ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (продолжение)

его матрица.

к базису называется матрица

вида столбцы которой есть координаты векторов базиса в базисе , так что: Замечание. В матричной форме:

С – матрица перехода от базиса к базису

, , то С-1 является матрицей перехода от базиса
к базису , при этом
Определения.
Пусть U; V – линейные пространства над полем К.
Говорят, что задан оператор, действующий из U на V, если каждому элементу U поставлен в соответствие, по некоторому правилу, один или более элементов пространства V.
Обозначение.
2. Оператор называется линейным, если для
справедливо:

- базис в Rn. Матрицей линейного оператора (ЛО)

называется матрица вида столбцы которой есть координаты векторов в базисе , так что: Замечание. В матричной форме:

- ЛО с матрицей А в

базисе
- координаты векторов
в этом же базисе, причем .
Тогда (4).

Теорема 14 (о матрице ЛО при переходе от базиса к базису).
Пусть - базисы в Rn , - ЛО
с матрицей А в базисе , С – матрица перехода от
к базису .
Тогда матрица ЛО в базисе вычисляется по формуле:

вектор x называется собственным вектором ЛО

, если

Число называется собственным значением ЛО.
Вычисление собств. векторов и собств. значений
Пусть А – матрица ЛО; по Лемме II
По определению , где Е–единичная матрица. Отсюда (6)
Имеем СЛАУ

(6.1)

СЛАУ (6.1), и для каждого собственного значения решают СЛАУ.
Каждому

собственному значению соответствует множество собственных векторов, отличающихся постоянным сомножителем.
Замечание. Если собственные значения – различные вещественные числа, то в базисе собственных векторов матрица линейного оператора имеет диагональный вид.