Разделы презентаций


Лекция 33. Интеграл от функции комплексного переменного; теорема Коши для презентация, доклад

Содержание

§ 1. Интегрирование функции комплексного переменного.Пусть на комплексной плоскости задана кривая AB – ориентированная, незамкнутая, кусочно-гладкая, без самопересечений.Задание кривой z(t) эквивалентно следующему:

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Лекция 33. Интеграл от функции комплексного переменного; теорема Коши для

составного контура, интегральная теорема Коши. Степенные ряды в комплексной области.

Ряд Тейлора, ряд Лорана, классификация особых точек.
Лекция 33. Интеграл от функции комплексного переменного; теорема Коши для составного контура, интегральная теорема Коши. Степенные ряды

Слайд 2§ 1. Интегрирование функции комплексного переменного.
Пусть на комплексной плоскости задана

кривая AB – ориентированная, незамкнутая, кусочно-гладкая, без самопересечений.
Задание кривой z(t)

эквивалентно следующему:

§ 1. Интегрирование функции комплексного переменного.Пусть на комплексной плоскости задана кривая AB – ориентированная, незамкнутая, кусочно-гладкая, без

Слайд 4 и  – действительные числа.
x(t), y(t) – действительные числа.
Разобьем

AB произвольным образом:

Найдем разности двух составляющих комплексного числа.

На каждом из

участков выберем произвольные точки
 и  – действительные числа.x(t), y(t) – действительные числа.Разобьем AB произвольным образом:Найдем разности двух составляющих комплексного

Слайд 5Они отвечает соответствующим комплексным числам.
Пусть на комплексной плоскости, в том

числе и на дуге AB определена комплексная функция f(z). Найдем

ее значения в точках:
и составим сумму вида: - это интегральная сумма.

Они отвечает соответствующим комплексным числам.Пусть на комплексной плоскости, в том числе и на дуге AB определена комплексная

Слайд 6Определение. (интеграла)
Если существует предел интегральной суммы


не зависящий от способа разбиения

дуги AB и выбора точек , то этот

предел называют интегралом по дуге AB и обозначают:

Определение. (интеграла)Если существует предел интегральной суммыне зависящий от способа разбиения дуги AB и выбора точек

Слайд 7Теорема. (о существовании интеграла от функции комплексного переменного)
Пусть функция f(x)

непрерывна на некоторой кривой L, которая является ориентируемой, кусочно-гладкой, незамкнутой,

тогда интеграл по дуге L от этой функции существует.
Доказательство.
Рассмотрим интегральную сумму
Теорема. (о существовании интеграла от функции комплексного переменного)Пусть функция f(x) непрерывна на некоторой кривой L, которая является

Слайд 8Так как любую функцию комплексного переменного можно представить в виде:

Комплексное

число можно представить в виде

Перемножим эти выражения



(1)
Так как любую функцию комплексного переменного можно представить в виде:Комплексное число можно представить в виде Перемножим эти

Слайд 9Значит в использованном выражении (1), интегральная сумма может быть записана

в виде:


(2)

Перейдем к пределу в выражении (2), получим:

Значит в использованном выражении (1), интегральная сумма может быть записана в виде:

Слайд 10Так как f(z) непрерывна на L, то непрерывны в любой

точке u и v (т.к задание f(z) равносильно заданию u

и v)
В правой части (3) – интегральные суммы для криволинейных интегралов 2 рода
Из непрерывности u и v следует, что существуют криволинейные интегралы 2 рода как предел своих интегральных сумм.
Так как f(z) непрерывна на L, то непрерывны в любой точке u и v (т.к задание f(z)

Слайд 11Так как каждый из пределов входящий, входящий в правую часть

(3) существует и равен соответствующему криволинейному интегралу, то существует и

предел левой части (3) и можем записать

(4)


(4) может использоваться и для вычисления интегралов от ФКП.

Так как каждый из пределов входящий, входящий в правую часть (3) существует и равен соответствующему криволинейному интегралу,

Слайд 12Свойства интегралов от ФКП.
Если L+ и L- две дуги,

различающиеся только ориентацией, то:



2)

3)

4)

М – действительное число
l –

длина дуги L
Свойства интегралов от ФКП. Если L+ и L- две дуги, различающиеся только ориентацией, то: 2) 3)4)М –

Слайд 13
§ 2. Понятие первообразной. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и

заменой переменной.

Пусть функция f(z) задана в некоторой односвязной

области D на комплексной плоскости.
Если существует функция F(z) в области D, такая что F(z) = f(z), то F(z) называется первообразной для функции f(z).
§ 2. Понятие первообразной. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и заменой переменной.  Пусть функция f(z) задана

Слайд 14Теорема. (о первообразной)
Если функция f(z) дифференцируема в замкнутой, односвязной области

D, то для нее существует первообразная F(z), определенная на D,

которая задается формулой:



Замечание 1: В отличии от функции действительного переменного функцию комплексного переменного необходимо дифференцировать в замкнутой односвязной области для существования первообразной.
Теорема. (о первообразной)Если функция f(z) дифференцируема в замкнутой, односвязной области D, то для нее существует первообразная F(z),

Слайд 15Замечание 2: Если f(z) непрерывна в односвязной области D, и

интеграл по любому замкнутому контуру, лежащему в этой области =0,

то в этом случае первообразная так же существует.

