Лектор Дьяконова Н.В. 20 1 1 г. Дифференциальные уравнения Тема: Линейные

дифференциальные
уравнения n-го порядка
(однородные с постоянными

коэффициентами, уравнения Эйлера)

имеет вид
y(n) + a1  y(n – 1) + … + an – 1  y  +  an  y = 0 , (10)
где a1 , a2 , … , an – некоторые действительные числа.
Уравнение (10) называется

линейным однородным уравнением n–го порядка с постоянными коэффициентами.
Решения уравнения (10) будем искать в виде y = e x , где  – некоторая постоянная.
Имеем:
y  =   e x , y  = 2  e x , y  = 3  e x , … , y(n) = n  e x .
Подставляем y , y  , y  ,  … , y(n) в уравнение (10) и получаем:
n  e x + a1  n – 1  e x + … + an – 1    e x +  an  e x = 0 ,
 n  + a1  n – 1  + … + an – 1    +  an  = 0 . (11)

части (11) называется характеристичес- ким многочленом,
Корни уравнения (11) называются характеристическими

корнями уравнения (10).
Замечания.
1) Формально характеристическое уравнение (11) получается из (10) заменой производных искомой функции на соответ- ствующие степени , а самой функции – на 0 = 1 .
2) Уравнение (10) – алгебраическое уравнение n-й степени.
 оно имеет n корней, но
1) каждый корень считается столько раз, какова его кратность; 2) корни могут быть комплексными (причем, комплексные корни попарно сопряжены).
Следовательно, функции вида e x в общем случае не дадут всю ф.с.р. уравнения (10).

если ℝ и  – простой корень уравнения (11), то

решением уравнения (10) является функция e x;
2) если ℝ и  – корень кратности k уравнения (11) , то решениями уравнения (10) являются функции
e x, x  e x, x2  e x,  …,  xk – 1  e x;
3) если  = a + biℂ и  – простой корень уравнения (11), то ̄ = a – bi тоже является простым корнем уравнения (11), а решениями уравнения (10) являются функции
ea x  cosbx , ea x  sinbx ;
4) если  = a + biℂ и  – корень кратности k уравнения (11), то ̄ = a – bi тоже является корнем кратности k уравнения (11), а решениями (10) являются функции
ea x  cosbx, xea x  cosbx, x2ea x  cosbx, …, xk – 1ea x  cosbx 
ea x  sinbx, xea x  sinbx, x2ea x  sinbx, …, xk – 1ea x  sinbx .
Решения, относящиеся к различным характеристическим корням, линейно независимы и найденные таким образом n решений уравнения (10) будут образовывать его ф.с.р.

уравнения
ПРИМЕР 3. Найти общее решение уравнения

Уравнение Эйлера сводится к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами

заменой x = et .
 фундаментальная система решений уравнения (12) состоит из функций вида
x   ↔   e t  ;
lnℓx  x   ↔   t ℓ  e t  ;
x  cos(ln x) ,  x  sin(ln x)   ↔   e a t  cosbt , e a t  sinbt   ;
lnℓx  xcos(ln x),  lnℓx  xsin(ln x)   ↔   tℓ ea tcosbt, tℓ ea tsinbt .

его характеристическое уравнении.
Действительно, характеристическое уравнение – это условие для

, при котором e t  является решением ЛОДУ.
Но et = x . Следовательно, то же самое условие для  полу- чится, если потребовать, чтобы функция y = x  являлась решением уравнения (12).
ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения

y1(x) любое ненулевое решение уравнения (13).
Тогда его общее решение

имеет вид
ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения ,
если известно, что его решением является функция