Лекция 1 ( 1ч ). Элементы квантовой оптики

и Вина
Формула Рэлея - Джинса
Квантовая гипотеза и формула Планка

свойства
Любой процесс электромагнитного (э/м) излучения связан с

потерей энергии (того или иного вида) у источника (излучателя). В зависимости от вида энергии, которую теряет излучатель различают:
тепловое излучение, т.е. испускание э/м волн нагретыми телами за счет их внутренней энергии (причиной излучения является возбуждение атомов, молекул вещества вследствие их теплового движения);
люминесценцию, т.е. излучение (свечение) тел за счет всех других видов энергии (кроме внутренней энергии) или, иначе говоря, это излучение света телами, избыточное над тепловым излучением этих тел.
Замечание. В люминесценции различают:
хемилюминесценцию – свечение веществ за счет энергии, выделяемой при химических превращениях;
электролюминесценцию – свечение в газовых разрядах, у поверхностей твердых тел под действием электрического поля;
катодолюминесценцию – свечение твердых тел, вызванное бомбардировкой их электронными пучками;
фотолюминесценцию – свечение тел за счет поглощенного света

свойства
Тепловое излучение имеет место при любой температуре Т

> 0 К; однако при невысоких температурах излучаются практически лишь длинные (инфракрасные λm2 ~ 1…10 мкм) э/м волны, а при высоких температурах излучателя доминирует ультрафиолетовая (λm1 ~ 0,1 мкм) область в спектре излучения.

Опыт показывает, что единственным видом э/м излучения, которое может находиться в термодинамическом равновесии с излучающими телами, является тепловое излучение.
Если поместить в замкнутую отвакуумированную полость с идеально отражающими стенками тела с различными температурами, то в такой системе начнется теплообмен путем испускания и поглощения э/м волн между телами и телами и стенками полости.

Iλ

λ

λm2

λm1

T1

T2

>

T1

T2

Трав

свойства
Через некоторое время (оно зависит от свойств

излучателей и их исходного неравновесного состояния) неизбежно установится термодинамическое равновесие в этой системе, соответствующее определенной температуре Трав. За любой промежуток времени испускаемая телами энергия становится равной поглощаемой энергии, и плотность энергии излучения в пространстве между телами достигает определенной величины, соответствующей Трав. Такое состояние излучения в полости остается неизменным во времени (в отсутствии внешних воздействий).
Способность теплового излучения находиться в равновесии с излучающими телами обусловлена тем, что его интенсивность возрастает при увеличении температуры.
Всякое нарушение равновесия в системе «тело – излучение» вызывает возникновение процессов, восстанавливающих равновесие (см. принцип Ле Шателье – Брауна)

теплового излучения будем характеризо-вать мощностью, излучаемой с единицы поверхности тела.

Энергетической светимостью Rэ называется величина, измеряемая потоком э/м излучения Фэ, испускаемым единицей поверхности тела (с температурой Т) по всем направлениям (в пределах телесного угла 2π, т.е. в полусферу):
Rэ = Фэ /S, [Вт/м2] (1)
где S – площадь излучающей поверхности.

S; T

Замечание. Энергетическая светимость – интегральная характеристика теплового излучения.

частот ω или длин, в основном в оптическом диапазоне: λ

≈ 0,01…1000 мкм, и имеет сплошной спектр.
Распределение энергии в спектре излучения описывается спектральной плотностью энергетической светимости или испускательной способностью тела:
rω, T = dRω, T /dω, [Дж/м2.рад] (2)
где dRω, T - мощность излучения, испускаемая в узком спектральном интервале dω единицей поверхности при заданной Т.
Испускательная способность зависит от температуры Т и частоты ω (или длины волны λ), т.е. является функцией: rω,T = f(ω, T) (или функцией: rλ, T = f’(λ, T)).
Если известна функция rω,T, то энергетическая светимость может быть определена как: Rэ = или Rэ = , где dω и dλ – принадлежат одному и тому же спектральному интервалу и, соответственно, равны элементарные мощности:
dRω,T = dRλ, T или rω,T.dω = rλ,T.dλ

Интегральные и спектральные характеристики теплового излучения

используют формулы преобразования: или
т.к. dω и

dλ принадлежат одному и тому же участку спектра и для них выполняются соотношения:

Определение. Поглощательная способность тела – это отношение поглощённого единицей поверхности тела лучистого потока dΦ”ω, заключённого в узком спектральном интервале [ω, ω+dω], к потоку излучения dΦω, падающему на 1 поверхности в этом же спектральном интервале, т.е.