Замечание 3: Две первообразные ФКП отличаются на константу.
Замечание 2: Если f(z) непрерывна в односвязной области D, и интеграл по любому замкнутому контуру, лежащему в

Слайд 16Теорема. (Ньютона- Лейбница)
Если f(z) дифференцируема в односвязной области D и

z1, z0 произвольные точки D, а F(z) какая либо первообразная

для f(z), то



Теорема. (интегрирование по частям)
Если f(z) и (z) дифференцируемы в односвязной области D, z1, z0 – точки, принадлежащие D, то


Теорема. (Ньютона- Лейбница)Если f(z) дифференцируема в односвязной области D и z1, z0 произвольные точки D, а F(z)

Слайд 17Пример: Дана функция z2.
Найти интеграл от z2
по дуге AB, которая
представляет

собой
параболу y=x2,
движение по AB
осуществляется
от A(1,1) к B(0,0).
Для ФКП, при

дифференцировании в области D, можно использовать таблицу интегралов:


и т.д.
Пример: Дана функция z2.Найти интеграл от z2по дуге AB, котораяпредставляет собойпараболу y=x2,движение по ABосуществляетсяот A(1,1) к B(0,0).

Слайд 18z2 = (x + iy)2 = x2 – y2 +

i2xy

u v
тогда:
z2 = (x + iy)2 = x2 – y2 + i2xy

Слайд 192-й способ решения с помощью формулы Ньютона-Лейбница:

2-й способ решения с помощью формулы Ньютона-Лейбница:

Слайд 20§ 3. Интегральная теорема Коши.
Если функция f(z) аналитична в односвязной

замкнутой области D, то интеграл от этой функции по любому

замкнутому контуру, лежащему в этой области = 0, то есть:


L - произвольный контур.
Доказательство.
Так как f(z) аналитична в области D, значит она дифференцируема в односвязной области D; из дифференцируемости следует существование интеграла в области D по любой кривой.
§ 3. Интегральная теорема Коши.Если функция f(z) аналитична в односвязной замкнутой области D, то интеграл от этой

Слайд 21Из аналитичности следует выполнение условий Коши-Римана


Пусть L - произвольный, ориентированный

замкнутый контур, в области D, тогда

(1)

формула Грина

Из аналитичности f(z) следует дифференцируемость в области. Применим к криволинейному интегралу 2-го рода, стоящему в правой части (1) формулу Грина:
Из аналитичности следует выполнение условий Коши-РиманаПусть L - произвольный, ориентированный замкнутый контур, в области D, тогда

Слайд 22

0

0



D* - область, лежащая внутри L
Из условий Коши-Римана имеем, что подынтегральное выражение = 0.
Значит интеграл от аналитической односвязной функции = 0 по любому замкнутому контуру.
Если область D не является односвязной теорему в этой формулировке применить нельзя

Слайд 23Теорема. Если функция f (z) аналитична в неодносвязанной замкнутой области

D с конечным числом вырезов, то  f (z) dz

по границе области D, обходимый в положительном направлении = 0.
Без доказательства.
Следствие теоремы Коши для неодносвязанной области. Если f (z) аналитична в неодносвязанной области D с границей L, то справедлива следующая формула:

Теорема. Если функция f (z) аналитична в неодносвязанной замкнутой области D с конечным числом вырезов, то 

Слайд 24Li – граница вырезов, обход которой производится в том же

направлении, что и обход границы L.
§ 4. Некоторые основные формулы

интегрального исчисления.


Теорема. (интегральная формула Коши). Если функция f (z) аналитична в замкнутой односвязанной области D с положительно ориентированной, кусочно-гладкой границей L, то значение функции в любой точке zk  D находится по формуле:
Li – граница вырезов, обход которой производится в том же направлении, что и обход границы L.§ 4.

Слайд 25Примечание. Значения функции в области определяются своими значениями на границе.
Без

доказательства.
Интеграл Коши
Пусть функция f (z) аналитична в некоторой области D

лежащей на комплексной плоскости. Пусть в области D имеется ориентированный замкнутый контур L. Точка   L.
Интегралом типа Коши в области D называется интеграл вида:


Точки z лежат либо внутри, либо вне контура L.
Примечание. Значения функции в области определяются своими значениями на границе.Без доказательства.Интеграл КошиПусть функция f (z) аналитична в

Слайд 26Свойства интеграла Коши
Если z лежит вне контура L, z 

D, то



для  z  D, z  L.
2.

Если z лежит внутри контура L, z  D, то



Значение функции аналитической в области определяется значением на границе.
Свойства интеграла КошиЕсли z лежит вне контура L, z  D, тодля  z  D, z

Слайд 27Если кривая L незамкнута, то говорят об интеграле типа Коши



где

 - незамкнутая ориентируемая кривая, лежащая в области D.
Интеграл типа

Коши обозначают:
Если кривая L незамкнута, то говорят об интеграле типа Кошигде  - незамкнутая ориентируемая кривая, лежащая в

Слайд 28Замечание. Если функция f (z) дифференцируема в области D, кривая

L замкнутая граница области D, то интеграл Коши



является бесконечно

дифференцируемой в области функцией, причем:
Замечание. Если функция f (z) дифференцируема в области D, кривая L замкнутая граница области D, то интеграл

Слайд 29Пример. Найти:

Пример. Найти:

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика