Лекция № 1. Системы счисления

чисел в виде последовательности символов из этого набора образуют систему

счисления. Набор символов системы счисления называется алфавитом, а сами символы - цифрами.

цифры зависит только от ее вида, а в некоторых непозиционных

системах счисления (например, римской) - от взаимного расположения цифр.

в записи числа зависит от ее вида и от занимаемой

ею позиции. Позиции цифр в таких системах счисления называются разрядами.
Собственным весом цифры назовем значение одноразрядного числа записанного только с помощью этой одной цифры.

в алфавите позиционной системы счисления, называется основанием системы счисления.
В алфавите

арабской системы счисления q равно десяти, так как алфавит включает в себя десять различных чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. В соответствии со значением основания арабскую систему счисления называют десятичной системой счисления.

счисления с основанием q и алфавитом А с фиксированной точкой

:
anan-1...а1ao . a-1a-2...a-m,
где an , an-1,..., a1, аo, a-1, a-2,..., a-m - цифры из алфавита А;
п. п - 1,..., 1, 0, -1,-2, ...,-т - номера разрядов.

Разделительная точка

Старший разряд

Младший разряд

которые больше или равны нулю, образуют целую часть числа. Разряды

с номерами, меньшими нуля, образуют дробную часть числа. В записи числа эти части числа отделяются разделительной (дробной) точкой.
6. Если дробная часть отсутствует, то число называют целым и опускают разделительную точку в записи числа.
7. Если отсутствует целая часть, то число называют правильной дробью и перед разделительной точкой записывают ноль.

системе счисления с основанием q и алфавитом А с плавающей

точкой :
anan-1...а1ao . a-1a-2...a-m  qk,
где an , an-1,..., a1, аo, a-1, a-2,..., a-m - цифры алфавита А;
п, п - 1,..., 1, 0, -1, -2, ..., -т - номера разрядов,
k – абсолютный порядок числа.
Пример: 0.035  1099 = 0.35  1098= 0.0035  10100.

только из двух цифр: 0 и 1.
Основанием двоичной системы

счисления является число два.
Восьмеричная система счисления имеет алфавит из восьми цифр:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Основанием восьмеричной системы является число восемь.
Десятичная система счисления имеет алфавит, состоящий только из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Основанием двоичной системы счисления является число десять.
Шестнадцатеричная система счисления имеет алфавит из шестнадцати цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f.
Основанием шестнадцатеричной системы счисления является число шестнадцать.

и 16. Основная таблица.

СС
10
16
8
2
1
1
1
2
2
2
3
4
3
4

системы счисления в десятичную систему счисления: 

5 4 3 2 1 0
1011012 = 125 + 024 + 123 +122 + 021 +120 =
= 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 4510.

перевода:
45:2 = 22 (1);
22:2 = 11 (0);
11:2 = 5 (1);
5:2

= 2 (1);
2:2 = 1 (0).
Запишем число в двоичной системе счисления:
4510 = 1011012.
Проверка подтверждает правильность решения.
Ответ: 1011012 = 4510.

перевод числа 1dc16 из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную систему

счисления.
2 1 0
1dc16 = 1  162 + 13  161 +12  160 = 256+208+12 = 47610.
Проверим результат перевода:
1)    476:16 = 29 (12) (1210=С16);
2)    29:16 = 1 (13) (1310=d16).
 
Запишем число в шестнадцатеричной системе счисления: 47610= 1dc16. Проверка подтверждает правильность решения.
Ответ: 1dc16 = 47610.

числа 1011112 из двоичной системы счисления в восьмеричную систему счисления:
Разобьем

исходную запись числа на триады двоичных разрядов:
101111  101 111.
Поставим в соответствие каждой триаде восьмеричную цифру:
1012  58;
1012  78.
Запишем число: 1011112 = 578.

перевода:
Поставим в соответствие каждой восьмеричной цифре триаду:
58  1012;
7 

1112;
Запишем число: 578 = 1011112.
Проверка подтверждает правильность решения.
Ответ: 1011112 = 578.

счисления в восьмеричную систему счисления

и обратно из полученного представления числа в десятичную систему счисления. Перевод производить с точностью до 3 знаков.
Сравнить результаты, полученные после «обратного» перевода в десятичную систему счисления с исходным десятичным числом. Определить относительную ошибку перевода.

в восьмеричную систему счисления.
1.1.            Переводим целую часть числа:
1)      17 :

8 = 2 (1), 2 < 8 – конец перевода.
Итак, 1710 = 218
1.2.            Переводим дробную часть числа:
1)      0.97  8 = 7.76 (7);
2)      0.76  8 = 6.08 (6);
3)      0.08  8 = 0.64 (0);
Итак, 0.9710 = 0.7608
Таким образом, 17.9710 = 21.7608

в десятичную систему счисления.
1 0 -1-2-3
21.7608 = 2 

81 + 1 80 + 6  8-2 + 0.8-3 = 16 + 1 + 0.875 + 0.09375 + 0 = 17.9687510.
Запишем искомое число: 21.7608 = 17.9687510
Имеем: 17.970 ≠ 17.96875.