I Поверхности второго порядка

координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени.

F (х, у, z) = 0. (1)

Множество всех точек пространства, координаты которых в некоторой общей декартовой системе координат удовлетворяют уравнению (1), называется поверхностью. Соотношение (1) называется уравнением данной поверхности S, если соблюдены следующие два условия:
а) координаты любой точки поверхности S удовлетворяют уравнению (1);
б) координаты любой точки, не принадлежащей поверхности S, не удовлетворяют этому уравнению.
Плоскость есть поверхность, определяемая уравнением
Ах + By + Сz + D = 0,
где А, В, С одновременно не равны нулю.

точек пространства, координаты которых в некоторой общей декартовой системе координат

удовлетворяют уравнению :
Ах2+ By2 +Cz2 +Dxy + Ехz + Fуz + Gx+Hy + Кz + L = 0 (7)
где А, В, ..., L — действительные числа, причем по крайней мере один из коэффициентов А, В, С, D, E, F отличен от нуля. Другими словами, поверхность второго порядка есть множество точек пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), где F (х, у, z) — некоторый многочлен второй степени.

Для изучения формы поверхности удобнее всего задавать ее в прямоугольной

декартовой системе координат. Пусть S — некоторая поверхность, заданная в прямоугольной декартовой системе координат уравнением (1). Для изучения формы поверхности будем пользоваться так называемым методом сечений. Сущность этого метода заключается в следующем: поверхность S рассекается плоскостями, параллельными координатным плоскостям, и определяются линии пересечения поверхности с данными плоскостями. По виду этих линий судят о форме данной поверхности.
Применение метода сечений основывается на следующей теореме.
Теорема [60.2]. Если S — поверхность, заданная в прямоугольной декартовой системе координат уравнением (1), a z = h — плоскость π, параллельная координатной плоскости Оху, то проекция линии пересечения поверхности S с данной плоскостью π на плоскость Оху в системе Oij имеет уравнение
F(x,y,h)=0. (10)

поверхности S с плоскостью π, a L'—проекция этой линии на

координатную плоскость Оху (рис. 173). Мы должны доказать, что линия L’ в системе Оху имеет уравнение (10). Для этой цели необходимо показать, что координаты любой точки

линии L’ на плоскости Оху удовлетворяют уравнению (10), а координаты точки плоскости Оху, не лежащей на линии L', не удовлетворяют этому уравнению. Возьмем произвольную точку М' на кривой L'. Пусть в плоскости Оху точка М' имеет
координаты (х', у'). Эта же точка в пространстве будет иметь координаты (х', у', 0). Так как точка М' лежит на кривой L', то она является проекцией некоторой точки М кривой L. Точки М и М' лежат на одной прямой, параллельной оси Oz, поэтому первые две координаты этих точек совпадают. Так как, кроме того, точка М лежит в плоскости π, то она имеет координаты (х', у', h). Точка М одновременно лежит на поверхности (1), так что F (х', у', h) = 0. Мы видим, что координаты точки М' (х’ , у') удовлетворяют уравнению (10). Возьмем, далее, произвольную точку Р' (х*у*) в плоскости Оху, не лежащую на кривой L' , и покажем, что координаты этой точки не удовлетворяют уравнению (10). Проведем через точку Р' прямую, параллельную оси Oz, и обозначим через Р точку пересечения этой прямой с плоскостью π . Так как точка Р’ в пространстве имеет координаты (х*, у*, 0), то точка Р будет иметь координаты (х*, у*, h). Но точка Р' не лежит на кривой L' , поэтому точка Р не лежит на кривой L, т. е. координаты точки Р не удовлетворяют уравнению поверхности S
F (х*, у*, h) ≠ 0.
Таким образом, мы показали, что если точка плоскости не лежит на кривой L' , то ее координаты не удовлетворяют уравнению (10).

рис.173

поверхности в горизонталях и с помощью карты изучить ее форму.

Пересечем поверхность S плоскостями π1,π2, ...,πk , заданными уравнениями z = h1 , z = h2 ,...., z = hk, где числа h1, h2, ..., hk следуют друг за другом через одинаковые, достаточно малые числовые промежутки. Если для каждого сечения построить ее проекцию на плоскость Оху, то получим множество кривых, которое называется картой поверхности в горизонталях. Эта карта дает некоторое представление как о всей поверхности, так и о некоторых ее участках. Например, сгущение линий на карте означает возрастание крутизны поверхности в соответствующем участке.
Пример. Задана поверхность в прямоугольной декартовой системе координат Oijk уравнением х2 + у2 = z2. Построить карту этой поверхности в горизонталях.
. Решение. Определим проекции сечений этой поверхности с плоскостями, z = h при h1 = 0, h2 = 1, h3 = 2, h4 = 3, h5 = 4. Согласно теореме [60.2] проекции этих сечений в системе Oij имеют уравнения:
x 2 + y 2 = 0,
x 2 + y 2 =1,
x 2 + y 2 = 22,
x 2 + y 2 = 32,
x 2 + y 2 = 42

плоскости Оху единственную точку — начало координат, а остальные уравнения,

как мы знаем,

определяют окружности соответствующего радиуса. Таким образом, карта данной поверхности в горизонталях есть совокупность концентрических окружностей.

