Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Лекция 3 1. Линейный интеграл в векторном поле, его свойства. Работа силового
Содержание
- 1. Лекция 3 1. Линейный интеграл в векторном поле, его свойства. Работа силового
- 2. Пусть в 3-х мерном пространстве
- 3. В силу гладкости в каждой точке AB
- 4. Слайд 4
- 5. Тогда для координат единичного
- 6. Длина элемента дуги может быть найдена по
- 7. Этот интеграл называется линейным интегралом
- 8. Чтобы найти полную работу, необходимо проинтегрировать по
- 9. то значение этого интеграла называется
- 10. § 2. Теорема Стокса.
- 11. 3) Задана гладкая ориентированная поверхность S, натянутая
- 12. Формула, связывающая криволинейный интеграл по замкнутому
- 13. § 3. Ротор векторного поля. Векторная запись
- 14. Найдем работу, которуюсовершает векторное поле
- 15. Учитывая связь между поверхностными
- 16. и единичного вектора нормали к
- 17. Вектор характеризует вращательную
- 18. Векторная запись теоремы СтоксаТеорема Стокса связывает:
- 19. Это векторная запись теоремы Стокса. Смысл: Циркуляция
- 20. § 4. Плотность циркуляции, связь её с
- 21. Если циркуляцию разделим на площадь контура ℓ,
- 22. Определение. (плотности циркуляции) Плотностью циркуляции
- 23. § 5. Вычисление циркуляции.Ее можно вычислить 2
- 24. Определение. Векторное поле называется потенциальным,
- 25. Пример: На практике.
- 26. Теорема. (необходимое и достаточное условие потенциальности). Для
- 27. Замечание. Потенциал векторного поля определен с точностью
- 28. Точка M0 - фиксированная точка, в которой
- 29. Слайд 29
- 30. ДоказательствоНеобходимость:Пусть векторное поле - безвихревое,
- 31. Достаточность: - потенциальное поле
- 32. Необходимость:Пусть - соленоидальное поле
- 33. Свойства соленоидальных полейПусть дано векторное поле
- 34. Теорема. (о постоянстве потока соленоидального поля).Поток соленоидального
- 35. Поверхность, ограничивающая объем состоит из 3-х поверхностей
- 36. В силу определения векторной трубки
- 37. Заменим поток в направлении на
- 38. § 9. Операции 1 и 2 порядка
- 39. Операции 1-го порядка порождают 5 операций 2-го
- 40. Раскрытие всех операций производится слева направо. Все
- 41. Рассмотрим: Это вторая операция 2-го порядка, которая равно нулю.
- 42. Операцию 2-го порядка
- 43. Для электростатического поля, в случае стационарного поля.
- 44. § 10. Символика Гамильтона.Для того, чтобы удобно
- 45. Операции 1-го порядка записываются в виде:
- 46. Тогда:2)3)
- 47. Скачать презентанцию
Пусть в 3-х мерном пространстве задано векторное поле, где P,Q,R интегрируемы вместе со своими производными. Пусть в пространстве задана гладкая ориентированная кривая AB. § 1. Линейный интеграл в
Слайды и текст этой презентации
Слайд 2 Пусть в 3-х мерном пространстве задано векторное поле, где
P,Q,R интегрируемы вместе со своими производными. Пусть в пространстве задана
гладкая ориентированная кривая AB. § 1. Линейный интеграл в векторном поле.
Циркуляция векторного поля.
Слайд 3В силу гладкости в каждой точке AB существует единственный вектор
касательной, который может быть записан следующим образом:
Слайд 4
- углы которые составляет вектор с осями координат. Считаем, что дуга
AB задана параметрически: AB:
Слайд 5 Тогда для координат единичного вектора касательной имеем:
где
соответствуют ориентации вектора совпадающего с ориентацией дуги AB,
и не совпадающей с ориентацией дуги соответственно.
Слайд 6Длина элемента дуги может быть найдена по формуле Рассмотрим в каждой
точке дуги AB скалярное произведение Скалярное произведение представляет собой непрерывную
по координатам x,y,z функцию. Из непрерывности скалярного произведения следует что существует:
Слайд 7 Этот интеграл называется линейным интегралом в векторном поле.
Смысл
интеграла:
Пусть по дуге AB от действия вектора силы
движется материальная
точка единичной массы. Скалярное произведение
есть проекция вектора на единичный вектор касательной.
Если проекция получим элементарную работу, совершенную силой
на перемещении dl в направлении вектора .
Слайд 8Чтобы найти полную работу, необходимо проинтегрировать по всей длине дуги
AB:
- полная работа.Смысл линейного интеграла - работа, совершенная эти полем.
