Исследование функций с помощью производной

Содержание

1. Исследование функций с помощью производной
2. Признак возрастания (убывания) функции. Критические точки функции
3. Одна из основных задач исследования функции- это нахождение промежутков ее возрастания и убывания.
4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1:Функция f (x) называется возрастающей на промежутке
5. Возрастание функции
6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2: Функция f (x) называется убывающей на промежутке
7. Убывание функции
8. Определение постоянной функции Функция, не возрастающая и не убывающая на всей области определения называется постоянной.
9. Промежутки монотонности Промежутки возрастания и убывания
10. Пример1: Найти промежутки монотонности, функции, заданной графически
11. ТЕОРЕМА 1.(необходимые условия возрастания и убывания функции).
12. ТЕОРЕМА 2.(достаточный признак возрастания и убывания функций).
13. Точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками.
14. Точка максимума Точка x0 называется точкой максимума
15. Точка минимума Точка x0 называется точкой минимума
16. Точки максимума и минимума функции f(x) называются
17. 00minmaxminminmax
18. Экстремум функции, если он существует, может быть
19. ТЕОРЕМА 3.(необходимое условие экстремума). Теорема Ферма. Если
20. Экстремумы функцииСтационарные точкиКритические точкиЕсли производная функцииравна нулюне
21. Если производная f ' (х) при переходе
22. 1).Найти область определения функции: D(f).2). Найти f’(x).3).Найти
23. 4). Найти точки, в которых выполняется равенство
24. 7). Сделать выводы о наличии или отсутствии
25. Пример . Исследовать на экстремум функцию
26. Исследование функций с помощью второй производной
27. Слайд 27
28. Пример. Исследовать функцию на экстремум с помощью 2-ой производной:http://aida.ucoz.ru
29. Выпуклость, вогнутость
30. Выпуклость, вогнутость
31. Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью
32. Пример
33. Пример 2. Найти промежутки выпуклости кривых: f(x)=x⁴
34. Точка графика функции y=f(x), разделяющая промежутки выпуклости
35. Слайд 35
36. http://aida.ucoz.ru
37. Слайд 37
38. Пример 3. Найти точки перегиба кривых: а)
39. Пример 3. Найти точки перегиба кривых: б)Находим:
40. Домашнее задание:
41. Скачать презентанцию

Признак возрастания (убывания) функции. Критические точки функции – максимумы и минимумы.Правило нахождения интервалов монотонности и экстремумы. Исследование функции на монотонность и экстремум.Отыскание наибольших и наименьших значений функций. Задачи на отыскание наибольших

Главная
Разное
Исследование функций с помощью производной

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Исследование функций с помощью производной

Слайд 2Признак возрастания (убывания) функции. Критические точки функции – максимумы и

минимумы.

Правило нахождения интервалов монотонности и экстремумы. Исследование функции на монотонность

и экстремум.

Отыскание наибольших и наименьших значений функций. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин.

Основные вопросы:

Признак возрастания (убывания) функции. Критические точки функции – максимумы и минимумы.Правило нахождения интервалов монотонности и экстремумы. Исследование

Слайд 3 Одна из основных задач исследования функции- это нахождение промежутков

ее возрастания и убывания.

Слайд 4ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1:
Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для

любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что

x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) < f (x2).

Другими словами, функция называется возрастающей в некотором интервале, если из двух произвольных значений аргумента, взятых из данного интервала, большему соответствует большее значение функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1:Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка

Слайд 5Возрастание функции

Слайд 6ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2:
Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для

любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что

x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) > f (x2).

Другими словами, функция называется убывающей в некотором интервале, если из двух произвольных значений аргумента, взятых из данного интервала, большему соответствует меньшее значение функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2: Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка

Слайд 7Убывание функции

Слайд 8Определение постоянной функции
Функция, не возрастающая и не убывающая на всей

области определения называется постоянной.

Слайд 9Промежутки монотонности
Промежутки возрастания и убывания называются промежутками монотонности

функции.
Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то

она называется монотонной на этом промежутке.

Промежутки монотонности Промежутки возрастания и убывания называются промежутками монотонности функции. Если функция возрастает или убывает на

Слайд 10Пример1: Найти промежутки монотонности, функции, заданной графически
Ответ:
Промежутки возрастания

(- ∞; -1) и (2; +∞),
промежуток убывания: (-1; 2).

Пример1: Найти промежутки монотонности, функции, заданной графически Ответ: Промежутки возрастания (- ∞; -1) и (2; +∞),промежуток убывания:

Слайд 11ТЕОРЕМА 1.(необходимые условия возрастания и убывания функции).
Если дифференцируемая функция

у = f(x), x (а,b)
возрастает на интервале (а, b),

то
f (x)0 для любого х0 (а,b);

убывает на интервале (а, b), то f (x) 0 для любого х0 (а,b).

ТЕОРЕМА 1.(необходимые условия возрастания и убывания функции). Если дифференцируемая функция у = f(x), x (а,b) возрастает на

Слайд 12ТЕОРЕМА 2.(достаточный признак возрастания и убывания функций).
Если f’(x)>0, в каждой

точке интервала (a,b), то функция возрастает на этом интервале.

Если f’(x)

в каждой точке интервала (a,b), то функция убывает на этом интервале.

ТЕОРЕМА 2.(достаточный признак возрастания и убывания функций). Если f’(x)>0, в каждой точке интервала (a,b), то функция возрастает

Слайд 13 Точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю

или не существует, называются критическими точками.

Слайд 14Точка максимума
Точка x0 называется точкой максимума функции f(x) ,

если для всех x из некоторой окрестности x0 выполнено неравенство
f

( x ) < f ( x0 ).

Точка максимума Точка x0 называется точкой максимума функции f(x) , если для всех x из некоторой окрестности

Слайд 15Точка минимума
Точка x0 называется точкой минимума функции f(x) ,

если для всех x из некоторой окрестности x0 выполнено неравенство

f ( x ) > f ( x0 ).

Точка минимума Точка x0 называется точкой минимума функции f(x) , если для всех x из некоторой окрестности

Слайд 16 Точки максимума и минимума функции f(x) называются точками экстремума этой

функции, а значения функции в точках максимума и минимума называются

максимумами и минимумами функции или экстремумами функции.

Точки максимума и минимума функции f(x) называются точками экстремума этой функции, а значения функции в точках максимума

Слайд 170
0
min
max
min
min
max

Слайд 18 Экстремум функции, если он существует, может быть только в критических

точках.

Однако не во всякой критической точке функция имеет экстремум.

Экстремум функции, если он существует, может быть только в критических точках. Однако не во всякой критической точке

Слайд 19ТЕОРЕМА 3.(необходимое условие экстремума).
Теорема Ферма. Если функция у = f(х)

имеет экстремум в точке х = а, то либо f

' (а) = 0, либо
f ' (а) не существует

ТЕОРЕМА 3.(необходимое условие экстремума). Теорема Ферма. Если функция у = f(х) имеет экстремум в точке х =

Слайд 20Экстремумы функции
Стационарные точки
Критические точки
Если производная функции
равна нулю
не существует
Касательная
в таких

точках
графика параллельна оси ОХ
Касательная в
таких точках графика
не

существует

Слайд 21Если производная f ' (х) при переходе через точку х0

меняет знак с «+» на «-», то х0 является точкой

максимума;

Если f ' (х) при переходе через точку х0 меняет знак с «-» на «+», то х0 является точкой минимума;

Если f ' (х) при переходе через точку х0 не именяет знак, то в точке х0 функция f (х) не имеет экстремума.

ТЕОРЕМА 4.(достаточное условие существования экстремума).

Если производная f ' (х) при переходе через точку х0 меняет знак с «+» на «-», то

Слайд 22
1).Найти область определения функции: D(f).
2). Найти f’(x).
3).Найти точки, в которых

выполняется равенство f’(x)=0

Правило исследования функции y=f(x) на экстремум.

1).Найти область определения функции: D(f).2). Найти f’(x).3).Найти точки, в которых выполняется равенство f’(x)=0Правило исследования функции y=f(x) на

Слайд 234). Найти точки, в которых выполняется равенство f’(x) не существует.

5).Отметить на координатной прямой все критические точки и область определения

функции y=f(x); получаются промежутки области определения функции, на каждом из которых производная функции y=f(x) сохраняет постоянный знак.
6). Определить знак y’ на каждом из промежутков, полученных в п.5

http://aida.ucoz.ru

Правило исследования функции y=f(x) на экстремум.

4). Найти точки, в которых выполняется равенство f’(x) не существует. 5).Отметить на координатной прямой все критические точки

Слайд 247). Сделать выводы о наличии или отсутствии экстремума в каждой

из критических точек:
если знак производной меняется с «+» на

«-», то при данном значении аргумента функция имеет максимум.
если с «-» на «+», то минимум.
Если смены знака в окрестности критической точки нет, то экстремума в этой точке нет.
8). Вычислить экстремальное значение функции.

Правило исследования функции y=f(x) на экстремум.

7). Сделать выводы о наличии или отсутствии экстремума в каждой из критических точек:если знак производной меняется

Слайд 25Пример . Исследовать на экстремум функцию
у

= 2х3 – 15х2 + 36х + 1

1. Функция определена

при всех х : Д (у) : R
2. у' = 6 х2 – 30 х + 36
3. у' = 0, 6 х2 – 30х + 36 = 0, х1 = 2, х2 = 3.
4. у' существует при всех х.

+ - +
5. х
2 3

6. у' = 6 (х – 2) · (х – 3). Знаки производной отмечены на координатной прямой.

Пример . Исследовать на экстремум функцию у = 2х3 – 15х2 + 36х +

Слайд 26Исследование функций с помощью второй производной

Слайд 27

Слайд 28Пример. Исследовать функцию на экстремум с помощью 2-ой производной:
http://aida.ucoz.ru

Слайд 29Выпуклость, вогнутость

Слайд 30Выпуклость, вогнутость

Слайд 31Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз,

называются промежутками выпуклости графика функции.
Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся

графиком функции y=f(x), характеризуется знаком ее второй производной.

Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.Выпуклость вниз или

Слайд 32Пример

Слайд 33Пример 2. Найти промежутки выпуклости кривых: f(x)=x⁴ - 2x³ +

6x – 4
Находим:
f′(x)= 4x³ - 6x² + 6
f′′(x)= 12x²

- 12x = 12x (x – 1)
В промежутках -∞0, т.е. в этом промежутке кривая вогнута.
В промежутке 0

Пример

Слайд 34Точка графика функции y=f(x), разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого

графика, называется точкой перегиба.
Точками перегиба могут служить только критические точки,

принадлежащие области определения функции y=f(x), в которых вторая производная f′′(x)=0 или терпит разрыв.
Если при переходе через критическую точку x0 f′′(x) меняет знак, то график функции имеет точку перегиба (x0;f(x0)).

Точка графика функции y=f(x), разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.Точками перегиба могут служить

Слайд 35

Слайд 36http://aida.ucoz.ru

Слайд 37

Слайд 38Пример 3. Найти точки перегиба кривых:
а) f(x)= 6x² –

x³
Находим:
f′(x)= 12x – 3x²
f′′(x)= 12 – 6x
f′′(x)=0 x=2 – критическая

точка
В промежутке -∞0, а в промежутке 2Найдем ординату этой точки:
f(2)=16
Следовательно, (2;16) – точка перегиба.

Пример

Слайд 39Пример 3. Найти точки перегиба кривых:
б)

Находим:

f′′(x)=0 x=0

– критическая точка, в которой вторая производная терпит разрыв.
В промежутке

-∞0, тогда при x=0 кривая имеет точку перегиба (0;-2).

Пример

Слайд 40Домашнее задание:

Скачать презентацию

Разделы презентаций

Исследование функций с помощью производной

Содержание

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Исследование функций с помощью производной

Слайд 2Признак возрастания (убывания) функции. Критические точки функции – максимумы и

минимумы.Правило нахождения интервалов монотонности и экстремумы. Исследование функции на монотонность

Слайд 3 Одна из основных задач исследования функции- это нахождение промежутков

ее возрастания и убывания.

Слайд 4ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1:Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для

любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что

Слайд 5Возрастание функции

Слайд 6ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2: Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для

любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что

Слайд 7Убывание функции

Слайд 8Определение постоянной функции Функция, не возрастающая и не убывающая на всей

области определения называется постоянной.

Слайд 9Промежутки монотонности Промежутки возрастания и убывания называются промежутками монотонности

функции. Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то

Слайд 10Пример1: Найти промежутки монотонности, функции, заданной графически Ответ: Промежутки возрастания

(- ∞; -1) и (2; +∞),промежуток убывания: (-1; 2).

Слайд 11ТЕОРЕМА 1.(необходимые условия возрастания и убывания функции). Если дифференцируемая функция

у = f(x), x (а,b) возрастает на интервале (а, b),

Слайд 12ТЕОРЕМА 2.(достаточный признак возрастания и убывания функций). Если f’(x)>0, в каждой

точке интервала (a,b), то функция возрастает на этом интервале. Если f’(x)

Слайд 13 Точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю

или не существует, называются критическими точками.

Слайд 14Точка максимума Точка x0 называется точкой максимума функции f(x) ,

если для всех x из некоторой окрестности x0 выполнено неравенствоf

Слайд 15Точка минимума Точка x0 называется точкой минимума функции f(x) ,

если для всех x из некоторой окрестности x0 выполнено неравенство

Слайд 16 Точки максимума и минимума функции f(x) называются точками экстремума этой

функции, а значения функции в точках максимума и минимума называются

Слайд 1700minmaxminminmax

Слайд 18 Экстремум функции, если он существует, может быть только в критических

точках. Однако не во всякой критической точке функция имеет экстремум.

Слайд 19ТЕОРЕМА 3.(необходимое условие экстремума). Теорема Ферма. Если функция у = f(х)

имеет экстремум в точке х = а, то либо f

Слайд 20Экстремумы функцииСтационарные точкиКритические точкиЕсли производная функцииравна нулюне существуетКасательная в таких

точках графика параллельна оси ОХКасательная в таких точках графика не

Слайд 21Если производная f ' (х) при переходе через точку х0

меняет знак с «+» на «-», то х0 является точкой

Слайд 221).Найти область определения функции: D(f).2). Найти f’(x).3).Найти точки, в которых

выполняется равенство f’(x)=0Правило исследования функции y=f(x) на экстремум.

Слайд 234). Найти точки, в которых выполняется равенство f’(x) не существует.

5).Отметить на координатной прямой все критические точки и область определения

Слайд 247). Сделать выводы о наличии или отсутствии экстремума в каждой

из критических точек:если знак производной меняется с «+» на

Слайд 25Пример . Исследовать на экстремум функцию у

= 2х3 – 15х2 + 36х + 1 1. Функция определена

Слайд 26Исследование функций с помощью второй производной

Слайд 27

Слайд 28Пример. Исследовать функцию на экстремум с помощью 2-ой производной:http://aida.ucoz.ru

Слайд 29Выпуклость, вогнутость

Слайд 30Выпуклость, вогнутость

Слайд 31Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз,

называются промежутками выпуклости графика функции.Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся

Слайд 32Пример

Слайд 33Пример 2. Найти промежутки выпуклости кривых: f(x)=x⁴ - 2x³ +

6x – 4Находим: f′(x)= 4x³ - 6x² + 6f′′(x)= 12x²

Слайд 34Точка графика функции y=f(x), разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого

графика, называется точкой перегиба.Точками перегиба могут служить только критические точки,

Слайд 35

Слайд 36http://aida.ucoz.ru

Слайд 37

Слайд 38Пример 3. Найти точки перегиба кривых: а) f(x)= 6x² –

x³Находим: f′(x)= 12x – 3x²f′′(x)= 12 – 6xf′′(x)=0 x=2 – критическая

Слайд 39Пример 3. Найти точки перегиба кривых: б)Находим: f′′(x)=0 x=0

– критическая точка, в которой вторая производная терпит разрыв.В промежутке

Слайд 40Домашнее задание:

Похожие презентации

Обратная связь

Что такое TheSlide.ru?

минимумы.

Правило нахождения интервалов монотонности и экстремумы. Исследование функции на монотонность

Слайд 4ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1:
Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для

Слайд 6ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2:
Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для

Слайд 8Определение постоянной функции
Функция, не возрастающая и не убывающая на всей

Слайд 9Промежутки монотонности
Промежутки возрастания и убывания называются промежутками монотонности

функции.
Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то

Слайд 10Пример1: Найти промежутки монотонности, функции, заданной графически
Ответ:
Промежутки возрастания

(- ∞; -1) и (2; +∞),
промежуток убывания: (-1; 2).

Слайд 11ТЕОРЕМА 1.(необходимые условия возрастания и убывания функции).
Если дифференцируемая функция

у = f(x), x (а,b)
возрастает на интервале (а, b),

Слайд 12ТЕОРЕМА 2.(достаточный признак возрастания и убывания функций).
Если f’(x)>0, в каждой

точке интервала (a,b), то функция возрастает на этом интервале.

Если f’(x)

Слайд 14Точка максимума
Точка x0 называется точкой максимума функции f(x) ,

если для всех x из некоторой окрестности x0 выполнено неравенство
f

Слайд 15Точка минимума
Точка x0 называется точкой минимума функции f(x) ,

Слайд 170
0
min
max
min
min
max

точках.

Однако не во всякой критической точке функция имеет экстремум.

Слайд 19ТЕОРЕМА 3.(необходимое условие экстремума).
Теорема Ферма. Если функция у = f(х)

Слайд 20Экстремумы функции
Стационарные точки
Критические точки
Если производная функции
равна нулю
не существует
Касательная
в таких

точках
графика параллельна оси ОХ
Касательная в
таких точках графика
не

Слайд 22
1).Найти область определения функции: D(f).
2). Найти f’(x).
3).Найти точки, в которых

выполняется равенство f’(x)=0

Правило исследования функции y=f(x) на экстремум.

из критических точек:
если знак производной меняется с «+» на

Слайд 25Пример . Исследовать на экстремум функцию
у

= 2х3 – 15х2 + 36х + 1

1. Функция определена

Слайд 28Пример. Исследовать функцию на экстремум с помощью 2-ой производной:
http://aida.ucoz.ru

называются промежутками выпуклости графика функции.
Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся

6x – 4
Находим:
f′(x)= 4x³ - 6x² + 6
f′′(x)= 12x²

графика, называется точкой перегиба.
Точками перегиба могут служить только критические точки,

Слайд 38Пример 3. Найти точки перегиба кривых:
а) f(x)= 6x² –

x³
Находим:
f′(x)= 12x – 3x²
f′′(x)= 12 – 6x
f′′(x)=0 x=2 – критическая

Слайд 39Пример 3. Найти точки перегиба кривых:
б)

Находим:

f′′(x)=0 x=0

– критическая точка, в которой вторая производная терпит разрыв.
В промежутке