и
дифференцируемы в точке, то
1. Сумма и разность функций дифференцируема в точке , причем
2. дифференцируема в точке , причем
Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Лекция 10. § 10.1 Основные свойства производной. Понятие аналитичности. Если и
Содержание
- 1. Лекция 10. § 10.1 Основные свойства производной. Понятие аналитичности. Если и
- 2. 3.
- 3. Понятие аналитичности ФКППусть дана функция w =
- 4. ЗамечаниеЕсли говорят, что функция f ( z
- 5. Свойства аналитичных функцийЕсли
- 6. 10.2 Элементарные функции комплексного переменного.Функция
- 7. Доказательство:Считаем, что функция:1. Определена на части комплексной плоскости с
- 8. вырезом по отрицательной части вещественной оси, то
- 9. Можно определить комплексную функцию
- 10. по формуле:Показательная функцияПоказательная функция комплексного переменного, для
- 11. Доказательство: =>Перемножим
- 12. 3. Функция аналитична во всей комплексной плоскости,
- 13. Частные производные непрерывны для
- 14. условие дифференцируемости».Следовательно, функция аналитична на всей комплексной
- 15. наименьшим периодом .Показательная функция
- 16. соответствие к.ч.
- 17. Так как
- 18. Из формулы видно, что логарифмическая функция неоднозначна,
- 19. Любая однозначная ветвь логарифмической функции аналитична на
- 20. функциями действительного переменного.3. Эти функции аналитичны во всей комплексной плоскости, причем Доказательство
- 21. Слайд 21
- 22. обращаются в ноль только на действительной оси.Решим уравнениеВсе выражение умножим наПрологарифмируем полученное выражение
- 23. Раскрывая получимТо есть косинус обращается в ноль
- 24. Для ФКП это не так.
- 25. cos x, sin x - не могут
- 26. Тригонометрические функции являются однозначными.Общепоказательные и общестепенные функции.Определение.Для
- 27. Слайд 27
- 28. Можно определить:Обратные тригонометрические функции.Если каждому комплексному числу
- 29. Слайд 29
- 30. Или умножая обе части равенства на и, перенося все слагаемые в левую часть, получаем:
- 31. Из формулы следует, что - функция бесконечнозначная.
- 32. Скачать презентанцию
3. , дифференцируема в точке и4. Если функция f ( W ) дифференцируема в точке
Слайды и текст этой презентации
Слайд 1Лекция 10.
§ 10.1 Основные свойства производной.
Понятие аналитичности.
Если
, то
1. Сумма и разность функций дифференцируема в точке , причем
2. дифференцируема в точке , причем
Слайд 2
3.
, дифференцируема в точке
и4. Если функция f ( W ) дифференцируема в точке
а функция дифференцируема в точке , то сложная функция будет дифференцируема в точке , причем
Слайд 3Понятие аналитичности ФКП
Пусть дана функция w = f ( z
) определенная на некоторой открытой области D. Функция w =
f ( z ) аналитична на открытой области D, если она дифференцируема в любой точке .Если функция аналитична на области, то у функции существуют все производные любого порядка на этой области.
Слайд 4Замечание
Если говорят, что функция f ( z ) аналитична в
точке , то это равносильно утверждению, что она
дифференцируема в точке и некоторой ее окрестности.Из аналитичности следует дифференцируемость в точке. Из дифференцируемости не обязательно следует аналитичность функции в точке.
Слайд 5Свойства аналитичных функций
Если
аналитичны в области D, то:
1.
- аналитична в области D .- аналитична в области D .
3. при условии, что аналитична в области D.
Аналитичные функции называют регулярными функциями.
Слайд 610.2 Элементарные функции комплексного переменного.
Функция
- степенная
функция. Эта функция определена на всей комплексной плоскости z. Эта функция однозначна на всей комплексной плоскости z, она аналитична на всей комплексной области z, так как в любой точке
Слайд 8вырезом по отрицательной части вещественной оси, то есть :
Вырез
делается для того, чтобы существовал арифметический корень.
2. Эта функция многозначная.
У
функции можно выделить m-однозначных ветвей, путей фиксирования k, в формуле
Слайд 9Можно определить комплексную функцию
как суперпозицию степенных функций.
Эта функция будет определена на комплексной плоскости с вырезом, многозначной на этой плоскости с вырезом, у нее можно выделить однозначную ветвь при фиксированном k. На области с вырезом, все степенные функции аналитичны, причем их производные находятся
Слайд 10по формуле:
Показательная функция
Показательная функция комплексного переменного, для
определяется следующим образом:
При
имеем, что
Слайд 123. Функция аналитична во всей комплексной плоскости, причем
Доказательство:
u v
Найдем частные производные
Слайд 13
Частные производные непрерывны для ,
как
произведение непрерывных функций. Значит функции u и v – дифференцируемы:
То есть выполняются условия Коши-Римана. Тогда функция f ( z ) дифференцируема в любой точке z в силу теоремы «необходимое и достаточное
Слайд 14условие дифференцируемости».
Следовательно, функция аналитична на всей комплексной плоскости.
Покажем, что
Так как
4.
В отличие от функции действительного переменного, показательная функция комплексного переменного
– периодическая функция, с
Слайд 15наименьшим периодом .
Показательная функция является однозначной.
Логарифмическая функция
Пусть
дано к.ч.
. Логарифмом к.ч. называется к.ч. .Если каждому к.ч поставлено в
Слайд 16соответствие к.ч.
таким образом, что
, то
говорят, что задана логарифмическая функция .Логарифмическая функция определена в комплексной области с вырезом по вещественной оси.
1. D – область определенная
2. Найдем выражение для логарифмической функции
Слайд 17Так как
,
тогда
Два к.ч. равны, когда , а аргументы отличаются на :
Логарифмируя (1) имеем:
C учетом этого:
Слайд 18
Из формулы видно, что логарифмическая функция неоднозначна, из нее можно
выделить однозначную ветвь фиксируя k.
Ветвь, полученная при k = 0
называется главным значением логарифма.Ветвей у логарифмической функции бесчисленное множество.
Слайд 19Любая однозначная ветвь логарифмической функции аналитична на области с вырезом.
Тригонометрические
ФКП
По определению:
1. Тригонометрические функции определены при любом комплексном z.
2. При
z = x, y = 0 они совпадают с обычными 
Слайд 20функциями действительного переменного.
3. Эти функции аналитичны во всей комплексной плоскости,
причем
Доказательство
Слайд 21
периодичны.
В силу
– периодичности показательной функции5. Функции комплексного переменного sin z, cos z
Слайд 22обращаются в ноль только на действительной оси.
Решим уравнение
Все выражение умножим
на
Прологарифмируем полученное выражение
Слайд 23Раскрывая получим
То есть косинус обращается в ноль только в точках
действительной оси.
Синус тоже обращается в ноль в точках действительной оси.
6.
Функции sin, cos действительного переменного <1.
Слайд 25
cos x, sin x - не могут быть >1.
ch y,
sh y – могут быть >1, поэтому
sin z может
быть >1.Для тригонометрической ФКП выполняются следующие тригонометрические тождества
( по определению)
Слайд 26
Тригонометрические функции являются однозначными.
Общепоказательные и общестепенные функции.
Определение.
Для любого комплексного числа
a и переменной z, комплексная функция, определенная как
называется общепоказательной функцией.
Слайд 27
- общестепенная функция.
Эти функции определены на комплексной плоскости с вырезом
по отрицательной части действительной оси, являются многозначными функциями. Значения их находятся по приведенным выше формулам.
Слайд 28Можно определить:
Обратные тригонометрические функции.
Если каждому комплексному числу z поставлено в
соответствие комплексное число w:
то комплексное число w называется
Слайд 29
и обозначается
Определение (обратных
тригонометрических функций)Функции определяются как обратные функции соответственно,
то есть :
Пусть , тогда по определению