Определение. (циркуляции векторного поля). Если существует в векторном поле линейный интеграл по ориентированному замкнутому контуру вида:
Слайд 9 то значение этого интеграла называется циркуляцией векторного поля
и обозначается буквой Ц.
Таким образом, циркуляция векторного поля
есть работа векторного поля при движении по замкнутому контуру.
Слайд 10 § 2. Теорема Стокса.
Если в 3-х
мерном пространстве функции
P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z), таковы, что:
1)
Непрерывны вместе со своими производными2) В пространстве задан гладкий, ориентированный, замкнутый, ограниченный контур
Слайд 113) Задана гладкая ориентированная поверхность S, натянутая на контур такая
что, нормаль к поверхности и обход контура совмещены
по правилу Буравчика. Тогда
Слайд 12 Формула, связывающая криволинейный интеграл по замкнутому контуру натянутая на
поверхность S называется формулой Стокса.
В частном случае, если поле плоское,
R = 0, z = const, формула Стокса переходит в формулу Грина.
Слайд 13§ 3. Ротор векторного поля.
Векторная запись теоремы Стокса.
Пусть
имеется векторное поле вида:
где P,Q,R непрерывны со своими производными. Рассмотрим в векторном поле замкнутый, гладкий, ориентированный контур ℓ, который является краем гладкой ориентируемой поверхности S. Нормаль к поверхности S и обход контура связаны по правилу Буравчика.
Слайд 14Найдем работу, которую
совершает векторное
поле при движении по
замкнутому
контуру ℓ.
Так как на контур ℓ натянута ориентируемая поверхность
S, то 
Слайд 15
Учитывая связь между поверхностными интегралами 2-го и
1-го рода имеем: Выражение, стоящее под знаком поверхностного интеграла 1-го рода
можно записать как скалярное произведение:
Слайд 16
и единичного вектора нормали к поверхности
Таким образом, работа по замкнутому контуру может быть записана:
Слайд 17 Вектор характеризует вращательную способность поля. Если
он равен 0, то поле не совершает работу при движении
по замкнутому контуру.Вектор называется ротором векторного поля (вихрем векторного поля) и обозначается:
Слайд 18Векторная запись теоремы Стокса
Теорема Стокса связывает:
Слева в формуле стоит циркуляция векторного поля по
замкнутому контуру ℓ.
Слайд 19
Это векторная запись теоремы Стокса.
Смысл:
Циркуляция векторного поля равна потоку
ротора этого векторного поля через поверхность S, натянутую на контур
ℓ.
Слайд 20§ 4. Плотность циркуляции, связь её с ротором.
Пусть в векторном
поле
В произвольной точке
пространства M задан вектор .
Найдем
циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру ℓ, описываемому около точки M и лежащему в плоскости, перпендикулярной вектору .
Слайд 21Если циркуляцию разделим на площадь контура ℓ, то получим число,
характеризующее среднюю плотность циркуляции в контуре ℓ.
Слайд 22Определение. (плотности циркуляции) Плотностью циркуляции в точке М
по направлению вектора называется число, обозначаемое
и вычисляемое по формуле:Когда контур ℓ стягивается в точку M. Можно показать, что плотность циркуляции в точке M по направлению вектора равна проекции ротора векторного поля на направление .
Слайд 23§ 5. Вычисление циркуляции.
Ее можно вычислить 2 способами:
По определению, путем
сведения к криволинейному интегралу 2-го рода.
2) С помощью теоремы Стокса.
Пример:
На практике.
Слайд 24Определение. Векторное поле называется потенциальным, в некоторой односвязанной
области V, если существует такая функция , что
. Замечание. Функцию называют потенциалом векторного поля .§ 6. Потенциальное поле.
Виды векторных полей.
Слайд 26Теорема. (необходимое и достаточное условие потенциальности). Для того, чтобы векторное
поле было потенциальным в некоторой односвязанной области V, необходимо
и достаточно, чтобы циркуляция этого векторного поля по любому замкнутому контуру, лежащему в области V была равна нулю.Доказательство.
Самостоятельно.
Слайд 27Замечание. Потенциал векторного поля определен с точностью до константы.
Если
- потенциал векторного поля , то есть =
grad, то + с – так же потенциал векторного поля . 0grad( + с) = grad + gradс = .
Для отыскания потенциала поля берут и фиксируют определенную точку в поле, в которой потенциал известен (бесконечно
удаленную точку, в которой = 0) и
применяют формулу:
Слайд 28Точка M0 - фиксированная точка, в которой потенциал известен.
Точка M
- точка, в которой потенциал неизвестен.
P,Q,R - координаты векторного поля,
для которого находим потенциалы.- произвольная дуга, соединяющая две точки M0 и M.
