ГЛАВА I. МЕХАНИКА § 5. Динамика твёрдого тела

им. В. А. Фабриканта
2020

тел.
1. Момент силы относительно точки
Момент силы относительно точки:
Точка O

— полюс.
2. Момент силы относительно оси
Плечо силы — скалярная ФВ — кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы.

§5. Динамика твёрдого тела

Ньютона для i-ого фрагмента:
Двойное векторное произведение:

уравнение динамики вращательного движения
Основное уравнение динамики вращательного движения можно записать

и относительно подвижной оси, проходящей через центр масс тела (доказать самостоятельно).
III. Момент инерции
При Δmi → 0
Момент инерции — мера инертности тела во вращательном движении — скалярная ФВ, зависящая от формы и размеров тела. Момент инерции — аддитивная величина.
Момент инерции тела относительно точки:
Момент инерции тела относительно оси:

цилиндр)
Найти момент инерции тонкого однородного кольца массы m и радиуса

R относительно его оси.
Разобьём кольцо на бесконечно малые элементы — дуги массой dm.
Элементарный момент инерции
2. Тонкий стержень
Найти момент инерции тонкого однородного стержня массы m и длины l относительно оси: а) проходящей через середину стержня перпендикулярно ему, б) проходящей через один из концов стержня перпендикулярно ему.
— линейная плотность

массы m и радиуса R относительно его оси.
— поверхностная плотность

§5. Динамика твёрдого тела

радиуса R относительно оси, проходящей через её центр.
§5. Динамика твёрдого

тела

радиуса R относительно оси, проходящей через его центр.
(доказать самостоятельно)
§5. Динамика

твёрдого тела

инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела

параллельно данной оси, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:
Доказательство
Разобьём тело на малые фрагменты массы dm.

§5. Динамика твёрдого тела

вращения сложной формы — маховик с несколькими шкивами и четырьмя

радиально направленными спицами, на которые надеваются небольшие грузы, положение которых можно изменять.
На шкив радиуса R намотана нить, на конце которой прикреплён груз массы M. Масса грузов на спицах равна m, они расположены на расстоянии r от оси маятника; момент инерции маховика со спицами относительно оси маятника равен I0. Груз массы M поднимают на расстояние h над полом и отпускают. Через какое время груз коснётся пола?
Объекты исследования: груз массы M — МТ; маятник с грузами массы m — ТТ
ИСО — лабораторная

§5. Динамика твёрдого тела

(для маятника):
Дополнительные соотношения:
(закон всемирного тяготения)
(нить невесома)
(нить нерастяжима и не

проскальзывает по шкиву)

§5. Динамика твёрдого тела

твёрдого тела

движение, при котором скорость точек тела, соприкасающихся с опорной поверхностью,

относительно этой поверхности, равна нулю. Ось, проходящая через эти точки, неподвижна и называется мгновенной осью вращения.
(Ускорения точек мгновенной оси не равны нулю!)
Пример
Скатывание цилиндра с наклонной плоскости
Цилиндр массы m и радиуса R, момент инерции которого относительно его оси равен IC, скатывается без проскальзывания с плоскости, наклонённой к горизонту под углом α. Найти ускорение центра масс цилиндра.
Объект исследования: цилиндр — ТТ
ИСО — лабораторная

§5. Динамика твёрдого тела

цилиндра:
Для сплошного цилиндра:

§5. Динамика твёрдого тела

форме
— момент импульса твёрдого тела относительно оси
При
— закон сохранения момента

импульса: момент импульса замкнутой системы относительно любой неподвижной оси не изменяется с течением времени.

§5. Динамика твёрдого тела