Линейная алгебра

неизвестными
Определители n – ого порядка
Методы вычисления определителей
Системы из n линейных

в теоретической механике, физике и т.д. для сокращения записей и

Определитель 2 - го порядка это число, записанное в виде:

ai j

из произведения элементов главной диагонали вычитается произведение элементов побочной диагонали.

алгебры - это решение систем линейных уравнений.
Решение данной системы

Свободные члены уравнения

Наиболее простым, является случай, когда число неизвестных n равно числу уравнений n.

Пусть n = 2:

ai j - коэффициенты при неизвестных.

Номер уравнения

Номер неизвестного,

будет иметь вид:
Если

Крамера:
Вычислим главный и вспомогательные определители системы:
Найдем решение системы по формулам

число:
Методы вычисления определителей n – ого порядка рассмотрим на примере

порядка

порядка, который получается из определителя 3 - го порядка путем

Алгебраическим дополнением элемента ai j  называется

либо строки (столбца) определителя на их алгебраические дополнения:  
Разложение

Разложение определителя по элементам j – ого столбца

элементы какого - либо столбца или строки равны нулю:
равна

в k раз, если элементы какого - либо столбца (строки)

не меняется при замене строк соответствующими столбцами:

прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на  произвольный множитель

Если определитель имеет так называемый треугольный вид, то он вычисляется как произведение чисел, стоящих на главной диагонали:

элементы в нули
К элементам 2 строки прибавим элементы 1 строки,

К элементам 3 строки прибавим элементы 1 строки

Разложим определитель по элементам 1 столбца

Также, используя свойства, можно привести определитель к треугольному виду и вычислить по последнему свойству.

систему линейных уравнений:
Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если она имеет бесконечное множество решений.

Система называется однородной, если
Однородная система совместна, так как всегда имеет нулевое решение.

запишем систему из трех уравнений с тремя неизвестными:
Вспомогательные определители получаются

и вспомогательных определителей можно судить о характере системы:
Если

Если то система совместна и неопределенна.

Если , но или или то система несовместна.

В общем случае будем иметь n +1 определителей n – ого порядка


и, если , то решение системы находится по формулам Крамера: