Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Лекция 3 2. Функции комплексного переменного, понятие предела функции,
Содержание
- 1. Лекция 3 2. Функции комплексного переменного, понятие предела функции,
- 2. § 1. Теория комплексных чисел.Определение (комплексных чисел):Выражение
- 3. 2)Сумма (разность) комплексных чисел есть комплексное число,
- 4. Ассоциативности:Закон дистрибутивности:Смысл символа i Рассмотрим число
- 5. Символ i – символ, квадрат которого =
- 6. Рассмотрим комплексное число z = x +
- 7. § 2. Формы записи комплексного числа.Геометрические интерпретации
- 8. Определение. Аргументом комплексного числа называется угол ,
- 9. С учетом последнего выражения, формулу для деления
- 10. Вспоминая связь между декартовой и полярной системой
- 11. Выясним смысл и .Угол определяется из решения системы уравнений:
- 12. Если 0 – решение системы уравнений, то
- 13. запишем следующим образом, с учетом расположения комплексного
- 14. за которое принимается значение угла 0, находимого
- 15. Тогда получается показательная форма записи комплексного числа:z
- 16. Рассмотрим две формулы:ei = cos + i
- 17. Расстояние между точками z1 и z2 равно: z1 – z2 .
- 18. -z соответствует z относительно начала координат и т.д. Все симметрии понятны из рисунка.
- 19. Для умножения и деления комплексных чисел нужно
- 20. 2. Частное: Доказательство. Самостоятельно.3. Возведение в степень:zn
- 21. При делении модули комплексных чисел делятся, а
- 22. § 3. Геометрическая интерпретация множеств комплексных
- 23. Слайд 23
- 24. Слайд 24
- 25. 4. Это кольцо. 5.
- 26. Слайд 26
- 27. § 4. Извлечение корня из комплексного числа.Пусть
- 28. Добавляем к
- 29. Модули всех комплексных чисел одинаковы и равны
- 30. Таким образом, если дано комплексное число w,
- 31. Слайд 31
- 32. § 5. Функции комплексного переменного.Пусть есть 2
- 33. Если каждому комплексному числу множества z по
- 34. Так как W = u + iv,
- 35. Определение. (однозначной функции)Если каждому числу
- 36. полуплоскости.
- 37. § 6. Предел функций комплексного переменного.Пусть задана
- 38. (действительного, сколь угодно малого)
- 39. чисел, удовлетворяющих неравенству есть круг, радиуса
- 40. Слайд 40
- 41. Чтобы показать, что предел функции не существует,
- 42. Теорема. (необходимое и достаточное условие существования предела
- 43. Для функций комплексного переменного выполняются все теоремы о пределах, доказанные для функций действительной переменной.
- 44. 4. Теорема. (об асимптотическом разложении функции, имеющей
- 45. Для ФКП вводится понятие бесконечно малой (б.м.)
- 46. Определение. (непрерывности ФКП в точке)Функция f (
- 47. непрерывности ФКП в точке соответствует непрерывности двух
- 48. Для ФКП выполняются все теоремы, доказанные ранее
- 49. § 8. Дифференцируемость ФКП в точке.Пусть ФКП
- 50. Определение. (производной ФКП в точке)Если существует конечный
- 51. Замечание.Производная в точке не зависит
- 52. Рассмотрим функцию:z = x + iy
- 53. Слайд 53
- 54. Предел зависит от способа стремления, это значит
- 55. С точностью до бесконечно малой второго порядка
- 56. Производная показывает во сколько раз надо увеличить
- 57. Таким образом геометрический смысл ФКП состоит в
- 58. соответствующего приращению функции .Теорема.
- 59. 2. В точке выполнялись
- 60. ОбозначимИспользуя теорему об асимптотическом разложенииили с учетом принятых выше обозначений:Перемножая выражения, стоящие в скобках, имеем:
- 61. Комплексные выражения равны тогда, когда равны действительные и мнимые части.(I)
- 62. Эти записи означают, что функции u,v дифференцируемы
- 63. Достаточность:Пусть функции
- 64. с (I) получаем:
- 65. § 10. Основные свойства производной. Если
- 66. 3.