Дуга берется произвольной в силу того, что интеграл 2-го рода не зависит от способа движения от точки M0 к точке M, а зависит только от расположения этих точек в случае потенциального поля.
Слайд 29 §
7. Безвихревые поля. Определение: Векторное поле называется безвихревым в
односвязанной области V, если ротор этого векторного поля равен 0.rot = 0.
Теорема. (необходимое и достаточное условие безвихревого поля): Для того, чтобы векторное поле было безвихревым необходимо и достаточно, чтобы оно было потенциальным в каждой точке некоторой области V.
Слайд 30Доказательство
Необходимость:
Пусть векторное поле - безвихревое, то есть
.
Циркуляция векторного
поля , по произвольному замкнутому контуру вычисляется по формуле, которая с учетом теоремы Стокса дает интеграл по поверхности (по произвольному замкнутому контуру).
В силу предыдущей теоремы это означает что
- потенциальное поле.
Слайд 31Достаточность:
- потенциальное поле
поле
– безвихревое.§ 8. Соленоидальные поля.
Определение: Векторное поле называется соленоидальным в односвязанной области V, если:
Теорема. (о соленоидальности векторного поля). Для того, чтобы векторное поле было соленоидальным в односвязанной области V необходимо и достаточно, чтобы поток векторного поля через произвольную замкнутую поверхность, лежащую в области V, был равен нулю.
Слайд 32Необходимость:
Пусть - соленоидальное поле
. Рассмотрим в области V произвольную
замкнутую поверхность V, ориентированную внешней нормальюДостаточность:
Предположим что поток через поверхность = 0.
Слайд 33Свойства соленоидальных полей
Пусть дано векторное поле . Считаем, что
в поле построены векторные линии.
Возьмем в поле замкнутый контур и через него проведеммножество векторных линий.
Это множество линий
образует векторную трубку.
Слайд 34Теорема. (о постоянстве потока соленоидального поля).
Поток соленоидального поля через любое
сечение векторной трубки является постоянной величиной.
Доказательство.
Рассмотрим векторную трубку в векторном
поле и возьмем пространство, заключенное в трубке, ограниченное сечениями S1 и S2.Объем векторной трубки,
заключенный между
сечениями S1 и S2 –
замкнутый.
Слайд 35Поверхность, ограничивающая объем состоит из 3-х поверхностей
, и ,
которые имеют единичные нормали , , , направленные как указано на рисунке. Поток векторного поля через поверхность S: S = S1 + S2 + Sб можно вычислить по теореме Остроградского: Векторное поле соленоидально Откуда следует, что
Слайд 36В силу определения векторной трубки
, а следовательно, интеграл = 0.
При вычислении потока через поверхность смотрят за направлением нормали к этой поверхности. При вычислении потока через считаем, что нормаль направлена в сторону потока. При вычислении потока берем нормаль, направленную в сторону потока.
Слайд 37Заменим поток в направлении на поток в направлении
имеем:
Поток в трубке постоянен по сечению в случае
соленоидального поля.
Слайд 38§ 9. Операции 1 и 2 порядка над скалярными и
векторными полями.
Пусть есть скалярное поле
и векторное поле .Каждому скалярному полю с помощью градиента можно поставить векторное поле градиента.
Любому дифференциальному векторному полю с помощью div можно поставить скалярное поле.
Любому векторному полю с помощью можно поставить векторное поле.
- операции 1-го порядка. Они показывают, что операции связаны между собой.
Слайд 39Операции 1-го порядка порождают 5 операций 2-го порядка.
1.
Дивергенция берется
2. от векторного поля.
3.
4.
5.
Две из операций 2-го порядка равны 0.
Слайд 40
Раскрытие всех операций производится слева направо. Все они приводятся к
вычислению частных производных 2-го порядка.
Это первая из операций 2-го порядка,
которая = 0.
Слайд 42Операцию 2-го порядка называют оператор
Лапласа и обозначают:
∆ - оператор Лапласа (Лапласиан)
Сравнивая обведённые выражения можем
записать:
Слайд 43Для электростатического поля, в случае стационарного поля.
div =
- объемная плотность заряда
= grad
Электростатическое поле
является потенциальным- уравнение Лапласа.
В случае электростатического поля функция потенциала подчиняется уравнению , где
- неизвестная заранее функция.
Слайд 44§ 10. Символика Гамильтона.
Для того, чтобы удобно работать с операциями
1-го
и 2-го порядка, Гамильтон ввел следующее понятия:
Обозначить символом
и назвать его оператором «Набла».
Слайд 45Операции 1-го порядка записываются в виде:
- скалярное
произведение
- векторное
произведение
Запись операций 2-го порядка с помощью оператора Набла:
1)
- оператор Лапласа равен оператору
Набла в квадрате.
