Графики основных элементарных функций

числовой последовательности.

степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические.
Всякая функция, которая может

быть явным образом задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и суперпозиций основных элементарных функций, называется просто элементарной функцией.
Степенная функция y = xр.

y = x2n, n ∈ N.
D(f) = R, Е(f) = {y≥0}.

y = x2n+1, n ∈ N.
D(f) = R, Е(f) = R

Область определения и график функции зависят от показателя р.
Рассмотрим несколько случаев:

1.

2.

a ≠ 1).







Логарифмическая функция y = loga x

(a > 0, a ≠ 1).

D(f) = R, Е(f) = {y > 0}.

a > 1

a > 1

a < 1

a < 1

D(f) = {x > 0}, Е(f) = R

= cos x
D(f) = R, Е(f) ={ y ∈ [–1, 1]}.
y = tg

x
D(f) = {x ≠ π/2 + πk, k∈Z}, Е(f) =R

y = ctg x
D(f) = {x ≠ πk, k∈Z}, Е(f) =R

= arccos x
D(f) =  [–1, 1], Е(f) = [0, π].
y = arctg x
D(f)

=  R, Е(f) = (–π/2, π/2).

y = arcctg x
D(f) =  R, Е(f) = (0, π).

Некоторые свойства
гиперболических функций:
sh(x+у) = shx·сhу + сhx·shу
сh(x+у) = сhx·сhу + shx·shу
sh(2x) = 2shx·сhx
сh(2x)= сh2x + sh2x
сh2x – sh2x = 1

- гиперболический синус;

- гиперболический косинус;

D(f) = R, Е(f) = {y ≥ 1}.

D(f) = R, Е(f) = R.

гиперболический тангенс;
- гиперболический котангенс;
D(f) = R, Е(f) = {-1< y

< 1}.

D(f) = {x ≠ 0}, Е(f) = { | y |> 1}.

число хn ∈ R, то полученное упорядоченное множество
х1, х2,

… , хn , …
называют числовой последовательностью (ЧП).

Таким образом, числовая последовательность – это функция, областью определения которой является все множество натуральных чисел N. Значения этой функции хn называются элементами последовательности, число n называется номером элемента.

Кратко числовую последовательность обозначают
или {хn} .

Числовая последовательность может быть задана с помощью формулы, позволяющей вычислить каждый элемент последовательности по его номеру.

–1, 1, … ⇔
хn= (–1)n , n∈N ;

плоскости:






точками хn , n∈N, на числовой прямой:

{хn}, если для любого числа ε > 0 найдется такой

номер N(ε) (зависящий от ε), что для всех ее элементов с номерами n ≥ N(ε) выполняется неравенство
⎜ хn – a ⎜< ε.

В этом случае пишут

Или по-другому:

Если последовательность имеет предел, то говорят, что она сходится, в противном случае говорят, что она расходится.
С помощью логических символов определение предела последовательности можно записать так:

хn → a при n → ∞.

предела эквивалентно неравенствам
a – ε < xn < a

+ ε .
Другими словами, для любого числа ε > 0 найдется такой номер N(ε), начиная с которого, все члены ЧП принадлежат ε-окрестности точки a.

Число a является пределом ЧП {хn}, если в любой его окрестности содержатся почти все элементы последовательности, за исключением их конечного числа.

Таким образом, вне любой ε-окрестности точки a лежит лишь конечное число элементов ЧП.

Предположим, что {хn} имеет два предела, причем

а < b. Выберем ε>0 так, чтобы ε-окрестности точек а и b не пересекались:






Так как а - предел {хn}, то вне Uε(a) может лежать лишь конечное число элементов ЧП, в частности, интервал Uε(b) может содержать лишь конечное число элементов последовательности. Это противоречит тому, что b – ее предел. Полученное противоречие говорит о том, что числовая последовательность может иметь только один предел.

сверху и снизу, т.е.
∃ С1∈R и С2∈R: ∀n∈N ⇒ С1≤

xn ≤ С2.
ЧП называется неограниченной, если
∀С > 0 ∃ n∈N: ⎜хn⎜> C.
Примеры.

xn = (–1)n – ограниченная ЧП;

xn = n((–1)n+1 + 1) – неограниченная ЧП.

n

xn

0

Возьмем ε = 1. Согласно определению предела числовой последовательности,

найдется такое N(1), что для всех n ≥ N(1) выполняется неравенство
а –1 < xn < а +1.
Пусть
С1= min{x1, x2, … , xN-1, a –1},
C2= max{x1, x2, … , xN-1, a +1}.
Тогда для всех n справедливо неравенство
С1≤ xn ≤ C2 ,
ч.т.д.

а ≠ 0 и хn ≠ 0 для ∀n, то

числовая последовательность {1/хn} ограничена.
Доказательство.
Так как а ≠ 0, то ε = ⎜а⎜/2 > 0. По определению предела для данного ε найдется N(ε)∈N: ∀n≥ N(ε) →
⎜ хn– а ⎜< ⎜а⎜/2.
Воспользуемся свойством модуля вещественного числа:
⎜⎜хn⎜– ⎜а ⎜⎜< ⎜хn– а ⎜< ⎜а⎜/2 ⇒
⎜а⎜/2 < ⎜хn ⎜< 3⎜а ⎜/2 ⇒
1/⎜хn⎜< 2/⎜а ⎜ ∀n ≥ N( ⎜а ⎜/2 ).
Пусть

Тогда для всех n справедливо неравенство
⎜1/хn⎜≤ С,
ч.т.д.