Лектор Пахомова Е.Г. 20 1 1 г. Дифференциальные уравнения Тема: Однородные

Уравнения, приводящиеся
к однородным

изме- рения m), если t  0 справедливо равенство
M(tx , ty) = tm  M(x , y) .
ПРИМЕРЫ однородных функций:

функция f(x , y) является однородной нулевой степени.
Дифференциальное уравнение
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 
является однородным

относительно x и y, если функции M(x , y) и N(x , y) – однородные функции одного и того же измерения.
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделя- ющимися переменными заменой
Замечание. Некоторые однородные уравнения проще интегри- руются с помощью замены

то уравнение (7) будет однородным, т.к.
Пусть c1  0 или c2  0.

Тогда уравнение (7) заменой переменных приводится либо к уравнению с разделяющимися переменными, либо к однородному.
Это зависит от определителя

Δ  0 , то система уравнений
имеет единственное решение x = a , y = b  .
Сделаем в

(7) замену переменных: x = t + a , y = z + b .
Тогда:

однородное уравнение

разделяющимися переменными.
Действительно, если Δ = 0 , то строки определителя Δ про- порциональны (см.

упражнение в курсе «Линейная алгебра»),
т.е. a2 = la1 , b2 = lb1 .
Тогда
 y  = (a1x + b1y) .
Это уравнение (6) (см. §4). Оно приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены
z(x) = a1x + b1y .

если существует такое рациональное число a, что каждое слагаемое уравнения –

однородная функция степени a отно- сительно x, y, y  (относительно x, y, dx, dy), если считать x – величиной измерения 1, y – величиной измерения a, y (dy) – величиной измерения a – 1, dx – величиной измерения 0.
Иначе говоря, уравнение P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0  – обобщен- но однородное, если aℚ такое, что
P(tx , tay)dx + Q(tx , tay)  (ta -  1dy) = tm  [ P(x , y)dx + Q(x , y)dy ] .
 Обобщенно однородное уравнение приводится к однородному уравнению заменой y = za .
Обобщенно однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой y = zxa .