Замечание. Иногда аω,Т - называют коэффициентом монохромати- ческого поглощения, причем - аω,Т = f (ω,T, материал тела).

способность аω,T = 1, называется абсолютно чёрным. Реальные тела, для

которых аω,T < 1, называются серыми.
Модель абсолютно чёрного тела (АЧТ)

Т = const

АЧТ

л у ч

Замечание. Сажа и платиновая чернь по своим оптическим характеристикам приближаются к АЧТ. Эксперимент показывает, что тело, испускающее больше лучистой энергии, должно и больше поглощать, т.е. обладать большей аω,T. Это следствие равновесности теплового излучения.

Почти замкнутая полость с малым отверстием, через которое проникает внутрь излучение (тепловой луч). Температура стенок поддерживается постоянной. Попавшее излучение после многократных отражений от внутренних стенок практически полностью поглотится ими. Поэтому само малое отверстие можно принять за АЧТ, так как для него аω,T = 1 (отверстие полностью поглотило излучение).

также предложил модель АЧТ.
Формулировка. Отношение испускательной способности к поглощательной способности

не зависит от природы тела (вещества) и является для всех тел одной и той же (универсальной) функцией частоты (или длины волны) и температуры.



где - испускательная способность АЧТ (т.к. = 1).
Вывод. Зная испускательную способность АЧТ, и определив экспериментально спектральный коэффициент поглощения для рассматриваемого тела, можно определить испускательную способность этого тела (как серого тела):

Йозеф Стефан, австрийский физик, анализируя экспериментальные данные по излучению реальных

(серых) тел, пришел к выводу, что энергетическая светимость Rэ любого тела пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры. Однако последующие более точные измерения показали ошибочность его выводов.
Людвиг Больцман в 1884 г., исходя из термодинамических соображений, получил теоретически выражение для энергетической светимости АЧТ:

где σ = 5,67. 10–8 Вт/(м2.К4)– постоянная Стефана – Больцмана.
Замечание. Для серых тел закон излучения должен быть дополнен поправочным коэффициентом ε = RЭсер / RЭ0 < 1, который часто называют степенью черноты. Поэтому закон (5) принимает вид:
RЭсер =  .σ.Т4 (51)

воспользо-вавшись, кроме термодинамики, также электромагнитной теорией, показал, что универсальная функция

Кирхгофа должна иметь вид:
f(ω,T) = ω3.F(ω/T) (6)
где F(ω/T) – некоторая функция отношения частоты излучения к температуре.
Замечание. Выражение вида (6) называют формулой Вина.
Если воспользоваться формулой преобразования
то можно получить (6) в виде функции f ′(λ,T):


последнюю формулу преобразуем к виду
где ψ(λ.Т) некоторая функция (λ.Т).

Закон смещения Вина

полученное выражение приравнять к «0»:


где λm - значение λ, отвечающее

экстремуму функции, а функция - другая, аналогичная функция. Тогда, определяя экстремум из уравнения (из опыта известно, что λm ≠ 0); следовательно решение последнего уравнения дает некоторое число «b»:
(7)
где b = 2,9.10–3 (м.К) – постоянная Вина. Иначе (7) можно записать в виде закона «смещения» Вина:
(8)
Формулировка. Длина волны в спектре излучения АЧТ, соответст-вующая наибольшей испускательной способности λm, обратно пропорциональна абсолютной температуре Т тела.

Закон смещения Вина

наибольшей испускательной способности f’(λ,T), обратно пропорциональна абсолютной температуре тела.
Площадь под

кривой есть энергетическая светимость АЧТ:

– 1909 г.г. (независимо), исходя из теоремы классической статистической физики

о равнораспределении энергии по степеням свободы и предписывая каждому колебанию, связанному с электромаг-нитной волной излучения, среднюю энергию = k.T, получили выражение для универсальной функции Кирхгофа (или испускательной способности АЧТ):
(9)
где k = 1,38.10–23 Дж/К – постоянная Больцмана.
Интегрирование этой функции по λ в пределах [0; ∞] дает бесконечное значение. Этот результат, получивший в свое время название «ультрафиолетовой катастрофы», находится в противоречии с опытом. Равновесие между излучением и излучающим телом устанавливается при конечных значениях плотности лучистой энергии.

