ЛЕКЦИЯ 4 Линейная модель парной регрессии

квадратов
Вопрос 2. Оценка параметров регрессионного уравнения
Вопрос 3. Оценка качества уравнения

регрессии
Вопрос 4. Прогнозирование с применением уравнения

имеется однозначное отображение множества А на множество В.

Множество А

называют областью определения функции, а множество В - множеством значений функции.

Функциональная зависимость встречается редко.

В большинстве случаев функция (Y) или аргумент (X) — случайные величины.

Если на случайную величину X действуют факторы Z1, Z2, ..., V1, V2, а на У— Z0, Z2, V1, V3 ..., то наличие двух общих факторов Z2 и V1 позволит говорить о вероятностной или статистической зависимости между Х и Y.

Вопрос 1. Общие сведения

Вопрос 1. Общие сведения

которой изменение одной из величин влечет за собой изменение закона

распределения другой величины.
В частном случае статистическая зависимость проявляется в том, что при изменении одной из величин изменяется математическое ожидание другой. В этом случае говорят о корреляции или корреляционной зависимости.
Статистическая зависимость проявляется только в массовом процессе, при большом числе единиц совокупности.

Вопрос 1. Общие сведения

Стохастическая зависимость:
статистическая

переменной можно указать ряд значений объясняющей переменной, случайно рассеянных в

интервале.
Каждому фиксированному значению аргумента соответствует определенное статистическое распределение значений функции.
Это обусловливается тем, что зависимая переменная, кроме выделенной переменной, подвержена влиянию ряда неконтролируемых или неучтенных факторов.
Поскольку значения зависимой переменной подвержены случайному разбросу, они не могут быть предсказаны с достаточной точностью, а только указаны с определенной вероятностью.
Односторонняя вероятностная зависимость между случайными величинами, устанавливающая соответствие между этими величинами есть регрессия.
Односторонняя стохастическая зависимость выражается с помощью функции, которая называется регрессией.

Вопрос 1. Общие сведения

Стохастическая зависимость:
вероятностная

регрессия между двумя переменными;
множественная регрессия — регрессия между зависимой переменной

у и несколькими объясняющими переменными х1, х2, ..., хm.

Множественная линейная регрессия имеет следующий вид:


,


где у - функция регрессии;
x1, х2, ..., xm — независимые переменные;
а1, а2, ..., аm —коэффициенты регрессии;
а0 — свободный член уравнения;
m — число факторов, включаемых в модель.

Вопрос 1. Общие сведения

ВИДЫ РЕГРЕССИЙ

- регрессия выражаемая линейной функцией;
нелинейная регрессия - регрессия выражаемая

нелинейной функцией.

3. В зависимости от характера регрессии:
положительная регрессия: она имеет место, если с увеличением (уменьшением) объясняющей переменной значения зависимой переменной также соответственно увеличиваются (уменьшаются);
отрицательная регрессия: в этом случае с увеличением или уменьшением объясняющей переменной зависимая переменная уменьшается или увеличивается.

4. Относительно типа соединения явлений:
непосредственная регрессия: в этом случае зависимая и объясняющая переменные связаны непосредственно друг с другом;
косвенная регрессия: в этом случае объясняющая переменная действует на зависимую через ряд других переменных;
ложная регрессия: она возникает при формальном подходе к исследуемым явлениям без уяснения того, какие причины обусловливают данную связь.

Вопрос 1. Общие сведения

ВИДЫ РЕГРЕССИЙ (продолжение)

соотношение между объективно существующими явлениями.

Связи между явлениями могут быть

различны по силе.
При измерении тесноты связи говорят о корреляции в узком смысле слова.
Если случайные переменные причинно обусловлены и можно в вероятностном смысле высказаться об их связи, то имеется корреляция.
Понятия «корреляция» и «регрессия» тесно связаны между собой.
В корреляционном анализе оценивается сила связи, а в регрессионном анализе исследуется ее форма.

Вопрос 1. Общие сведения

КОРРЕЛЯЦИЯ

2) относительно числа переменных:
простая;
множественная;
частная;
3) относительно формы связи:
Линейная (прямолинейная);
Нелинейная (криволинейная);
4) относительно

типа соединения:
непосредственная;
косвенная;
ложная;
5) относительно количества факторов:
Однофакторная (парные);
многофакторная.

Вопрос 1. Общие сведения

двух и более явлений:
Здесь речь идет в основном о подтверждении

уже известных связей.
Отбор факторов, оказывающих наиболее существенное влияние на результативный признак на основе измерения тесноты связи между явлениями.
Обнаружение неизвестных причинных связей.
Корреляция непосредственно не выявляет причинных связей между явлениями, но устанавливает степень необходимости этих связей и достоверность суждений об их наличии.
Причинный характер связей выясняется с помощью логически-профессиональных рассуждений, раскрывающих механизм связей.

Вопрос 1. Общие сведения

нелинейная; положительная или отрицательная и т. д.).
Определение функции регрессии

и установление влияния факторов на зависимую переменную:
Важно:
определить форму регрессии,
казать общую тенденцию изменения зависимой переменной
выяснить, каково было бы действие на зависимую переменную главных факторов, если бы прочие не изменялись и если бы были исключены случайные элементы. Для этого определяют функцию регрессии в виде математического уравнения того или иного типа.
Оценка неизвестных значений зависимой переменной, т. е. решение задач экстраполяции и интерполяции.
В ходе экстраполяции распространяются тенденции, установленные в прошлом, на будущий период.
В ходе интерполяции определяют недостающие значения, соответствующие моментам времени между известными моментами, т.е. определяют значения зависимой переменной внутри интервала заданных значений факторов.

