квадратичная форма

есть однородный многочлен второй степени от этих переменных


В выражении


обычно полагают

1.Определения

= XT (AX) = XT Y
Пусть A=CTC. Тогда

XT AX= XTCTCX=(CX)TCX=YTY
XT AY= XTCTCY=(CX)TCY=YTZ

Длина вектора v, ||v||= (vTv)1/2;
uTv, скалярное произведение u и v

матрица квадратичной формы (А - симметрическая матрица (

)). Ранг матрицы А называют также рангом квадратичной формы.

n переменных и

X = PY,
есть невырожденное линейное преобразование переменных (то есть P – невырожденная матрица). Тогда
XT =(PY)T=YTРT
поэтому
XT AХ=YTРTАРY=YT(PT АР)Y =YTBY

где B = PT АР .

невырожденная матрица. Тогда матрица B = PT АР снова является

симметрической.
Доказательство.






Следствие 1.3. YTBY также является квадратичной формой от n переменных.

если существует P – невырожденная матрица, такая что B =

PT АР .
Теорема 1.5. Конгруэнтные матрицы имеют одинаковый ранг (таким образом невырожденное линейное преобразование сохраняет ранг формы).
Доказательство. По условию, B = PT АР , тогда rank B = rank(PT АР)= (P невырождена)=rank(PT А)= =rank А. QED

каноническая форма) - это квадратичная форма вида

( таким образом, матрица

канонической формы имеет диагональный вид).
Каноническая квадратичная форма не содержит произведений неизвестных.
Следствие 2.2. Число ненулевых коэффициентов в каноническом виде совпадает с рангом формы.

квадратов. Пусть

есть данная квадратичная форма.
Возможны два случая:
хотя бы один из коэффициентов при квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать .


(делаем замену )
.
есть квадратичная форма от , с ней поступаем так же.

2.3.Метод Лагранжа

, некоторый коэффициент ( В противном случае форма тождественно нулевая). Будем считать ,
делаем замену , появляются ненулевые квадраты от Этот случай сводится к первому.
Замечание 2.4. Линейные преобразование в методе Лагранжа – невырожденные.
В первом случае

Во втором случае

Метод Лагранжа (прод.)

A.
 Для комплексной квадратичной формы

где r = rank A.

UM

вид имеет вид:






где r = rank A.
 Для комплексной квадратичной формы:

где r = rank A.

к каноническому виду.
Решение. 3x2 + 3z2 + 4xy +

8xz + 8yz =
3(x2+4/3 xy+4/9 y2 + 8/3 xz+ 16/9 yz + 16/9 z2) - 4/3 y2 - 16/3 yz - 16/3 z2 + 3 z2 + 8yz =
3(x+2/3 y+4/3z)2 - 4/3(y2 - 2xz + z2 ) + 4/3 z2 - 7/3z2 = 3(x+2/3 y+4/3z)2 - 4/3(y2 - 2xz + z2 ) - z2
= 3(x+2/3 y+4/3z)2 - 4/3(y - z)2 - z2

Пример

называется положительным индексом квадратичной формы.
Количество отрицательных коэффициентов в каноническом виде

квадратичной формы называется отрицательным индексом квадратичной формы (равен r – p, где r – ранг формы) .
Сигнатура – разность между положительным и отрицательным индексами (т.е. p – (r – p) = 2p – r)

отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится квадратичная форма

с действительными коэффициентами действительным невырожденным линейным преобразованием, не зависит от выбора этого преобразования.
Доказательство. Пусть F – действительная квадратичная форма. Пусть эта форма приведена двумя способами к двум нормальным видам. Согласно предыдущим результатам оба этих нормальных вида содержат одинаковое число r квадратов переменных с ненулевыми коэффициентами (ранги одинаковы):
F = у12 + у22 + … + ук2 – ук+12 – … – уr2 =
= z12 + z22 + … + zр2 – zр+12 – … – zr2. (*)

нормальным формам, имеют вид:
уі =

, і = 1, 2, … , n (Y=AX) и (**)

zј = , ј = 1, 2, … , n (Z=BX) (***)

Так как эти формулы задают невырожденные преобразования, то определители матриц А и В отличны от нуля.
Надо доказать, что к = р. Предположим, что к ≠ р. Не нарушая общности, можно считать, что к < р.

=0
…
ук =0
zр+1 = 0
…

или
zr = 0
zr+1 = 0
…
zn = 0. і = 1, … , k и
ј = p+1, … , n.

к линейных однородных уравнений от n неизвестных.
Так как число

уравнений меньше числа неизвестных (k
Пусть (х10, х20, … , хn 0 ) – ненулевое решение однородной системы.
Подставим это решение в формулы (**) и (***), вычислим все уі и zј и подставим их в равенство (*).

(уr0)2 =
= (z10)2 + (z20)2 + … + (zр0)2.
Левая

часть равенства – неположительная, правая часть – неотрицательная. Это возможно тогда и только тогда, когда ук+10 = … = уr0 = z10 = z20 = … = zр0 = 0.
Получили, что (х10, х20, … , хn 0 ) – ненулевое решение системы
z1 = z2 = … = zр = zр+1 = … = zr = zr+1 = … = zn = 0 или

ј = 1, … , n.
что невозможно, т.к. ранг этой системы равен n (B –невырожденная матрица). Итак, наше предположение не верно. Следовательно, к = р.
QED 

главным осям)
Пусть XT AX есть квадратичная форма от n переменных.

Так как A – симметрическая матрица, то она может быть приведена к диагональному виду с помощью ортогональной матрицы Q ( Y=QX ):
QT AQ=D ,
Причем на главной диагонали матрицы D стоят собственные значения матрицы A, а столбцы матрицы Q являются соответствующими собственными столбцами.
Определение 3.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду , при котором коэффициенты при квадратах переменных являются собственными числами матрицы А называют приведением к главным осям.

4xz – 8yz к главным осям.

Решение. Матрица квадратичной формы




Пример.

[A – 3I] X1 = 0




Получаем X1 =

[A –

(0)I] X2 = 0

λ = 15 есть X3 =