с экспериментом лишь в длинноволновой области спектра, но резко расходится

- в короткой УФ-области.

Формула Рэлея – Джинса

излучения, Макс Планк высказал гипотезу о том, что излучение испускается

телами не непрерывно, а порциями (или квантами) энергии, величина которых пропорциональна частоте излучения:
или (10)
где h = 6,62.10–34 Дж.с, ħ = h/2π = 1,055.10–34 Дж.с - постоянная Планка.

Замечание. Так как размерность постоянной Планка - «энергия х время» - совпадает с размерностью величины, которую в механике называют «действием», то h часто называют «квантом действия».
Замечание: В механике: «действие» (по Гамильтону) - это

том, что любая физическая величина, в том числе и энергия

(излучения), изменяется непрерывным образом, т.е. за бесконечно малый промежуток времени ее изменение всегда бесконечно мало.
Именно гипотеза Планка положила начало квантовой теории (квантовой физике) - современной физической теории, в которой идея квантования (т.е. дискретности) распространяется на различные физические величины, характеризующие состояние системы.
Если излучение испускается квантами (порциями) , то полная энергия Eп излучения должна быть кратной этой величине, т.е. в общем случае:
(11)
где n = 0, 1, 2, 3,…

Квантовая гипотеза и формула Планка

по значениям энергии, как известно, подчиняется закону Больцмана; и тогда

вероятность Pn - того, что энергия колебания с частотой ω имеет значение En, определится выражением:

(12)
где Nn – число колебаний с энергией En, N – полное число колебаний.

Зная вероятность Pn появления различных значений энергии колебания, можно найти среднее значение этой энергии .

Квантовая гипотеза и формула Планка

с первым членом, равным 1, и знаменателем exp(-x)

Замечание. Согласно теории вероятностей:




Введя вспомогательную переменную x = ħω/kT (последняя, допустим, может принимать непрерывный ряд значений), преобразуем выражение для средней энергии с учетом правила взятия диффе-ренциала логарифма:

Квантовая гипотеза и формула Планка

средней энергии излучения с частотой ω:
(13)

Замечание. Если

ħ→0, то формула (13) переходит в классическое выражение (как у Рэлея – Джинса), так как в этом случае можно заменить (это выполняется тем точнее, чем меньше ħ). Таким образом, если бы энергия могла принимать непрерывный ряд значений, то ее среднее значение было бы равным kT.
Отметим, что для спектрального интервала dω на единицу объема полости, в которой заключено излучение, приходится dnω - элементарное число стоячих электромагнитных волн, которое, согласно статистической физике, равно:

Квантовая гипотеза и формула Планка

энергии, приходящуюся на интервал частот dω:



а разделив последнее выражение на

dω, получим спектральную плотность (объемную) энергии равновесного теплового излучения:



Универсальная функция Кирхгофа f(ω,T) (или, иначе, испускательная способность АЧТ r0ω,T) связана с функцией w(ω,T):

Квантовая гипотеза и формула Планка

, можно
получить еще одну практически важную формулу:



Квантовая гипотеза и формула

Планка

Формулы (15 – 17) принято называть формулами Планка для излучения АЧТ.

Формулы Планка точно совпадают с экспериментом во всем спектральном диапазоне [0; ∞] и могут быть использованы в расчетах.

Планка:



и используя подстановку ,

=> ; =>

– закон Стефана-Больцмана, где

Квантовая гипотеза и формула Планка

С помощью формулы (16) (или (17)) можно получить все известные законы теплового излучения, а также - значения физических констант σ, b.

производную «0», то экстремум функции f′(λ,T) определим по выражению {…}

= 0.
Введя обозначения получим трансцендентное уравнение:
после нахождения его корня легко определить константу Вина b:

Квантовая гипотеза и формула Планка

именно:
а) при ħɷ

– длинные волны) функция Планка превращается в функцию Рэлея - Джинса:
[здесь использована формула -

б) при ħ >> kT (большие частоты – короткие волны) функция Планка превращается в формулу Вина f(ω/T):
[здесь учтено, что

Квантовая гипотеза и формула Планка