Позже мы увидим, что уравнением данного примера определяется коническая поверхность, образованная вращением вокруг оси Оz прямой, проходящей через начало координат. Рассмотрим следующую задачу.

(рис. 174);

прямоугольной системе координат определяется уравнением:

Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида.

(1)

поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

Уравнение (3) называется каноническим уравнением однополосного гиперболоида.

(3)

поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

(5)

некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением



Где p>0 и

q>0.
Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида.

(7)

поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат, определяется уравнением

где p>0, q>0.

(9)

называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

(11)

z2 — 2ру = 0, х = 0 вокруг оси

Oz
Решение. В данном случае кривая не симметрична относительно оси вращения Оz, однако ординаты всех точек этой кривой неотрицательны, поэтому уравнение поверхности вращения
имеет вид (2):

Далеко не всякая поверхность, полученная вращением кривой второго порядка, является поверхностью второго порядка. Приведем пример.

Если возвести обе части последнего равенства в квадрат, то получим уравнение поверхности в следующем виде:
z4 = 4р2 (х2 + у2). Легко видеть, что это уравнение эквивалентно предыдущему, поэтому в данном случае поверхность вращения является поверхностью четвертого порядка.

есть множество точек, равноудаленных от некоторой точки, называемой центром. Пусть

в прямоугольной декартовой системе координат Oijk точка С (х0, у0, z0) является центром сферической поверхности радиуса r. Для того чтобы точка М (x, у, z) принадлежала сферической поверхности, необходимо и достаточно, чтобы МС = r или

Возведём обе части уравнения в квадрат:
(х - x0)2+ (у - у0)2 + (z- z0) = r2 (4)
или в развернутом виде:
x2 + у2 + z2 - 2x0x- 2у0у - 2z0z+ х02 + у02 + z02 - r2 = 0. (5)
В частности, если точка С совпадает с началом координат, то уравнение сферы имеет вид:
x2+y2+z2=r2 (6)

что вместе с каждой точкой М она содержит всю прямую,

проходящую через М, параллельную данному фиксированно вектору р, называется цилиндрической поверхностью или цилиндром.
Прямые, параллельные вектору p и принадлежащие цилиндрической поверхности, называются образующими этой поверхности.
Цилиндрическая поверхность может быть образована следующим образом. Пусть L — некоторая линия, а p — ненулевой вектор. Поверхность, образованная прямыми, проходящими через все точки линии L и содержащими вектор p, будет цилиндрической. Прямые, содержащие вектор p, будут образующими этой поверхности. В этом случае линия L называется направляющей этой поверхности (рис. 182).

Рис. 182.

имеют касание в двух точках (1 и 2 на рис.

4.58), то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания.
Сфера, имеющая двойное касание с поверхностью второго порядка (рис. 4.59), может быть использована для нахождения круговых сечений тех поверхностей второго порядка, которые их имеют.

Рис. 4.58. Касание поверхностей второго порядка в двух точках

Рис. 4.59. Построение круговых сечений на кривых поверхностях 2-го порядка

третьей или вписаны в неё(рис. 4.60), то линия их пересечения

распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания
(прямая 5 - 6 ).
Теорема Монжа является частным случаем теоремы 1.

Рис. 4.60. теорема Монжа

рис. 4.61 пересечение поверхностей сферы и эллиптическогo цилиндра

4.62 сфера пересекается с пирамидой

(таких как эллипс, гипербола, парабола) – они называются поверхностями вращения.

К ним относятся:
Эллипсоид.
Однополостный гиперболоид.
Двуполостный гиперболоид.
Эллиптический параболоид.
Гиперболический параболоид.
Конус второго порядка
Существуют так же:
Сферические поверхности, или сферы - это множество точек, равноудаленных от некоторой точки, называемой центром.
Цилиндрические поверхности или цилиндры, т. е. поверхности, обладающие тем свойством, что вместе с каждой точкой М она содержит всю прямую, проходящую через М, параллельную данному фиксированному вектору р. Прямые, параллельные вектору p и принадлежащие цилиндрической поверхности, называются образующими этой поверхности.

Э.Г. Позняк, 7-е издание, 2004 год, Гл. 7 §1-§3
2.

«Аналитическая геометрия» Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч. 1., ч.2.- М.: Просвещение, 1986 Гл.5 §3