Комплексные числа и действия над ними

числа. Уметь: производить над комплексными числами операции сложения, умножения, вычитания, деления, возведения

в степень, извлечение корня из комплексного числа; переводить комплексные числа из алгебраической формы в геометрическую и тригонометрическую; пользоваться геометрической интерпретацией комплексных чисел; в простейших случаях находить комплексные корни уравнений с действительными коэффициентами.

справка
Основные понятия
Геометрическое изображение комплексных чисел
Формы записи

комплексных чисел
Действия над комплексными числами

2т. Т.1. /А.А. Гусак. – 5-е изд. – Минск.: ТетраСистемс,

2004. – 544с.

Канатников, А.Н. Линейная алгебра. / А.Н. Канатников, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001 – 336 с.

Курош, А.Г. Курс высшей алгебры. / А.Г. Курош. - М.: Наука,1971- 432 .

Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. – 2-е изд., испр. – М.: Айрис-пресс, 2003. - 288 с.

Сикорская, Г.А. Курс лекций по алгебре и геометрии: учебное пособие для студентов транспортного факультета / Г.А. Сикорская. - Оренбург: ИПК ГОУ ОГУ, 2007. – 374 с.

содержание

и теории решения алгебраических уравнений.
С комплексными числами впервые математики

встретились при решении квадратных уравнений. Вплоть до ХVI века математики всего мира, не находя приемлемого толкования для комплексных корней, возникавших при решении квадратных уравнений, объявляли их ложными и не принимали во внимание.

Кардано, занимавшийся решением уравнений 3-й и 4-й степеней был одним из первых математиков, формально оперировавших комплексными числами, хотя их смысл во многом оставался для него неясным.

Смысл комплексных чисел разъяснил другой итальянский математик Р.Бомбелли. В своей книге «Алгебра» (1572 г.) он впервые изложил правила действий над комплексными числами в современной форме.

Вместе с тем, вплоть до XVIII века, комплексные числа считали «воображаемыми» и бесполезными. Интересно отметить, что даже такой выдающийся математик как Декарт, отождествлявший действительные числа с отрезками числовой прямой, считал, что для комплексных чисел не может быть никакого реального истолкования, и они навечно останутся воображаемыми, мнимыми. Аналогичных взглядов придерживались великие математики Ньютон и Лейбниц.

требовали широкого применения операций над комплексными числами, что создало условия

для разработки их геометрического истолкования.

В прикладных работах Даламбера и Эйлера в середине XVIII века авторы представляют произвольные мнимые величины в виде z=a+ib, что позволяет изображать такие величины точками координатной плоскости. Именно эта интерпретация была использована Гауссом в работе, посвященной исследованию решений алгебраического уравнения.

И только в начале XIX века, когда уже была выяснена роль комплексных чисел в различных областях математики, была разработана очень простая и естественная их геометрическая интерпретация, позволившая уяснить геометрический смысл операций над комплексными числами.

Этому математика обязана Гауссу, опубликовавшему в 1831 г. свою работу по теории чисел. Тем самым был положен конец сомнениям в законном и полезном применении комплексного числа.

содержание

где a и b – действительные числа, i – мнимая

единица, которая определяется соотношением:

При этом число a называется действительной частью числа z
(a = Re z), а b - мнимой частью (b = Im z).

Если a=Re z=0, то число z будет чисто мнимым, если b=Im z=0, то число z будет действительным.

Числа z=a+ib и называются комплексно – сопряженными.

Два комплексных числа z1=a1+ib1 и z2=a2+ib2 называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:

a1=a2; b1=b2

Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части
a=b=0.
Также комплексные числа можно записывать, например, в виде z=x+iy, z=u+iv.

содержание

изобразить точкой M(x;y) плоскости xOy такой, что х = Re

z, у = Im z. И, наоборот, каждую точку M(x;y) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z=x+iy (рисунок 1).

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

Рисунок 1

Ось абсцисс называется действительной осью, так как на ней лежат действительные числа z=x+0i=x .

Ось ординат называется мнимой осью, на ней лежат мнимые комплексные числа z=0+yi=yi.

содержание

началом которых служит точка O(0;0), концом M(x;y) .
Длина вектора

изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается | z| или r.

Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Arg z или φ.

Аргумент комплексного числа z=0 не определен.
Аргумент комплексного числа z≠0 - величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2πk (k=0,-1,1,-2,2,..) :

Arg z=arg z+2 πk,

где arg z - главное значение аргумента, заключенное в промежутке (- π, π].

содержание

алгебраической формой комплексного числа.
Из рисунка 1 видно, что x=rcosφ,

y=rsinφ, следовательно, комплексное z=x+iy число можно записать в виде:

Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Модуль r=|z| однозначно определяется по формуле

Аргумент φ определяется из формул

содержание

определить лишь главное значение аргумента комплексного числа, т.е. считать

φ=arg z.

Так как то из формулы получаем, что
- для внутренних точек I, IV четвертей;
- для внутренних точек II четверти;
- для внутренних точек III четверти.

Пример 1. Представить комплексные числа и в тригонометрической форме.

содержание

+isinφ), где
1) z1=1+i (число z1 принадлежит I четверти), x=1,

y=1.

Таким образом,

2) (число z2 принадлежит II четверти)

Так как то

Следовательно,

Ответ:

содержание

что функция w может быть записана в виде:
Данное равенство называется

уравнением Эйлера.

Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства:

1)

2)

3)

где m – целое число.

Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0), то получаем:

Для комплексно – сопряженного числа получаем:

содержание

значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов.
Если представить

комплексное число в тригонометрической форме

z=r(cosφ +isinφ)

и воспользоваться формулой Эйлера eiφ=cosφ+isinφ, то комплексное число можно записать в виде

z=r eiφ

Полученное равенство называется показательной формой комплексного числа.

содержание

в алгебраической форме
а) Сложение комплексных чисел

Суммой двух комплексных чисел

z1=x1+y1i и z2=x2+y2i называется комплексное число, определяемое равенством

z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2).

Свойства операции сложения:

1. z1+z2= z2+z1,
2. (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3),
3. z+0=z.

б) Вычитание комплексных чисел

Вычитание определяется как действие, обратное сложению.

Разностью двух комплексных чисел z1=x1+y1i и z2=x2+y2i называется такое комплексное число z, которое, будучи сложенным с z2, дает число z1 и определяется равенством
z=z1 – z2=(x1 – x2)+i(y1 – y2).

содержание

комплексное число, определяемое равенством

z=z1 z2=(x1 x2 –y1 y2 )+i(x1 y2

–x2 y1 ).

Отсюда, в частности, следует важнейшее соотношение

i2= – 1.

Свойства операции умножения:
1. z1z2= z2z1,
2. (z1z2)z3=z1(z2z3),
3. z1(z2+z3 ) =z1z2+z1z3,
4. z∙1=z.

содержание

комплексных чисел z1 и z2≠0 называется комплексное число z, которое

будучи умноженным на z2, дает число z1, т.е. если z2 z = z1.

Если положить z1=x1+y1i, z2=x2+y2i≠0, z=x+yi, то из равенства (x+yi)(x2+iy2)= x1+y1i, следует

Решая систему, найдем значения x и y:

Таким образом,

содержание

и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю («избавляются

от мнимости в знаменателе»).

Пример 2. Даны комплексные числа 10+8i, 1+i. Найдем их сумму, разность, произведение и частное.

Решение.

а) (10+8i)+(1+i)=(10+1)+(8+1)i=11+9i;

б) (10+8i)–(1+i) =(10–1)+(8–1)i=9+7i;

в) (10+8i)(1+i) =10+10i+8i+8i2=2+18i;

г)

содержание

степень
Выпишем целые степени мнимой единицы:
и т.д.
В общем виде

полученный результат можно записать так:

Пример 3. Вычислить i2092 .

Решение.

Представим показатель степени в виде n=4k+l и воспользуемся свойством степени с рациональным показателем z4k+1=(z4)k ∙ zl .
Имеем: 2092=4∙523 .
Таким образом, i2092 = i4∙523 =(i4)523, но так как i4=1, то окончательно получим i2092 =1.

Ответ: i2092 =1.

содержание

пользуются формулой для квадрата и куба суммы двух чисел, а

при возведении в степень n (n – натуральное число, n≥4) – формулой бинома Ньютона:

Для нахождения коэффициентов в этой формуле удобно пользоваться треугольником Паскаля.

содержание

числа называется такое комплексное число, квадрат которого равен данному.
Обозначим квадратный

корень из комплексного числа x+yi через u+vi, тогда по определению

Формулы для нахождения u и v имеют вид

(1)

Знаки u и v выбирают так, чтобы полученные u и v удовлетворяли равенству 2uv=y .

содержание

корень из числа z через u+vi, тогда (u+vi)2=5+12i.

Поскольку в

данном случае x=5, y=12, то по формулам (1) получаем:

u2=9; u1=3; u2= – 3; v2=4; v1=2; v2= – 2.

Таким образом, найдено два значения квадратного корня: u1+v1i=3+2i, u2+v2i= –3 –2i, . (Знаки выбрали согласно равенству 2uv=y, т.е. поскольку y=12>0, то u и v одного комплексного числа одинаковых знаков.)

Ответ:

содержание

комплексных числа z1 и z2 , заданных в тригонометрической форме
а)

Произведение комплексных чисел

Выполняя умножение чисел z1 и z2 , получаем

содержание

и z2 ≠ 0.
Рассмотрим частное

имеем

содержание

формулу

. получаем

Следовательно,

2) Используя формулу . получаем

Следовательно,

Ответ:

содержание

степень
Из операции умножения комплексных чисел следует, что
В общем случае

получим:

(2)

где n– целое положительное число.

Следовательно, при возведении комплексного числа в степень модуль возводится в ту же степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Выражение (2) называется формулой Муавра.

содержание

извлечения корней) комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме;
первый стал использовать

возведение в степень бесконечных рядов;
большой вклад в теорию вероятностей: доказал частный случаи теоремы Лапласа, провёл вероятностное исследование азартных игр и ряда статистических данных по народонаселению.

Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов.

Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик французского происхождения.

содержание

число
Тогда с одной стороны
По формуле Муавра:
Приравнивая, получим

Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то

Получили известные формулы двойного угла.

содержание

из комплексного числа z называется комплексное число w, удовлетворяющее равенству

wn=z, т.е. если wn=z.

Если положить а то, по определению корня и формуле Муавра, получаем

Отсюда имеем

То есть

Поэтому равенство принимает вид

где (т.е. от 0 до n-1).

содержание

всегда возможно и дает n различных значений. Все значения корня

n-ой степени расположены на окружности радиуса с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.

Пример 7. Найти все значения

Решение.

Вначале представим число в тригонометрической форме.

В данном случае x=1, , таким образом,

Следовательно,

Используя формулу

где k=0,1,2,…,(n-1), имеем:

содержание

Ответ:
содержание

число называется чисто мнимым?
3. Какие два комплексных числа называются

сопряженными?
4. Объясните, что значит сложить комплексные числа, заданные в алгебраической форме; умножить комплексное число на действительное.
5. Объясните принцип деления комплексных чисел, заданных в алгебраической форме.
6. Запишите в общем виде целые степени мнимой единицы.
7. Что означает возведение комплексного числа, заданного алгебраической формой в степень ( n- натуральное число)?
8. Расскажите как изображаются комплексные числа на плоскости.

определение модуля и аргумента комплексного числа.
11. Сформулируйте правило умножения комплексных

чисел, записанных в тригонометрической форме.
12. Сформулируйте правило нахождения частного двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.
13. Сформулируйте правило возведения в степени комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.
14. Сформулируйте правило извлечения корня n-ой степени из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме.
15. Расскажите о значении корня n-ой степени из единицы и о сфере его применения.