Комплексные числа

Чему она равна?
Что обозначают действительной и мнимой частью комплексного числа?
Какие

бывают действия над комплексными числами?
Примеры разобрать УСТНО.

www.themegallery.com

того, чтобы сделать возможной операцию извлечения квадратного корня из любого

действительного числа. Это, однако, не является достаточным основанием для того, чтобы вводить в математику новые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречаются квадратный корень из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему квадратный корень
из отрицательного числа. В XVI в.

Кардано нашел формулу для решения кубического уравнения. Оказалось, когда кубическое уравнение имеет три действительных корня, в формуле Кардано встречается квадратный корень из отрицательного числа.
Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению.

поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел Д’Аламбер (1747),

но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 г, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.

Из истории комплексных чисел

Полные гражданские права мнимым числам дал Гаусс, который назвал их комплексными числами, дал геометрическую интерпретацию и доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что каждый многочлен имеет хотя бы один действительный корень.
Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Весселя (англ.), (1799). Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685 году.

–, 
Рациональные числа: +, –, , ÷
Действительные числа: +,

–, , ÷, любые длины

Q

Z

N

R

C

действительных чисел с заданными определенным образом операциями умножения и сложения.

Комплексное число z = (a; b) записывают как z = a + bi.

i2 = −1, i – мнимая единица.

Число Re z называется действительной частью числа z,
а число Im z – мнимой частью числа z.
Их обозначают a и b соответственно: a = Re z, b = Im z.

Определение:
Числа вида a + bi, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, называются комплексными.

комплексное число, квадрат которого равен (−1).
С2) Множество комплексных чисел содержит

все действительные числа.
С3) Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяют обычным законам арифметических действий (сочетательному, переместительному, распределительному).

i – начальная буква французского слова imaginaire – «мнимый»

di означает, что a = c и b = d

(два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части)

Сложение
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Вычитание
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Умножение
(a + bi)  (c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac − bd) + (bc + ad)i

Деление

+ c) + (b + d)i
Например:
1. (2 + 3i) +

(5 + i) = (2 + 5) + (3 + 1)i = 7 + 4i;
2. (– 2 + 3i) + (1 – 8i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 8))i = – 1 – 5i;
3. (– 2 + 3i) + (1 – 3i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 3))i = – 1 + 0i = – 1.

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
Например:
(5 – 8i) – (2 + 3i) = (3 – 2) + (– 8 – 3)i = 1 – 11i;
(3 – 2i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + ((– 2) – (– 2))i = 2 + 0i = 2.

+ (ad + bc)i
Например:
1. (– 1 + 3i)(2 + 5i)

= – 2 – 5i + 6i + 15i2 = – 2 – 5i + 6i – 15 = – 17 + i; 
2. (2 + 3i)(2 – 3i) = 4 – 6i + 6i – 9i2 = 4 + 9 = 13.

Произведение двух сопряженных чисел – действительное число:
(a + bi)(a – bi) = a2 – abi + abi – b2i2 = a2 + b2

Произведение двух чисто мнимых чисел – действительное число:
bi  di = bdi2 = − bd
Например: 
1. 5i•3i = 15i2 = − 15;
2. − 2i•3i = − 6i2 = 6.  

c + di ≠ 0 определяется как операция обратная умножению

и выполняется по формуле:


Формула теряет смысл, если c + di = 0, так как тогда c2 + d2 = 0, т. е. деление на нуль и во множестве комплексных чисел исключается.
Обычно деление комплексных чисел выполняют путем умножения делимого и делителя на число, сопряженное делителю.
Например:

bi
a
b
|z|
φ