- 67. § 11. Понятие аналитичности ФКП.Пусть дана функция
- 68. Замечание.Если говорят, что функция f ( z
- 69. Свойства аналитичных функций:если
- 70. § 12. Элементарные функции комплексного переменного.Функция
- 71. Доказательство:Считаем, что функция:1. Определена на части комплексной плоскости с
- 72. вырезом по отрицательной части вещественной оси, то
- 73. Можно определить комплексную функцию
- 74. по формуле:Показательная функцияПоказательная функция комплексного переменного, для
- 75. Доказательство: =>Перемножим
- 76. 3. Функция аналитична во всей комплексной плоскости,
- 77. Частные производные непрерывны для
- 78. условие дифференцируемости».Следовательно, функция аналитична на всей комплексной
- 79. наименьшим периодом .Показательная функция
- 80. соответствие к.ч.
- 81. Так как
- 82. Из формулы видно, что логарифмическая функция неоднозначна,
- 83. Любая однозначная ветвь логарифмической функции аналитична на
- 84. функциями действительного переменного.3. Эти функции аналитичны во всей комплексной плоскости, причем Доказательство
- 85. Слайд 85
- 86. обращаются в ноль только на действительной оси.Решим уравнениеВсе выражение умножим наПрологарифмируем полученное выражение
- 87. Раскрывая получимТо есть косинус обращается в ноль
- 88. Для ФКП это не так.
- 89. cos x, sin x - не могут
- 90. Тригонометрические функции являются однозначными.Общепоказательные и общестепенные функции.Определение.Для
- 91. Слайд 91
- 92. Можно определить:Обратные тригонометрические функции.Если каждому комплексному числу
- 93. Слайд 93
- 94. Или умножая обе части равенства на и, перенося все слагаемые в левую часть, получаем:
- 95. Из формулы следует, что - функция бесконечнозначная.
- 96. Скачать презентанцию
§ 1. Теория комплексных чисел.Определение (комплексных чисел):Выражение вида z=a+bi, где а,b – действительные числа, i – символ называется комплексным числом, если для любого из выражений выполняются следующие свойства:1)
Слайды и текст этой презентации
Слайд 1Лекция 32. Функции комплексного переменного, понятие предела функции, непрерывность. Производная
функции комплексного переменного. Условие Коши-Римана, понятие аналитичности функции в точке.
Слайд 2§ 1. Теория комплексных чисел.
Определение (комплексных чисел):
Выражение вида z=a+bi, где
а,b – действительные числа, i – символ называется комплексным числом,
если для любого из выраженийвыполняются следующие свойства:
1) тогда и только тогда, когда
Слайд 32)
Сумма (разность) комплексных чисел есть комплексное число, вычисляемое по соответствующей
формуле.
3)
4)
При этом на множестве комплексных чисел выполняется закон коммуникативности:
Слайд 5Символ i – символ, квадрат которого = -1.
С комплексными числами
нужно работать как с обычными буквенными выражениями, помня что
.Для того, чтобы удобно было работать с комплексными числами введем понятие комплексно-сопряженного числа.
Число =a-bi называется комплексно-сопряженным числу z=a+bi, то есть они отличаются знаком, стоящим при символе i.
Слайд 6Рассмотрим комплексное число z = x + yi.
x - действительный
часть комплексного числа
x = Re Z
y - мнимая часть комплексного
числаy = Im Z
Z - комплексная
плоскость
Слайд 7§ 2. Формы записи комплексного числа.
Геометрические интерпретации множеств комплексных чисел.
На
комплексной плоскости комплексное число можно обозначить точкой или вектором.
По определению
модулем комплексного числа называется:и является действительным числом.
Геометрический смысл модуля комплексного числа – длина вектора, обозначающего комплексное число.
Слайд 8Определение. Аргументом комплексного числа называется угол , обозначаемый символом
= arg z и отсчитываемый от оси OX против часовой
стрелки. Направление отсчета против часовой стрелки принимается за положительное, по часовой стрелке – за отрицательное.Числа z = x + iy и = x – iy – комплексно-сопряженные. Пользуясь формулой для умножения двух комплексных чисел, имеем:
z = x2 + y2 = z2.
Слайд 9С учетом последнего выражения, формулу для деления двух комплексных чисел
можно записать в виде:
Чтобы разделить два комплексных числа, достаточно числитель
и знаменатель умножить на число, комплексно сопряженное знаменателю.Пример.
Слайд 10Вспоминая связь между декартовой и полярной системой координат, положение комплексного
числа можно задать углом , отсчитываемым от оси OX против
часовой стрелки и - длиной вектора.x = cos
y = sin
где: > 0, - любое действительное число.
Учитывая эти формулы, комплексное число можно записать в виде:
z = x + iy = cos + isin = (cos + isin).
Это тригонометрическая форма записи комплексного числа.
Слайд 12Если 0 – решение системы уравнений, то
= 0 +
2k, k = 0, 1, 2, …
Угол определяется
неоднозначно = arg z.
На практике, для определения угла используются следующие формулы.
Так как:
tg = y/x = arctg(y/x)
Но при этом оказались потерянными решения
cos = 0 = /2 + k.
Поэтому, окончательное выражение для аргумента комплексного числа,
Слайд 13запишем следующим образом, с учетом расположения комплексного числа относительно координатных
осей:
arctg(y/x),
x > 0 (I, IV четверти) + arctg(y/x), x < 0, y > 0 (II четверть)
0 = - + arctg(y/x), x < 0, y < 0 (III четверть)
/2, x = 0, y > 0
-/2, x = 0, y < 0
= arg z = 0 + 2k, k = 0, 1, 2, …
Для того, чтобы однозначно определять значения аргумента комплексного числа вводят понятие главного значения аргумента,
Слайд 14за которое принимается значение угла 0, находимого по формулам, записанным
выше и которое меняется в пределах:
- < 0
Таким
образом, с учетом определения модуля комплексного числа и аргумента, комплексное число может быть записано втригонометрической форме записи:
z = z(cos + isin).
Чтобы упростить работу с комплексными числами, Эйлер предложил ввести обозначение:
cos + isin = ei.
Слайд 15Тогда получается показательная форма записи комплексного числа:
z = zei.
Если
-, то z = ze-i.
Слайд 16Рассмотрим две формулы:
ei = cos + i sin
+ cos = (ei + e-i)/2.
e-i = cos
+ i sin – sin = (ei – e-i)/2i.Дадим геометрическую интерпретацию операциям сложения, вычитания, умножения, деления комплексных чисел.
Рассмотрим два комплексных числа z1 и z2. Эти комплексные числа на комплексной плоскости могут быть изображены векторами. Сумма
z1 + z2 двух комплексных чисел может быть найдена путем сложения z1 и z2 как векторов по правилу параллелограмма. Разность z1 – z2 строится как сумма z1 и –z2.
Слайд 19Для умножения и деления комплексных чисел нужно воспользоваться показательной формой
записи.
z1 = z1ei1, z2 = z2ei2.
Произведение: z1z2 = z1z2ei(1 +2).
Доказательство.
z1z2
= z1z2.ei1 ei2 = (cos1 + isin1)(cos2 + isin2) = (cos1cos2 - sin1sin2) + i(sin1cos2 + cos1sin2) = cos(1 + 2) + isin(1 + 2) =
= ei(1 +2).
Ч.т.д.
Слайд 202. Частное:
Доказательство. Самостоятельно.
3. Возведение в степень:
zn = znein.
n –
натуральное.
Из свойства 1 следует,
что при умножении
комплексных чисел,
модули перемножаются,
а аргументы складываются:
z
= z1z2,arg z = 1 + 2.
Слайд 21При делении модули комплексных чисел делятся, а аргументы вычитаются:
, arg z =
1 + 2.Свойство 3 нужно для того, чтобы получить формулу Муавра:
(cos + isin)n = cosn + isinn
Она связывает n-тую (cos + isin)n с cosn и sinn.
Слайд 22
§ 3. Геометрическая интерпретация множеств комплексных чисел.
Пусть множество комплексных
чисел Z удовлетворяет условию:
- действительное число.Это окружность.
Слайд 23
Это круг,
включая окружность.
- фиксированная точка.
Это вся комплексная плоскость, за исключением
круга и окружности.
Слайд 254. Это кольцо. 5. Это множество точек представляет собой луч, выходящий из начала
координат, расположенный под углом c к оси x.
Слайд 27§ 4. Извлечение корня из комплексного числа.
Пусть дано комплексное число
Корнем n-той степени из комплексного числа w , обозначаемый
называется комплексное число z такое, что .Рассмотрим уравнение . Пусть w – комплексное число
Тогда
Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда:
Слайд 28Добавляем к , так
как аргумент однозначно не определяется.
Покажем, что среди полученного бесконечного множества
существует только n различных чисел, которые принимаются за значение корня n-той степени из комплексного числа.
Слайд 29Модули всех комплексных чисел одинаковы и равны
. Отличаться они будут только своими аргументами.
имеет аргумент 
Слайд 30Таким образом, если дано комплексное число w, то корней n-той
степени из комплексного числа w, n и вычисляться они будут
по следующей формулеВсе значения находятся в вершинах вписанного в окружность n – угольника и могут быть интерпретированы следующим образом:
Слайд 32
§ 5. Функции комплексного переменного.
Пусть есть 2 множества: D комплексных
чисел
и
E комплексных чисел Изобразим множества на комплексных плоскостях:
Слайд 33Если каждому комплексному числу множества z по некоторому закону
поставлено в соответствии хотя бы одно комплексное число,
то
говорят, что на множестве D задана комплексная функция .D – область определения. E – область изменения.
Слайд 34Так как W = u + iv, то задание комплексной
функции W = f(z) равносильно заданию
комплексной функции W =
u(x,y) + iv(x,y) то есть задание комплексной функции равносильно заданию функции комплексного
переменного. Рассмотрим функцию ,
где z = x + iy
u v
Слайд 35Определение. (однозначной функции)
Если каждому числу
по некоторому закону
f поставлено в соответствие одно и только одно
число , то говорят что задана однозначная
функция комплексного переменного W = f ( z )
Пример.
однозначная функция для области
определения, представляющей верхнюю половину
Слайд 37§ 6. Предел функций
комплексного переменного.
Пусть задана функция комплексного переменного
f ( z ) определенная в окрестности точки
, кроме может быть самой точки.
Определение. ( предела функции комплексного
переменного)
Число A ( комплексное) называется пределом функции f ( z ) в точке , если
Слайд 38(действительного, сколь угодно малого)
(действительное), такое, что: для любого z удовлетворяющего
неравенствувыполняется неравенство
При этом пишут
Разберем, что в определении означает запись:
z , удовлетворяющих
Исходя из геометрического смысла, множество
Слайд 39чисел, удовлетворяющих неравенству есть круг, радиуса с выколотой
точкой . Когда
это означает, что круг стягивается
в точку, при этом не важно, каким образом . Исходя из этого предел функции комплексного переменного не зависит от способа стремления .
Слайд 41Чтобы показать, что предел функции не существует, пытаются найти предел
при различных способах стремления
. Если получившиеся числа различны, то говорят, что предел в данном случае не существует.Так как задание функции f ( z ) <=> заданию выражения u ( x,y ) + iv( x,y ) то есть заданию двух функций действительного переменного, тогда:
Слайд 42Теорема. (необходимое и достаточное условие существования предела функции комплексного переменного).
Для
того, чтобы существовал предел ФКП
f( z ), при
необходимо и достаточно, чтобы одновременно существовали пределы функций , при парахгде u,v – функции действительного переменного:
Слайд 43Для функций комплексного переменного выполняются все теоремы о пределах, доказанные
для функций действительной переменной.
Слайд 444. Теорема. (об асимптотическом разложении функции, имеющей предел)
Для того,
чтобы существовал предел
необходимо и достаточно, чтобы в окрестности точки
функция f ( z ) была представлена в виде:Замечание.
– бесконечно малая функция ФКП, то есть
расстояние между двумя точками комплексной плоскости.
Слайд 45Для ФКП вводится понятие бесконечно малой (б.м.) и бесконечно большой
(б.б.) ФКП. При нахождении пределов ФКП можно пользоваться понятием эквивалентных
бесконечно малых.§ 7. Понятие непрерывности ФКП.
Пусть функция f ( z ) определена в окрестности точки , и в самой точке.
Слайд 46Определение. (непрерывности ФКП в точке)
Функция f ( z ) называется
непрерывной в точке ,
Если
(действительных) (действительное)такое, что для любых Z удовлетворяет неравенству
выполняется неравенство при этом пишут:
Так как задались ФКП соответствует заданию двух функций действительного переменного, то понятие
Слайд 47непрерывности ФКП в точке соответствует непрерывности двух функций действительного переменного
в этой точке.
