Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Лекция 33. Интеграл от функции комплексного переменного; теорема Коши для
Содержание
- 1. Лекция 33. Интеграл от функции комплексного переменного; теорема Коши для
- 2. § 1. Интегрирование функции комплексного переменного.Пусть на
- 3. Слайд 3
- 4. и – действительные числа.x(t), y(t)
- 5. Они отвечает соответствующим комплексным числам.Пусть на комплексной
- 6. Определение. (интеграла)Если существует предел интегральной суммыне зависящий
- 7. Теорема. (о существовании интеграла от функции комплексного
- 8. Так как любую функцию комплексного переменного можно
- 9. Значит в использованном выражении (1), интегральная сумма
- 10. Так как f(z) непрерывна на L, то
- 11. Так как каждый из пределов входящий, входящий
- 12. Свойства интегралов от ФКП. Если L+ и
- 13. § 2. Понятие первообразной. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование
- 14. Теорема. (о первообразной)Если функция f(z) дифференцируема в
- 15. Замечание 2: Если f(z) непрерывна в односвязной
- 16. Теорема. (Ньютона- Лейбница)Если f(z) дифференцируема в односвязной
- 17. Пример: Дана функция z2.Найти интеграл от z2по
- 18. z2 = (x + iy)2 = x2
- 19. 2-й способ решения с помощью формулы Ньютона-Лейбница:
- 20. § 3. Интегральная теорема Коши.Если функция f(z)
- 21. Из аналитичности следует выполнение условий Коши-РиманаПусть L
- 22. Слайд 22
- 23. Теорема. Если функция f (z) аналитична в
- 24. Li – граница вырезов, обход которой производится
- 25. Примечание. Значения функции в области определяются своими
- 26. Свойства интеграла КошиЕсли z лежит вне контура
- 27. Если кривая L незамкнута, то говорят об
- 28. Замечание. Если функция f (z) дифференцируема в
- 29. Пример. Найти:
- 30. Слайд 30
- 31. Слайд 31
- 32. Слайд 32
- 33. Слайд 33
- 34. Слайд 34
- 35. Слайд 35
- 36. Слайд 36
- 37. Слайд 37
- 38. Слайд 38
- 39. Слайд 39
- 40. Слайд 40
- 41. Слайд 41
- 42. Слайд 42
- 43. Слайд 43
- 44. Слайд 44
- 45. Слайд 45
- 46. Слайд 46
- 47. Слайд 47
- 48. Слайд 48
- 49. Скачать презентанцию
§ 1. Интегрирование функции комплексного переменного.Пусть на комплексной плоскости задана кривая AB – ориентированная, незамкнутая, кусочно-гладкая, без самопересечений.Задание кривой z(t) эквивалентно следующему:
Слайды и текст этой презентации
Слайд 2§ 1. Интегрирование функции комплексного переменного.
Пусть на комплексной плоскости задана
кривая AB – ориентированная, незамкнутая, кусочно-гладкая, без самопересечений.
Задание кривой z(t)
эквивалентно следующему:
Слайд 4 и – действительные числа.
x(t), y(t) – действительные числа.
Разобьем
AB произвольным образом:
Найдем разности двух составляющих комплексного числа.
На каждом из
участков выберем произвольные точки 
Слайд 5Они отвечает соответствующим комплексным числам.
Пусть на комплексной плоскости, в том
числе и на дуге AB определена комплексная функция f(z). Найдем
ее значения в точках:и составим сумму вида: - это интегральная сумма.
Слайд 6Определение. (интеграла)
Если существует предел интегральной суммы
не зависящий от способа разбиения
дуги AB и выбора точек , то этот
предел называют интегралом по дуге AB и обозначают:
Слайд 7Теорема. (о существовании интеграла от функции комплексного переменного)
Пусть функция f(x)
непрерывна на некоторой кривой L, которая является ориентируемой, кусочно-гладкой, незамкнутой,
тогда интеграл по дуге L от этой функции существует.Доказательство.
Рассмотрим интегральную сумму
Слайд 8Так как любую функцию комплексного переменного можно представить в виде:
Комплексное
число можно представить в виде
Перемножим эти выражения
(1)
Слайд 9Значит в использованном выражении (1), интегральная сумма может быть записана
в виде:
(2)
Перейдем к пределу в выражении (2), получим:
Слайд 10Так как f(z) непрерывна на L, то непрерывны в любой
точке u и v (т.к задание f(z) равносильно заданию u
и v)В правой части (3) – интегральные суммы для криволинейных интегралов 2 рода
Из непрерывности u и v следует, что существуют криволинейные интегралы 2 рода как предел своих интегральных сумм.
