Лекция 4. Поток

поля.
Пусть в трехмерном пространстве имеется ориентируемая поверхность S и векторное

поле, задаваемое формулой:


Считаем, что векторное поле в каждой точке векторного пространства задает поле скоростей жидкости. Попробуем найти количество жидкости, которое протекает через поверхность S в направлении нормали.

ее на маленькие кусочки S1, S2, …, Sn с площадями
S1,

S2, …, Sn. В каждом из кусочков выберем точки P1, P2, …, Pn, в которых найдем значение
скорости жидкости:


и нормали к
поверхности S:

участок Si в единицу времени в направлении нормали.
Численно

это значение равно объему параллелепипеда, построенного на Si как на основании с высотой

количество жидкости, протекающее через поверхность S, обозначаемое Q равно: При

таком приближенном вычислении количество жидкости зависит от способа разбиения и выбора точек Pi.
В физике величина не зависит. Считаем, если существует конечный предел

протекающей через поверхность S. Вспоминая, если предел существует, то он

называется поверхностным интегралом 1-го рода.


Количество жидкости, протекающей через поверхность S равно поверхностному интегралу 1-го рода от скалярного произведения скорости на единичный вектор нормали к поверхности.

поля вводится понятие потока.
Определение (Потока).
Потоком векторного

поля называется число, обозначаемое буквой П и вычисляемое как:

протекающей через поверхность.

§ 2. Вычисление потока.
Если задано

векторное поле , и задана поверхность S, нормаль к которой может быть вычислена:

вычислен по определению
При этом поверхность S должна быть однозначно

проектируемой на одну из координатных плоскостей. В этом случае поверхностный интеграл по поверхности S сводится к интегралу по области проектирования поверхности S

координатные плоскости. Чтобы получить формулы, заметим, что нормаль к поверхности

может быть представлена:

где - углы которые составляет нормаль с координатными осями.
Тогда, в силу определения скалярного произведения, имеем:

аддитивностью интеграла

плоскости имеем:

Поверхностные интегралы 2 рода вычисляются с учетом области проектирования

на координатную плоскость. Для вычисления потока методом проектирования на координатные плоскости имеем

составляет нормаль к поверхности для 1-го интеграла с осью x,

для 2-го с осью y, для
3-го с осью z.
Замечание: В том случае если поток через замкнутую поверхность > 0, то внутри замкнутой поверхности есть источник. Если поток < 0 ,то внутри поверхности находится сток.
Если поток = 0, то говорят, что количество вещества втекающего в поверхность = кол-ву вещества вытекающего из нее.

найти поток через внешнюю поверхность конуса

S:
составляет тупой угол с осью z.

возьмем замкнутую поверхность S с внешней нормалью .

Можем получить характеристику поля, называемую потоком, воспользовавшись формулой:


Если взять поверхность S1, то поток будет другим, чем через поверхность S, и понятие потока отражает количественную характеристику векторного поля при наличии некоторой поверхности, и зависит не только от векторного поля но и от поверхности.

векторного поля в каждой точке, независимо от выбора поверхности S.

Если разделить поток на объем поверхности:



средняя плотность потока через поверхность S.

что существует предел такого отношения, то получим плотность потока в

точке.
Эту характеристику по определению называют дивергенцией векторного поля.

Определение (дивергенции) Если существует конечный предел отношения потока векторного поля через замкнутую поверхность S к V,

в точку, этот предел называется дивергенцией векторного поля в точке

и обозначается: Физический смысл дивергенции - плотность потока векторного поля.
Если div > 0, то в точке - источник,
если < 0, то сток,
если = 0, то ничего не находится

мерном пространстве задано
векторное поле

где P, Q,

R непрерывны вместе со своими производными


в некоторой области V, то в каждой точке этой области дивергенция может быть вычислена по формуле

то применяя формулу Остроградского имеем:

производные непрерывны, значит к тройному интегралу применима теорема о среднем.

стягивается в точку M, можно записать, что

и перейти к пределу под знаком непрерывной функции, после чего получим: