105Гипербола, у которой полуоси равны, называется равносторонней



Уравнения её асимптот

Гипербола, у которой полуоси равны, называется равностороннейУравнения её асимптот

Слайд 1066. Эксцентриситет и директрисы гиперболы

6. Эксцентриситет и директрисы гиперболы

Слайд 1076. Эксцентриситет и директрисы гиперболы
Отношение расстояния от центра гиперболы

до фокуса к действительной полуоси гиперболы называется эксцентриситетом гиперболы и

обозначается буквой е
6. Эксцентриситет и директрисы гиперболы Отношение расстояния от центра гиперболы до фокуса к действительной полуоси гиперболы называется

Слайд 1086. Эксцентриситет и директрисы гиперболы
Отношение расстояния от центра гиперболы

до фокуса к действительной полуоси гиперболы называется эксцентриситетом гиперболы и

обозначается буквой е




6. Эксцентриситет и директрисы гиперболы Отношение расстояния от центра гиперболы до фокуса к действительной полуоси гиперболы называется

Слайд 1096. Эксцентриситет и директрисы гиперболы
Отношение расстояния от центра гиперболы

до фокуса к действительной полуоси гиперболы называется эксцентриситетом гиперболы и

обозначается буквой е


Так как для гиперболы 0 < а < с, то е >1


6. Эксцентриситет и директрисы гиперболы Отношение расстояния от центра гиперболы до фокуса к действительной полуоси гиперболы называется

Слайд 110Перепишем формулы для фокальных радиусов

если

если



Перепишем формулы для фокальных радиусов если

Слайд 111Перепишем формулы для фокальных радиусов

если

если


Эти четыре формулы можно объединить:

где

Перепишем формулы для фокальных радиусов если

Слайд 112Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и отстоящие от центра

гиперболы на расстояние а/е (где a – действительная полуось, е

– эксцентриситет гиперболы), называются директрисами гиперболы
Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и отстоящие от центра гиперболы на расстояние а/е (где a –

Слайд 113Для гиперболы, заданной каноническим уравнением

уравнения директрис имеют вид





Для гиперболы, заданной каноническим уравнениемуравнения директрис имеют вид

Слайд 114Для гиперболы, заданной каноническим уравнением

уравнения директрис имеют вид


Т.к. e

>1, то директрисы отстоят от центра на расстоянии меньшем действительной

полуоси.





Для гиперболы, заданной каноническим уравнениемуравнения директрис имеют вид Т.к. e >1, то директрисы отстоят от центра на

Слайд 115



A1
A2
F1
F2
M
x
y


A1A2F1F2Mxy

Слайд 116



A1
A2
F1
F2
M
x
y


A1A2F1F2Mxy

Слайд 117Теорема: Для того чтобы точка лежала на гиперболе, необходимо и

достаточно, чтобы
отношение расстояния от этой точки до фокуса гиперболы

к расстоянию от той же точки до директрисы, соответствующей рассматриваемому фокусу, было равно эксцентриситету гиперболы.
Теорема: Для того чтобы точка лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния от этой точки

Слайд 118



A1
A2
F1
F2
M
x
y


r2

A1A2F1F2Mxyr2

Слайд 119



A1
A2
F1
F2
M
x
y


r2
d2

A1A2F1F2Mxyr2d2

Слайд 120



A1
A2
F1
F2
M
x
y


r2
d2
125

A1A2F1F2Mxyr2d2 125

Слайд 121 (=>) имеем точку M(x;y) принадлежащую гиперболе (2), для которой

выполняется






(=>) имеем точку M(x;y) принадлежащую гиперболе (2), для которой выполняется

Слайд 122 (=>) имеем точку M(x;y) принадлежащую гиперболе (2), для которой

выполняется






(=>) имеем точку M(x;y) принадлежащую гиперболе (2), для которой выполняется

Слайд 123 (=>) имеем точку M(x;y) принадлежащую гиперболе (2), для которой

выполняется

требуется доказать, что







(=>) имеем точку M(x;y) принадлежащую гиперболе (2), для которой выполняетсятребуется доказать, что

Слайд 124 (=>) имеем точку M(x;y) принадлежащую гиперболе (2), для которой

выполняется

требуется доказать, что

Найдём






(=>) имеем точку M(x;y) принадлежащую гиперболе (2), для которой выполняетсятребуется доказать, что Найдём

Слайд 125 (=>) имеем точку M(x;y) принадлежащую гиперболе (2), для которой

выполняется

требуется доказать, что

найдём





(=>) имеем точку M(x;y) принадлежащую гиперболе (2), для которой выполняетсятребуется доказать, что найдём

Слайд 126 (=>) имеем точку M(x;y) принадлежащую гиперболе (2), для которой

выполняется

требуется доказать, что

найдём





(=>) имеем точку M(x;y) принадлежащую гиперболе (2), для которой выполняетсятребуется доказать, что найдём

Слайд 127 Пусть существует точка M(x;y), для которой

выполняется докажем, что точка принадлежит гиперболе,

т.е. её координаты удовлетворяют ур.(2)


(<=)


Пусть существует точка M(x;y), для которой выполняется докажем, что

Слайд 128 Пусть существует точка M(x;y), для которой

выполняется докажем, что точка принадлежит гиперболе,

т.е. её координаты удовлетворяют ур. (2)
Так как F2 (c,0), тогда

(<=)

Пусть существует точка M(x;y), для которой выполняется докажем, что

Слайд 129 Пусть существует точка M(x;y), для которой

выполняется докажем, что точка принадлежит гиперболе,

т.е. её координаты удовлетворяют ур. (2)
Так как F2 (c,0), тогда
из

(<=)

Пусть существует точка M(x;y), для которой выполняется докажем, что

Слайд 130 Пусть существует точка M(x;y), для которой

выполняется докажем, что точка принадлежит гиперболе,

т.е. её координаты удовлетворяют ур. (2)
Так как F2 (c,0), тогда
из

Подставим

(<=)

Пусть существует точка M(x;y), для которой выполняется докажем, что

Слайд 131 Пусть существует точка M(x;y), для которой

выполняется докажем, что точка принадлежит гиперболе,

т.е. её координаты удовлетворяют ур. (2)
Так как F2 (c,0), тогда
из

Подставим

Возведём в квадрат, упростим, помня, что

(<=)

Пусть существует точка M(x;y), для которой выполняется докажем, что

Слайд 132 Пусть существует точка M(x;y), для которой

выполняется докажем, что точка принадлежит гиперболе,

т.е. её координаты удовлетворяют ур. (2)
Так как F2 (c,0), тогда
из

Подставим

Возведём в квадрат, упростим, помня, что

получим

(<=)

Пусть существует точка M(x;y), для которой выполняется докажем, что

Слайд 133Самостоятельно изучить вопросы по данной теме:
Понятие сопряженной гиперболы
Уравнение касательной к

гиперболе
Оптическое свойство гиперболы

Самостоятельно изучить вопросы по данной теме:Понятие сопряженной гиперболыУравнение касательной к гиперболеОптическое свойство гиперболы

Слайд 1347. Парабола и её каноническое уравнение

7. Парабола и её каноническое уравнение

Слайд 1357. Парабола и её каноническое уравнение
Параболой называется геометрическое место

точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки

плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, не проходящей через фокус, и называемой директрисой.
7. Парабола и её каноническое уравнение Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до

Слайд 1367. Парабола и её каноническое уравнение

Расстояние от фокуса параболы

до её директрисы называется параметром параболы.

7. Парабола и её каноническое уравнение Расстояние от фокуса параболы до её директрисы называется параметром параболы.

Слайд 1377. Парабола и её каноническое уравнение

Расстояние от фокуса параболы

до её директрисы называется параметром параболы.

Эксцентриситет параболы принимается равным 1


7. Парабола и её каноническое уравнение Расстояние от фокуса параболы до её директрисы называется параметром параболы.Эксцентриситет параболы

Слайд 145Расстояние FD обозначим р (параметр параболы).

Расстояние FD обозначим р (параметр параболы).

Слайд 146Расстояние FD обозначим р (параметр параболы).
тогда в выбранной системе координат

фокус F будет иметь координаты

Расстояние FD обозначим р (параметр параболы).тогда в выбранной системе координат фокус F будет иметь координаты

Слайд 147Расстояние FD обозначим р (параметр параболы).
тогда в выбранной системе координат

фокус F будет иметь координаты F( ;0)





Расстояние FD обозначим р (параметр параболы).тогда в выбранной системе координат фокус F будет иметь координаты F(

Слайд 148Расстояние FD обозначим р (параметр параболы).
тогда в выбранной системе координат

фокус F будет иметь координаты F( ;0)

а уравнение

директрисы



Расстояние FD обозначим р (параметр параболы).тогда в выбранной системе координат фокус F будет иметь координаты F(

Слайд 149Расстояние FD обозначим р (параметр параболы).
тогда в выбранной системе координат

фокус F будет иметь координаты F( ;0)

а уравнение

директрисы x=-



Расстояние FD обозначим р (параметр параболы).тогда в выбранной системе координат фокус F будет иметь координаты F(

Слайд 150
M(x,y)


F
D
O
x
y

M(x,y)FDOxy

Слайд 151
M(x,y)


F
D
O
x
y
r

M(x,y)FDOxyr

Слайд 152
M(x,y)


F
D
O
x
y
r
P

d

M(x,y)FDOxyrPd

Слайд 153Точка M(x;y) лежит на данной параболе тогда и только тогда,

когда r = d

Точка M(x;y) лежит на данной параболе тогда и только тогда, когда r = d

Слайд 154Точка M(x;y) лежит на данной параболе тогда и только тогда,

когда r = d

r=|FM|=






Точка M(x;y) лежит на данной параболе тогда и только тогда, когда r = d r=|FM|=

Слайд 155Точка M(x;y) лежит на данной параболе тогда и только тогда,

когда r = d

r=|FM|=






Точка M(x;y) лежит на данной параболе тогда и только тогда, когда r = d r=|FM|=

Слайд 156Точка M(x;y) лежит на данной параболе тогда и только тогда,

когда r = d

r=|FM|=

d=|PM|=




Точка M(x;y) лежит на данной параболе тогда и только тогда, когда r = d r=|FM|= d=|PM|=

Слайд 157Точка M(x;y) лежит на данной параболе тогда и только тогда,

когда r = d

r=|FM|=

d=|PM|=




Точка M(x;y) лежит на данной параболе тогда и только тогда, когда r = d r=|FM|= d=|PM|=

Слайд 158Точка M(x;y) лежит на данной параболе тогда и только тогда,

когда r = d

r=|FM|=

d=|PM|=

То уравнение параболы примет вид



Точка M(x;y) лежит на данной параболе тогда и только тогда, когда r = d r=|FM|= d=|PM|=То уравнение

Слайд 162
Каноническое уравнение параболы

Каноническое уравнение параболы

Слайд 163
Каноническое уравнение параболы

Каноническое уравнение параболы

Слайд 1648. Исследование формы параболы

8. Исследование формы параболы

Слайд 1658. Исследование формы параболы
Т.к. ордината у в каноническом уравнении параболы

входит во 2-й степени, то

8. Исследование формы параболыТ.к. ордината у в каноническом уравнении параболы входит во 2-й степени, то

Слайд 1668. Исследование формы параболы
Т.к. ордината у в каноническом уравнении параболы

входит во 2-й степени, то ось Ox является осью симметрии

параболы (1).

8. Исследование формы параболыТ.к. ордината у в каноническом уравнении параболы входит во 2-й степени, то ось Ox

Слайд 1678. Исследование формы параболы
Т.к. ордината у в каноническом уравнении параболы

входит во 2-й степени, то ось Ox является осью симметрии

параболы (1).

Точка пересечения параболы с её осью симметрии называется вершиной параболы.
8. Исследование формы параболыТ.к. ордината у в каноническом уравнении параболы входит во 2-й степени, то ось Ox

Слайд 1688. Исследование формы параболы
Т.к. ордината у в каноническом уравнении параболы

входит во 2-й степени, то ось Ox является осью симметрии

параболы (1).

Точка пересечения параболы с её осью симметрии называется вершиной параболы.

Имеет только одну вершину в точке
8. Исследование формы параболыТ.к. ордината у в каноническом уравнении параболы входит во 2-й степени, то ось Ox

Слайд 1698. Исследование формы параболы
Т.к. ордината у в каноническом уравнении параболы

входит во 2-й степени, то ось Ox является осью симметрии

параболы (1).

Точка пересечения параболы с её осью симметрии называется вершиной параболы.

Имеет только одну вершину в точке О(0;0).
8. Исследование формы параболыТ.к. ордината у в каноническом уравнении параболы входит во 2-й степени, то ось Ox

Слайд 1708. Исследование формы параболы
Всякая прямая пересекает параболу не более чем

в двух точках

8. Исследование формы параболыВсякая прямая пересекает параболу не более чем в двух точках

Слайд 1718. Исследование формы параболы
Всякая прямая пересекает параболу не более чем

в двух точках (т.к. прямая определяется уравнением 1-ой степени, а

парабола - уравнением 2-ой степени)
8. Исследование формы параболыВсякая прямая пересекает параболу не более чем в двух точках (т.к. прямая определяется уравнением

Слайд 172Из (1) ⇒, что x≥0

Из (1) ⇒, что x≥0

Слайд 173Из (1) ⇒, что x≥0 (т. к. p>0, а



Из (1) ⇒, что x≥0 (т. к. p>0, а

Слайд 174Из (1) ⇒, что x≥0 (т. к. p>0, а



Разрешая уравнение (1) относительно

у
Из (1) ⇒, что x≥0 (т. к. p>0, а Разрешая уравнение

Слайд 175Из (1) ⇒, что x≥0 (т. к. p>0, а



Разрешая уравнение (1) относительно

у и беря лишь неотрицательные значения


Из (1) ⇒, что x≥0 (т. к. p>0, а Разрешая уравнение

Слайд 176Из (1) ⇒, что x≥0 (т. к. p>0, а



Разрешая уравнение (1) относительно

у и беря лишь неотрицательные значения


видим, что в полуинтервале [0;+∞],
Из (1) ⇒, что x≥0 (т. к. p>0, а Разрешая уравнение

Слайд 177Из (1) ⇒, что x≥0 (т. к. p>0, а



Разрешая уравнение (1) относительно

у и беря лишь неотрицательные значения


видим, что в полуинтервале [0;+∞],
y - возрастающая функция, причем
Из (1) ⇒, что x≥0 (т. к. p>0, а Разрешая уравнение

Слайд 178Из (1) ⇒, что x≥0 (т. к. p>0, а



Разрешая уравнение (1) относительно

у и беря лишь неотрицательные значения


видим, что в полуинтервале [0;+∞],
y - возрастающая функция, причем
Из (1) ⇒, что x≥0 (т. к. p>0, а Разрешая уравнение

Слайд 179
M


F
D
O
x
y
P

r
d

MFDOxyPrd

Слайд 180

M


F
D
O
x
y
P

r
d

MFDOxyPrd

Слайд 181


M


F
D
O
x
y
P

r
d

MFDOxyPrd

Слайд 182Уравнение

, где р>0,

Уравнение , где

Слайд 183Уравнение

, где р>0,

сводиться к

уравнению (1) заменой x на −x,
Уравнение , где

Слайд 184Уравнение

, где р>0,

сводиться к

уравнению (1) заменой x на −x,
т. е. путём преобразования системы координат, которая соответствует изменению положительного направления оси Ox на противоположное.
Уравнение , где

Слайд 185Уравнение

, где р>0,

сводиться к

уравнению (1) заменой x на −x,
т. е. путём преобразования системы координат, которая соответствует изменению положительного направления оси Ox на противоположное.
Отсюда следует, что парабола

симметрична с параболой
относительно оси Oy
Уравнение , где

Слайд 194Аналогичными рассуждениями устанавливаем, что каждое из уравнений

где p>0


определяет

параболу с вершиной в начале координат и осью симметрии Oy


Аналогичными рассуждениями устанавливаем, что каждое из уравнений где p>0 определяет параболу с вершиной в начале координат и

Слайд 209Самостоятельно изучить вопросы по данной теме:
Уравнение касательной к параболе
Оптическое свойство

параболы

Самостоятельно изучить вопросы по данной теме:Уравнение касательной к параболеОптическое свойство параболы

Слайд 2109.Уравнение эллипса, параболы и гиперболы в полярных координатах.

9.Уравнение эллипса, параболы и гиперболы в полярных координатах.

Слайд 211Полярная система координат на плоскости.
Говорят, что на плоскости введена

полярная система координат, если эта плоскость ориентирована, на ней выбраны

точка О – полюс, луч Ох, выходящий из точки О - полярная ось и масштабный отрезок.
Полярная система координат на плоскости. Говорят, что на плоскости введена полярная система координат, если эта плоскость ориентирована,

Слайд 217
О
x

E1

M
r
полярный радиус М

ОxE1Mrполярный радиус М

Слайд 218
О
x

E1

M
r
полярный радиус М

ϕ

ОxE1Mrполярный радиус Мϕ

Слайд 219
О
x

E1

M
r
полярный радиус

М
амплитуда

ϕ

ОxE1Mr полярный радиус М

Слайд 220
О
x

E1

r


ϕ
M(r,ϕ)

ОxE1r ϕM(r,ϕ)

Слайд 221
О
x

E1

r
Введём ДПСК

ϕ
M

ОxE1r Введём ДПСК ϕM

Слайд 222
О
x

E1

r


ϕ
M

ОxE1r ϕM

Слайд 223
О
x

E1

r


ϕ
M
y

ОxE1r ϕMy

Слайд 224
О
x

E1

r


ϕ
M
y
M(r,ϕ)

ОxE1r ϕMyM(r,ϕ)

Слайд 225
О
x

E1

r


ϕ
M
y
M(x,y)
M(r,ϕ)

ОxE1r ϕMyM(x,y)M(r,ϕ)

Слайд 226
О
x

E1

r


ϕ
M
y
M(x,y)
M(r,ϕ)

K

ОxE1r ϕMyM(x,y)M(r,ϕ)K

Слайд 227
О
x

E1

r


ϕ
M
y
M(x,y)
M(r,ϕ)
K

ОxE1r ϕMyM(x,y)M(r,ϕ)K

Слайд 228
О
x

E1

r


ϕ
M
y
M(x,y)
M(r,ϕ)
K

ОxE1r ϕMyM(x,y)M(r,ϕ)K

Слайд 229Из

Получаем
(1)


Из Получаем (1)

Слайд 230Из

Получаем
(1)
Так как
(2)



Из Получаем (1)Так как (2)

Слайд 231Из

Получаем
(1)
Так как
(2)

то

(3)


Из Получаем (1)Так как (2)то (3)

Слайд 232Формулы (1) позволяют вычислить декартовые прямоугольные координаты х, у точки

М по её полярным координатам ϕ,r.

Формулы (1) позволяют вычислить декартовые прямоугольные координаты х, у точки М по её полярным координатам ϕ,r.

Слайд 233Формулы (1) позволяют вычислить декартовые прямоугольные координаты х, у точки

М по её полярным координатам ϕ,r.
Формулы (2) и (3) позволяют

вычислить полярные координаты ϕ и r, по её декартовым координатам х, у .
Формулы (1) позволяют вычислить декартовые прямоугольные координаты х, у точки М по её полярным координатам ϕ,r.Формулы (2)

Слайд 234Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
Пусть L-какая-нибудь из изученных

нами линий второго порядка,
(если L-гипербола, то имеем в виду

одну из её ветвей).

Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы Пусть L-какая-нибудь из изученных нами линий второго порядка, (если L-гипербола, то

Слайд 235Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
Пусть L-какая-нибудь из изученных

нами линий второго порядка,
(если L-гипербола, то имеем в виду

одну из её ветвей).
Будем называть фокальной осью линии L, ту из её осей симметрии, которая проходит через фокус этой линии.

Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы Пусть L-какая-нибудь из изученных нами линий второго порядка, (если L-гипербола, то

Слайд 236Введем полярную систему координат, совмещая полюс с фокусом F (в

случае гиперболы берем фокус ближайшей к вершине рассматриваемой ветви).

Введем полярную систему координат, совмещая полюс с фокусом F (в случае гиперболы берем фокус ближайшей к вершине

Слайд 237Пусть D-основание перпендикуляра, опущенного из F на директрису, соответствующего этому

фокусу. Полярную ось расположим на прямой DF, причем положительное направление

примем от D к F.
Пусть D-основание перпендикуляра, опущенного из F на директрису, соответствующего этому фокусу. Полярную ось расположим на прямой DF,

Слайд 240


M


F
D
x
r
d
Q

ϕ

MFDxrdQϕ

Слайд 241


M


F
D
x
r
d
Q


ϕ

MFDxrdQϕ

Слайд 242


M


F
D
x
r
d
Q


ϕ
N

MFDxrdQϕN

Слайд 243


M


F
D
x
r
d
Q


ϕ
N

MFDxrdQϕN

Слайд 244


M


F
D
O
x

r
d

Q
N
ϕ

MFDOxrdQNϕ

Слайд 245


M


F
D
O
x
P

r
d


Q
N
ϕ

MFDOxPrdQNϕ

Слайд 246


M


F
D
O
x
P

r
d



S
Q
N
ϕ

MFDOxPrdSQNϕ

Слайд 247


M


F
D
O
x
P

r
d



S
Q
N
ϕ

MFDOxPrdSQNϕ

Слайд 248Половина длины фокальной хорды (т. е. хорды, проходящей через фокус

перпендикулярно к фокальной оси) называется фокальным параметром (p).



Половина длины фокальной хорды (т. е. хорды, проходящей через фокус перпендикулярно к фокальной оси) называется фокальным параметром

Слайд 249Половина длины фокальной хорды (т. е. хорды, проходящей через фокус

перпендикулярно к фокальной оси) называется фокальным параметром (p).
Тогда





Половина длины фокальной хорды (т. е. хорды, проходящей через фокус перпендикулярно к фокальной оси) называется фокальным параметром

Слайд 250Половина длины фокальной хорды (т. е. хорды, проходящей через фокус

перпендикулярно к фокальной оси) называется фокальным параметром (p).
Тогда




Половина длины фокальной хорды (т. е. хорды, проходящей через фокус перпендикулярно к фокальной оси) называется фокальным параметром

Слайд 251Половина длины фокальной хорды (т. е. хорды, проходящей через фокус

перпендикулярно к фокальной оси) называется фокальным параметром (p).
Тогда


подставим в



Половина длины фокальной хорды (т. е. хорды, проходящей через фокус перпендикулярно к фокальной оси) называется фокальным параметром

Слайд 252Половина длины фокальной хорды (т. е. хорды, проходящей через фокус

перпендикулярно к фокальной оси) называется фокальным параметром (p).
Тогда


подставим в

Выразим r:


Половина длины фокальной хорды (т. е. хорды, проходящей через фокус перпендикулярно к фокальной оси) называется фокальным параметром

Слайд 253Половина длины фокальной хорды (т. е. хорды, проходящей через фокус

перпендикулярно к фокальной оси) называется фокальным параметром (p).
Тогда


подставим в

Выразим r:


Половина длины фокальной хорды (т. е. хорды, проходящей через фокус перпендикулярно к фокальной оси) называется фокальным параметром

Слайд 254Половина длины фокальной хорды (т. е. хорды, проходящей через фокус

перпендикулярно к фокальной оси) называется фокальным параметром (p).
Тогда


подставим в

Выразим r:


Половина длины фокальной хорды (т. е. хорды, проходящей через фокус перпендикулярно к фокальной оси) называется фокальным параметром

Слайд 255Половина длины фокальной хорды (т. е. хорды, проходящей через фокус

перпендикулярно к фокальной оси) называется фокальным параметром (p).
Тогда


подставим в

Выразим r:


Половина длины фокальной хорды (т. е. хорды, проходящей через фокус перпендикулярно к фокальной оси) называется фокальным параметром

Слайд 257




Полярное уравнение
кривой 2-го порядка


Полярное уравнение кривой 2-го порядка

Похожие презентации

Парад детских журналов Парад детских журналов 173
Интерактивная игра Поле чудес Интерактивная игра Поле чудес 266
Балалық және жасөспірімдік шақтағы психикалық бұзылыстар Балалық және жасөспірімдік шақтағы психикалық бұзылыстар 815
Специфика организации и проведения первичной профилактики - предупреждение Специфика организации и проведения первичной профилактики - предупреждение 222
РАЗДЕЛ НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАЗДЕЛ НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 213
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ БИОФИЗИКИ ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ БИОФИЗИКИ 255
Выполнила: студентка 3 курса группы 0/5183 Мартьянова Алла Эстония Выполнила: студентка 3 курса группы 0/5183 Мартьянова Алла Эстония 187
Интеллектуальная собственность 03.ppt Интеллектуальная собственность 03.ppt 214
БПОУ ВО БОРИСОГЛЕБСКМЕДКОЛЛЕДЖ БПОУ ВО БОРИСОГЛЕБСКМЕДКОЛЛЕДЖ 229
Company knowledge Company knowledge 190
Представление о программных средах компьютерной графики и черчения Представление о программных средах компьютерной графики и черчения 140
Родительские собрание «Почему наши дети обманывают?» Родительские собрание «Почему наши дети обманывают?» 358
Численность населения Земли. Расовый состав. Народы планеты Численность населения Земли. Расовый состав. Народы планеты 198
Эпителиальные ткани Эпителиальные ткани 278
Искусство Петровского времени Искусство Петровского времени 237
2019 Премия Подмосковья с музыкой1 2019 Премия Подмосковья с музыкой1 266
Медицина катастроф (МК) Медицина катастроф (МК) 275
Для учащихся 2 классов Части речи Для учащихся 2 классов Части речи 295
Жан де Лафонтен Жан де Лафонтен 207
Выразительность простого. Контраст и баланс масс Композиционная структура в Выразительность простого. Контраст и баланс масс Композиционная структура в 188

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.

Для правообладателей

Яндекс.Метрика