Вопрос 1. Общие сведения

Y: М(У/Х) есть функция от X, которая называется функцией регрессии

и равна f(х), т. е.
М(У/Х) = f(х); (5.2)
Аналогично
(5.3)
Графическое изображение f(х), или (у) называется линией регрессии, а записанные уравнения (5.2) и (5.3) — уравнениями регрессии.

Поскольку условное математическое ожидание М случайной величины У есть функция от (х), то его оценка , т. е. условная средняя, также является функцией от X.
Обозначим эту функцию через:
(5.4)

Уравнение (5.4) определяет выборочное уравнение регрессии у на х.
Сама функция называется выборочной регрессией У на X, а график У*(х) — выборочной регрессией.

Вопрос 1. Общие сведения

(5.5)

Функция регрессии необратима, так как речь идет о средних величинах

для некоторого конкретного значения фактора.
Функция регрессии формально устанавливает соответствие между переменными X и У, хотя такой зависимости может и не быть в экономике (ложная регрессия).

Вопрос 1. Общие сведения

и У и случайные величины Х и У зависимы.
Представим одну

из случайных величин как линейную функцию другой случайной величины X:
(5.6)

Вопрос 1. Общие сведения

где — параметры, которые подлежат определению.

В общем случае эти параметры могут быть определены различными способами, наиболее часто используется метод наименьших квадратов (МНК).

сведения

сведения

или силу связи между переменными у и х.
Значения -

1 =При изучении экономического явления, зависящего от многих факторов, строится множественная регрессионная зависимость.

свойства оценок

свойства оценок

регрессионного анализа и свойства оценок

предпосылки регрессионного анализа и свойства оценок

экономической проблемы;
формирование перечня факторов и их логический анализ;
сбор

исходных данных и их первичная обработка;
спецификация функции регрессии;
оценка функции регрессии;
отбор главных факторов;
проверка адекватности модели;
экономическая интерпретация;
прогнозирование неизвестных значений зависимой переменной.

Вопрос 3. Этапы построения многофакторной корреляционно-регрессионной модели

3. Этапы построения многофакторной корреляционно-регрессионной модели

линейной связи
Коэффициент парной корреляции
Матрица коэффициентов парной корреляции
Множественный коэффициент корреляции
Частный коэффициент

корреляции
Вопрос 2. Оценка тесноты нелинейной связи

признака и изменением результативной величины
Вопрос 1. Оценка тесноты линейной связи
Между

изменением двух признаков нет полного соответствием

Зная величину факторного признака, можно определить величину результативного признака

Устанавливается лишь тенденция изменения результативного признака при изменении факторного признака

линейной связи
- выявление связей между случайными переменными путем:
точечной и интервальной

оценки парных (частных) коэффициентов корреляции;
вычисления и проверки значимости множественных коэффициентов корреляции и детерминации.

Другие задачи:
Отбор факторов, оказывающих наиболее существенное влияние на результативный признак, на основании измерения тесноты связи между ними;
Обнаружение ранее неизвестных причин связей.

Вопрос 1. Оценка тесноты линейной связи

от единиц, в которых измеряются переменные Х, Y, она является

ненормированной величиной.

Вопрос 1. Оценка тесноты линейной связи

Y коэффициент парной корреляции определяется следующим образом:


Вопрос 1. Оценка тесноты

линейной связи

оценки дисперсий величин X, Y;
характеризуют степень разброса значений х1, х2, …, хn (y1,y2, …,yn) вокруг своего среднего, или вериабельность (изменчивость) этих переменных на множестве наблюдений.

тесноты линейной связи
Более естественно измерять степень разброса значений переменой в

тех же единицах, в которых измеряется и сама переменная.
Эту задачу решает показатель, называемый среднеквадратическим отклонением (стандартным отклонением) или стандартной ошибкой переменной Х (переменной Y) и определяемый соотношением

и ту же информацию, однако корреляция представляет эту информацию в

более удобной форме.
Для качественной оценки коэффициентов корреляции применяются различные шкалы.
Шкала Чеддока:
0,1-0,3 – слабая;
0,3-0,5- заметная;
0,5-0,7 – высокая;
0,9-1,0 – весьма высокая.

Вопрос 1. Оценка тесноты линейной связи

! Величина коэффициента корреляции не является доказательством того, что между исследуемыми признаками существует причинно-следственная связь, а представляет собой оценку степеней взаимной согласованности в изменениях признаков.

объемах выборки используется t-критерий Стьюдента:

Вопрос 1. Оценка тесноты линейной связи
-

t-наблюдаемое сравнивается с табличным значением с учетом заданного уровня значимости а и числа степеней свободы (n-2).
- если t-набл. >tтабл. , то :
полученное значение коэффициента парной корреляции признается значимым.
Между исследуемыми переменными есть тесная статистическая взаимосвязь.

линейной связи
Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции используют при построении моделей

множественной регрессии

Определение тесноты связи одной случайной величины с совокупностью остальных величин, включенных в анализ.
Определение тесноты связи между двумя величинами при фиксировании или исключении влияния остальных величин.

Задачи многомерного корреляционного анализа

случайной величины с совокупностью остальных величин, включенных в анализ.
Решение: определение

выборочного коэффициента множественной корреляции:

Вопрос 1. Оценка тесноты линейной связи

где |R| - определитель корреляционной матрицы;
Rjj – алгебраическое дополнение элемента rjj той же матрицы R.
0<(R,R2)<1

F-критерия Фишера с табличным F.
Вопрос 1. Оценка тесноты линейной связи