Теорема. (Необходимое и достаточное условие непрерывности ФКП в
точке)Для того, чтобы ФКП была непрерывна в точке необходимо и достаточно, чтобы функции были непрерывны в точке .
Слайд 48Для ФКП выполняются все теоремы, доказанные ранее для функций действительного
переменного.
Если непрерывны
в точке , то:Сложная функция непрерывна в точке .
Слайд 49§ 8. Дифференцируемость ФКП в точке.
Пусть ФКП f ( z
) определена в окрестности точки
и самой точке.
Рассмотрим значение ФКП в точке и точке - произвольное комплексное число.Предполагается, что все значения существуют.
Рассмотрим
Это отношение представляет собой некоторое комплексное число.
Слайд 50Определение. (производной ФКП в точке)
Если существует конечный предел
то он
называется производной функции в точке и обозначается
Функция f ( z
) называется дифференцируемой в точке .
Слайд 51Замечание.
Производная в точке не зависит от способа стремления
. Это следует
из того, что производная есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента.Пример:
Слайд 54Предел зависит от способа стремления, это значит не существует
§ 9.
Геометрический смысл ФКП.
Пусть дана функция
По теореме об асимптотическом разложении функции,
имеющей предел: 
Слайд 55
С точностью до бесконечно малой второго порядка относительно
можем записать
Каждое из комплексных чисел входящих в формулу запишем
в показательной форме записи.
Слайд 56
Производная показывает во сколько раз надо увеличить ,
чтобы получить .
Аргумент производной показывает насколько
надо увеличить угол , чтобы получить .
Слайд 57Таким образом геометрический смысл ФКП состоит в следующем:
1. Модуль производной
ФКП показывает, во сколько раз нужно уменьшить или увеличить модуль
приращения аргумента, чтобы получить модуль приращения функции.2. Аргумент производной показывает, на какой угол относительно аргумента нужно повернуть луч , дающий направление комплексного числа,
Слайд 58соответствующего приращению функции .
Теорема. (необходимое и достаточное
условие дифференцируемости ФКП в точке)
Для того, чтобы ФКП
была дифференцируемой в точкенеобходимо и достаточно, чтобы:
1.Функции были дифференцируемы в точках
Слайд 592. В точке выполнялись условия Коши-Римана:
При этом
Доказательство.
Необходимость:
Пусть f ( z ) - дифференцируема в точке
,
Слайд 60Обозначим
Используя теорему об асимптотическом разложении
или с учетом принятых выше обозначений:
Перемножая
выражения, стоящие в скобках, имеем:
Слайд 62Эти записи означают, что функции u,v дифференцируемы в точке
по определению
Сравнивая выражения, получаем условие
Коши-Римана.
Слайд 63
Достаточность:
Пусть функции
дифференцируемы в точке (x, y)
и пусть выполняются условия:Тогда справедливы равенства (I), и, умножая второе уравнения равенства (I) на i, и складывая
Слайд 65
§ 10. Основные свойства производной.
Если
и дифференцируемы
в точке , то:1. Сумма и разность функций дифференцируема в точке , причем
2. дифференцируема в точке , причем
Слайд 66
3.
, дифференцируема в точке
и4. Если функция f ( W ) дифференцируема в точке
а функция дифференцируема в точке , то сложная функция будет дифференцируема в точке , причем
Слайд 67§ 11. Понятие аналитичности ФКП.
Пусть дана функция w = f
( z ) определенная на некоторой открытой области D. Функция
w = f ( z ) аналитична на открытой области D, если она дифференцируема в любой точке .Если функция аналитична на области, то у функции существуют все производные любого порядка на этой области.
Слайд 68Замечание.
Если говорят, что функция f ( z ) аналитична в
точке , то это равносильно утверждению, что она
дифференцируема в точке и некоторой ее окрестности.Из аналитичности следует дифференцируемость в точке. Из дифференцируемости не обязательно следует аналитичность функции в точке.
Слайд 69Свойства аналитичных функций:
если
аналитичны в области D, то:
1.
- аналитична в области D .- аналитична в области D .
3. при условии, что аналитична в области D.
Аналитичные функции называют регулярными функциями.
Слайд 70§ 12. Элементарные функции комплексного переменного.