Слайд 11Так как каждый из пределов входящий, входящий в правую часть
(3) существует и равен соответствующему криволинейному интегралу, то существует и
предел левой части (3) и можем записать(4)
(4) может использоваться и для вычисления интегралов от ФКП.
Слайд 12Свойства интегралов от ФКП.
Если L+ и L- две дуги,
различающиеся только ориентацией, то:
2)
3)
4)
М – действительное число
l –
длина дуги L
Слайд 13
§ 2. Понятие первообразной. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и
заменой переменной.
Пусть функция f(z) задана в некоторой односвязной
области D на комплексной плоскости.Если существует функция F(z) в области D, такая что F(z) = f(z), то F(z) называется первообразной для функции f(z).
Слайд 14Теорема. (о первообразной)
Если функция f(z) дифференцируема в замкнутой, односвязной области
D, то для нее существует первообразная F(z), определенная на D,
которая задается формулой:Замечание 1: В отличии от функции действительного переменного функцию комплексного переменного необходимо дифференцировать в замкнутой односвязной области для существования первообразной.
Слайд 15Замечание 2: Если f(z) непрерывна в односвязной области D, и
интеграл по любому замкнутому контуру, лежащему в этой области =0,
то в этом случае первообразная так же существует.Замечание 3: Две первообразные ФКП отличаются на константу.
Слайд 16Теорема. (Ньютона- Лейбница)
Если f(z) дифференцируема в односвязной области D и
z1, z0 произвольные точки D, а F(z) какая либо первообразная
для f(z), тоТеорема. (интегрирование по частям)
Если f(z) и (z) дифференцируемы в односвязной области D, z1, z0 – точки, принадлежащие D, то
Слайд 17Пример: Дана функция z2.
Найти интеграл от z2
по дуге AB, которая
представляет
собой
параболу y=x2,
движение по AB
осуществляется
от A(1,1) к B(0,0).
Для ФКП, при
дифференцировании в области D, можно использовать таблицу интегралов:и т.д.
Слайд 20§ 3. Интегральная теорема Коши.
Если функция f(z) аналитична в односвязной
замкнутой области D, то интеграл от этой функции по любому
замкнутому контуру, лежащему в этой области = 0, то есть:L - произвольный контур.
Доказательство.
Так как f(z) аналитична в области D, значит она дифференцируема в односвязной области D; из дифференцируемости следует существование интеграла в области D по любой кривой.
Слайд 21Из аналитичности следует выполнение условий Коши-Римана
Пусть L - произвольный, ориентированный
замкнутый контур, в области D, тогда
(1)формула Грина
Из аналитичности f(z) следует дифференцируемость в области. Применим к криволинейному интегралу 2-го рода, стоящему в правой части (1) формулу Грина:
Слайд 22
0
0D* - область, лежащая внутри L
Из условий Коши-Римана имеем, что подынтегральное выражение = 0.
Значит интеграл от аналитической односвязной функции = 0 по любому замкнутому контуру.
Если область D не является односвязной теорему в этой формулировке применить нельзя
Слайд 23Теорема. Если функция f (z) аналитична в неодносвязанной замкнутой области
D с конечным числом вырезов, то f (z) dz
по границе области D, обходимый в положительном направлении = 0.Без доказательства.
Следствие теоремы Коши для неодносвязанной области. Если f (z) аналитична в неодносвязанной области D с границей L, то справедлива следующая формула:
Слайд 24Li – граница вырезов, обход которой производится в том же
направлении, что и обход границы L.
§ 4. Некоторые основные формулы
интегрального исчисления.Теорема. (интегральная формула Коши). Если функция f (z) аналитична в замкнутой односвязанной области D с положительно ориентированной, кусочно-гладкой границей L, то значение функции в любой точке zk D находится по формуле:
Слайд 25Примечание. Значения функции в области определяются своими значениями на границе.
Без
доказательства.
Интеграл Коши
Пусть функция f (z) аналитична в некоторой области D
лежащей на комплексной плоскости. Пусть в области D имеется ориентированный замкнутый контур L. Точка L.Интегралом типа Коши в области D называется интеграл вида:
Точки z лежат либо внутри, либо вне контура L.
Слайд 26Свойства интеграла Коши
Если z лежит вне контура L, z
D, то
для z D, z L.
2.
Если z лежит внутри контура L, z D, тоЗначение функции аналитической в области определяется значением на границе.
Слайд 27Если кривая L незамкнута, то говорят об интеграле типа Коши
где
- незамкнутая ориентируемая кривая, лежащая в области D.
Интеграл типа
Коши обозначают:
Слайд 28Замечание. Если функция f (z) дифференцируема в области D, кривая
L замкнутая граница области D, то интеграл Коши
является бесконечно
дифференцируемой в области функцией, причем:
