ГЛАВА 7. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

четырехполюсника
Электрическое состояние линейного четырехполюсника задается комплексными амплитудами напряжений Ú1 и

Ú2 и токов Ì1 и Ì2 , по ним можно рассчитать все параметры цепи.
Из четырех указанных величин любые две могут рассматриваться как воздействие , обозначим их Х1, Х2 (независимые величины или аргументы), а две другие откликом, обозначим их Y1, Y2 (это зависимые переменные, т.е. функции).
Уравнения, устанавливающие связь между откликами и воздействиями, называют основными уравнениями четырехполюсника. В общем виде их можно записать как две некоторые функции f1 и f2 от (Х1 и Х2), однако для линейных цепей в соответствии с принципом суперпозиции запись упрощается.
Коэффициенты L11, L12, L21, L22, входящие в основные уравнения четырехполюсника, называются параметрами четырехполюсника.

Четырехполюсник – это устройство с четырьмя выводами два из которых являются входными (1, 11), а два других – выходными (2, 21) (рис. 7.1).
При анализе четырехполюсник рассматриваю в виде «черного ящика», т.е в виде устройства схема которого неизвестна.

Теория четырехполюсников позволяет рассчитывать электрическую цепь, для которой известны две из этих четырех величин и параметры четырехполюсника, определенные в режиме короткого замыкания и холостого хода на входе и выходе цепи.
В зависимости от того, что считать воздействием (аргументами) Х1, Х2 и что откликом (функциями) Y1, Y2 (таблица), можно записать шесть пар основных уравнений четырехполюсника.

четырехполюсника, называются параметрами четырехполюсника.
В зависимости от того, что считать

воздействием (аргументами) Х1, Х2 и что откликом (функциями) Y1, Y2 (см. таблица), можно записать шесть пар основных уравнений четырехполюсника.

I2, а откликами считать напряжения U1, U1, то уравнения связи

имеют вид: U1 = f1(I1, I2), U2 = f2(I1, I2).
Для линейной цепи уравнения записываются так:
Коэффициенты, входящие в эти уравнения,
имеют размерность сопротивлений и называются
Z-параметрами, а сами уравнения – уравнениями четырехполюсника с Z-параметрами.
Эти параметры имеют следующие названия:

– входное сопротивление при холостом ходе (х.х.) на выходе;

– сопротивление обратной передачи при холостом ходе на входе;

– сопротивление прямой передачи при холостом ходе на выходе;

– выходное сопротивление при холостом ходе на входе. Полученную систему уравнений можно записать в матричной форме: (U) = (Z) (I),
где ( I ) = (I1,I2)т – матрица-столбец заданных токов, ( U ) = (U1,U2)т – матрица-столбец напряжений на выводах четырехполюсника;
– матрица сопротивлений четырехполюсника.

имеют следующие названия:
– входная проводимость в режиме короткого замыкания на

выходе;

– проводимость обратной передачи в режиме короткого замыкания на входе;

– проводимость прямой передачи при коротком замыкании на выходе;

– выходная проводимость в режиме короткого замыкания на входе.

Причем , так как они определены при разных режимах.

Параметры различных систем уравнений, относящиеся к одному четырехполюснику, взаимосвязаны, т.е. любой из параметров одной системы уравнений (например, Z-параметры) может быть выражен через параметры другой системы (например Y, H, G и т.д.).

основным параметрам (функциям) электрической цепи относят Zвх, Ku, KI, Zвых. Покажем, что все

они могут быть выражены через Z-параметры четырехполюсника: Z11, Z12, Z21, Z22.

1) Запишем основные уравнения в Z-параметрах и закон Ома для Zн и обозначим , записанные уравнения как (7.1) - , (7.2) - (7.3) -

Подставим (7.3)  (7.2). Получим
(7.4)
Подставим (7.4)  (7.1), получим
(7.5)

2) Используя определение входного сопротивления и (7.5), получим

если Zн  , то Zвх = Z11

3. Используя определение коэффициента передачи тока и (7.4), получим

4) Используя определение коэффициента передачи напряжения (7.3) и (7.5), получим

5. Получим выходное сопротивление

или даже недоступной, например, транзистор. Поэтому представляет интерес замены схемы

реальной электрической цепи некоторой простой эквивалентной схемой.
Схемы называются эквивалентными, если при их взаимной замене входные и выходные токи и напряжения не изменяются.
Эквивалентные схемы можно составлять разными способами:
1) по заданной топологии (по расположению элементов) электрической цепи;
2) по основным уравнениям четырехполюсника. Такие схемы называют формальными схемами замещения;
3) по физической модели. Это физическая схема замещения.

выбирают схемы с минимальным числом элементов. Наиболее распространены Т-, П-

и Г- образные схемы замещения (рис. 7.3).





Для Т-образной схемы замещения покажем связь между ее параметрами (Z1, Z2, Z3) и Z-параметрами четырехполюсника. T-образная схема имеет два контура с контурными токами I1 и I2. Используя метод контурных токов, запишем контурные уравнения:
Если цепь пассивна т.е. E = 0, то составленные уравнения совпадают с уравнениями Z-параметров четырехполюсника, отсюда и определим Z-параметры:

Отсюда получим

;

;

.

четырехполюсника.
Запишем основные уравнения четырехполюсника
в системе H-параметров:
;

(7.6)
(7.7).
.
Схему замещения входной цепи четырехполюсника составляют по уравнению (7.6), а выходной – по уравнению (7.7). Схема замещения четырехполюсника в системе H-параметров приведена на рис. 7.4.
Уравнение (7.6) представляет собой второй закон Кирхгофа (закон для контура), поэтому входная цепь изображается в виде контура. При этом первое слагаемое – это падение напряжения от входного тока на входном сопротивлении, т.е. h11I1, а второе слагаемое – это напряжение, возникающее во входном контуре в результате обратной связи. Это учитывается введением во входную цепь зависимого источника ЭДС – .
Уравнение (7.7) представляет собой первый закон Кирхгофа (закон для узла). Выходной ток I2 состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое – это, зависимый источник тока, учитывающий передачу входного тока в выходную цепь, а второе слагаемое – это h22U2, ток через проводимость h22.

сигнала и нагрузкой (см. рис. 7.2). Определим условие, когда четырехполюсник

оказывается согласованным, т.е. условие, при котором через четырехполюсник от источника сигнала в нагрузку передается наибольшая мощность.

Первое слово характеризует способ соединения четырехполюсников на входе (последовательно или

параллельно), а второе – на выходе (последовательно или параллельно). Каждую из схем составного четырехполюсника можно заменить на один четырехполюсник (рис. 7.6, е), параметры которого определяются следующим образом.
При анализе электрических цепей часто возникает задача определения параметров сложных четырехполюсников, которые образованы соединением нескольких простых четырехполюсников, параметры которых известны.

Последовательно-последовательное соединение (рис. 7.6, а).
(Z) = (Z1) + (Z2).
2) Параллельно-параллельное соединение (рис. 7.6, б). :
(Y) = (Y1) + (Y2).
3) Каскадном соединении (рис. 7.6, в) (иногда такое соединение называют последовательным)
(А) = (А1)(А2).
4) Последовательно-параллельное соединении (рис. 7.6. г)
(H) = (H1)+(H2).
5) Параллельно-последовательное соединении (рис. 7.6, д) (G) = (G1) + (G2).

современных многоканальных системах связи широко используется частотный принцип разделения сигналов.

Он состоит в том, что каждому сигналу отводится своя полоса частот. Важнейшую роль при обработке таких сигналов играют фильтры электрических сигналов.
Фильтры – это устройства, которые предназначены для
пропускания сигналов в определенной полосе частот и
подавления сигналов за пределами этой полосы частот.
Обычно фильтр – это четырехполюсник (рис. 8.1.).
Передача сигнала через фильтр характеризуется двумя способами.
1) Комплексным коэффициентом передачи по напряжению:
Ku(j) = U2m/U1m
или его амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ):
Ku() = U2m/U1m.
Коэффициент передачи – это относительная безразмерная величина. Иногда его характеризуют относительной логарифмической величиной Ku[дБ] = 20 lgKu, ее размерностью является децибелл (дБ). Коэффициент передачи показывает, какая доля входного сигнала проходит через фильтр.
2) Коэффициентом затухания по напряжению:
(jω) = U1m /U2m = 1/ Ku(j); (ω) = U1m /U2m, [дБ] = –20 lg Ku().
Он показывает долю сигнала, которая затухает, проходя через фильтр.