Функция
-
степенная функция. Эта функция определена на всей комплексной плоскости z. Эта функция однозначна на всей комплексной плоскости z, она аналитична на всей комплексной области z, так как в любой точке
Слайд 72вырезом по отрицательной части вещественной оси, то есть :
Вырез
делается для того, чтобы существовал арифметический корень.
2. Эта функция многозначная.
У
функции можно выделить m-однозначных ветвей, путей фиксирования k, в формуле
Слайд 73Можно определить комплексную функцию
как суперпозицию степенных функций.
Эта функция будет определена на комплексной плоскости с вырезом, многозначной на этой плоскости с вырезом, у нее можно выделить однозначную ветвь при фиксированном k. На области с вырезом, все степенные функции аналитичны, причем их производные находятся
Слайд 74по формуле:
Показательная функция
Показательная функция комплексного переменного, для
определяется следующим образом:
При
имеем, что
Слайд 763. Функция аналитична во всей комплексной плоскости, причем
Доказательство:
u v
Найдем частные производные
Слайд 77
Частные производные непрерывны для ,
как
произведение непрерывных функций. Значит функции u и v – дифференцируемы:
То есть выполняются условия Коши-Римана. Тогда функция f ( z ) дифференцируема в любой точке z в силу теоремы «необходимое и достаточное
Слайд 78условие дифференцируемости».
Следовательно, функция аналитична на всей комплексной плоскости.
Покажем, что
Так как
4.
В отличие от функции действительного переменного, показательная функция комплексного переменного
– периодическая функция, с
Слайд 79наименьшим периодом .
Показательная функция является однозначной.
Логарифмическая функция
Пусть
дано к.ч.
. Логарифмом к.ч. называется к.ч. .Если каждому к.ч поставлено в
Слайд 80соответствие к.ч.
таким образом, что
, то
говорят, что задана логарифмическая функция .Логарифмическая функция определена в комплексной области с вырезом по вещественной оси.
1. D – область определенная
2. Найдем выражение для логарифмической функции
Слайд 81Так как
,
тогда
Два к.ч. равны, когда , а аргументы отличаются на :
Логарифмируя (1) имеем:
C учетом этого:
Слайд 82
Из формулы видно, что логарифмическая функция неоднозначна, из нее можно
выделить однозначную ветвь фиксируя k.
Ветвь, полученная при k = 0
называется главным значением логарифма.Ветвей у логарифмической функции бесчисленное множество.
Слайд 83Любая однозначная ветвь логарифмической функции аналитична на области с вырезом.
Тригонометрические
ФКП
По определению:
1. Тригонометрические функции определены при любом комплексном z.
2. При
z = x, y = 0 они совпадают с обычными 
Слайд 84функциями действительного переменного.
3. Эти функции аналитичны во всей комплексной плоскости,
причем
Доказательство
Слайд 85
периодичны.
В силу
– периодичности показательной функции5. Функции комплексного переменного sin z, cos z
Слайд 86обращаются в ноль только на действительной оси.
Решим уравнение
Все выражение умножим
на
Прологарифмируем полученное выражение
Слайд 87Раскрывая получим
То есть косинус обращается в ноль только в точках
действительной оси.
Синус тоже обращается в ноль в точках действительной оси.
6.
Функции sin, cos действительного переменного <1.
Слайд 89
cos x, sin x - не могут быть >1.
ch y,
sh y – могут быть >1, поэтому
sin z может
быть >1.Для тригонометрической ФКП выполняются следующие тригонометрические тождества
( по определению)
Слайд 90
Тригонометрические функции являются однозначными.
Общепоказательные и общестепенные функции.
Определение.
Для любого комплексного числа
a и переменной z, комплексная функция, определенная как
называется общепоказательной функцией.
Слайд 91
- общестепенная функция.
Эти функции определены на комплексной плоскости с вырезом
по отрицательной части действительной оси, являются многозначными функциями. Значения их находятся по приведенным выше формулам.
Слайд 92Можно определить:
Обратные тригонометрические функции.
Если каждому комплексному числу z поставлено в
соответствие комплексное число w:
то комплексное число w называется
Слайд 93
и обозначается
Определение. (обратных
тригонометрических функций)Функции определяются как обратные функции соответственно,
то есть :
Пусть , тогда по определению