это диапазон частот, в котором K(ω) = 1,  = 1.

2) Полоса

задержания (заграждения) (ПЗ)–это диапазон частот, в котором K(ω) = 0, .

3) Частота, являющаяся границей между полосой
пропускания и полосой задержания, называется
граничной частотой, или частотой среза (fгр или fср).
У реальных фильтров нет четкой границы между ПП
и ПЗ, поэтому в них за значение граничной частоты fгр
принимают частоту, определяемую из соотношения



4. Скорость спада АЧХ коэффициента передачи
Ku в полосе заграждения рассчитывается из выражения

Избирательные свойства фильтра тем лучше, чем ближе форма АЧХ к прямоугольной. Идеальный фильтр имеет прямоугольную АЧХ. Его скорость спада бесконечна.
На рис. 8.2. изображены амплитудно-частотные характеристики фильтра низких частот (ФНЧ) в логарифмическом масштабе при разных скоростях спада.

сигнала фильтры делятся:
- аналоговые и - цифровые.

2) В зависимости от

наличия в схеме активных элементов:
- пассивные и - активные.

3) В зависимости от элементов, составляющих фильтр:
- LC, - RC, - RL-типа, - АRC-типа (активные RC-фильтры).

4) По названию математического выражения которым аппроксимируется АЧХ фильтра:
- фильтры Бесселя, - фильтры Баттерворта, - фильтры Золотарева, - фильтры Чебышева и др.

5) По расположению полосы пропускания на оси частот фильтры делятся:
- на фильтры низких частот (ФНЧ). Их АЧХ Кu приведена на рис. 8.3, а. АЧХ идеального фильтра имеет прямоугольный характер, у реального нет четкой границы между полосой пропускания и полосой заграждения.
- Фильтры высоких частот (ФВЧ). рис. 8.3, б ;
- Полосно-пропускающие фильтры (ППФ) рис. 8.3, в ;
- Полосно-заграждающие фильтры (ППЗ) рис. 8.3, г.

соединение Г-, Т- или П-образных четырехполюсников (рис. 8.4).
Каждый из

четырехполюсников в теории фильтров называют звеном фильтра.





Если звенья фильтров согласованы по напряжению и удовлетворяют условию Rвых<< Rвх, то такие звенья можно считать независимыми, так как они не влияют на коэффициент передачи соседнего звена.

В этом случае общий коэффициент передачи фильтра Ku общ можно записать как произведение коэффициентов передач Kui отдельных звеньев, входящих в фильтр

2. Схемы звеньев ФВЧ
приведены на рис. 8.6








4.

3. Полосно-пропускающий

фильтр можно получить путем последовательного соединения двух звеньев ФНЧ и ФВЧ, подобрав соответствующим образом их граничные частоты.
4. Полосно-заграждающий фильтр (ПЗФ) можно получить путем параллельного соединения ФНЧ и ФВЧ при соответствующем выборе граничных частот.

считать, что в состав второй схемы (рис. 8.9, б) между звеньями входит

устройство согласования звеньев по сопротивлениям. Согласующий каскад [x1] имеет большое входное (Rвх  ) и малое выходное (Rвых  0) сопротивления, при этом его коэффициент передачи равен единице (Кu =1). Это позволяет считать 1-е и 2-е звено независимыми

гр = 1/(RC)

При  > ωгр, Ku()1/,
т.е. v = –20 дБ/дек

Вывод. Чем больше звеньев в фильтре, тем выше скорость спада в полосе заграждения (v) и тем фильтр ближе к идеальному.
При независимых звеньях скорость спада составляет v = n.20 дБ/дек, где n – число звеньев.

При  > ωгр, Ku()1/2,
т.е. v = –40 дБ/дек