Слайд 1Литература
1. Математика для гуманитариев [Текст] : учеб. / ред. К. В. Балдин.
- 2-е изд. - М. : Дашков и К, 2009.
- 512 с. (20 экз., абонемент)
2. Грес П.В. Математика для гуманитариев. Общий курс [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Грес П.В.— Электрон. текстовые данные.— М.: Логос, 2012.— 288 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/70715.html.— ЭБС «IPRbooks»
3. Гиль В.Т. Элементы математических теорий для юристов [Электронный ресурс]: учебное пособие/ В.Т. Гиль— Электрон. текстовые данные.— Омск: Омская академия МВД России, 2009.— 71 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/36114.html.— ЭБС «IPRbooks»
Слайд 24. Буцык С.В. Математика для студентов-гуманитариев [Электронный ресурс]: учебное пособие/
С.В. Буцык— Электрон. текстовые данные.— Челябинск: Челябинский государственный институт культуры,
2011.— 92 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/56433.html.— ЭБС «IPRbooks»
5. Буцык С.В. Математика для гуманитариев [Электронный ресурс]: учебно-методическое пособие/ С.В. Буцык— Электрон. текстовые данные.— Челябинск: Челябинский государственный институт культуры, 2010.— 72 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/56432.html.— ЭБС «IPRbooks»
Слайд 36. Берникова И.К. Математика для гуманитариев [Электронный ресурс]: учебно-методическое пособие/
Берникова И.К., Круглова И.А.— Электрон. текстовые данные.— Омск: Омский государственный
университет им. Ф.М. Достоевского, 2016.— 200 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/59612.html.— ЭБС «IPRbooks»
7. Информатика и математика для юристов (2-е издание) [Электронный ресурс]: учебник для студентов вузов, обучающихся по юридическим специальностям/ С.Я. Казанцев [и др.].— Электрон. текстовые данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2015.— 558 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/52474.html.— ЭБС «IPRbooks»
Слайд 4
Тема 1
Элементы теории множеств
Слайд 5Можно ли дать определение понятию «Множество»?
Множество – одно из фундаментальных
первичных понятий математики. Его нельзя определить через другие понятия.
Множество можно
представить как совокупность объектов.
Слайд 6
«Множество есть многое, мыслимое нами как единое»
Основоположник теории
множеств, немецкий математик
Георг Кантор (1845-1918)
Слайд 7Множества принято обозначать заглавными латинскими буквами (А,B,…)
Объекты, которые образуют множество,
называют элементами множества и для обозначения элементов используют, как правило,
малые буквы латинского алфавита (a,b...).
Слайд 8Примеры множеств:
множество учащихся в данной аудитории;
множество людей, живущих на нашей
планете в данный момент времени;
множество точек данной геометрической фигуры;
множество чётных
чисел;
множество корней уравнения.
Слайд 9Множество корней уравнения (x-1)(x+2)(x-3)(x+4)=0
Составьте множество из соответствующих элементов
4
- 4
3
1
-1
- 2
-
3
2
Слайд 10Принадлежность элемента множеству
Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают
x Х ( — принадлежит). В противном случае, если
a не принадлежит множеству А, будем использовать обозначение .
Слайд 11Подмножество
Говорят, что множество А содержится в множестве В или
множество А является подмножеством множества В, если каждый элемент множества
А одновременно является элементом множества В .
В этом случае пишут А В.
Слайд 12Способы задания множеств
Множество может быть задано перечислением всех его
элементов или списком. В этом случае элементы множества записывают внутри
фигурных скобок, например: или A={студент А., рабочий Л., школьник М.}.
2. Множество может быть задано описанием свойств его элементов. Чаще всего при этом используют запись, которую читают следующим образом: «A есть множество элементов b таких, что для них выполняется свойство B».
3. Множество можно задать порождающей процедурой, например, множество чисел:
А={а/а=2k, k-любое натуральное число}.
Слайд 13Например, перечислением заданы следующие множества:
А={1,2,3,5,7} — множество чисел
Х={x1,x2,...,xn}
— множество некоторых элементов x1,x2,...,xn
N={1,2,...,n} — множество натуральных чисел
Z={0,±1,±2,...,±n} — множество целых чисел
А={х | х2-5х+6=0}.
Слайд 14N – множество всех натуральных чисел;
Z– множество всех целых чисел;
Q
– множество всех рациональных чисел;
R – множество всех действительных чисел
Слайд 15Задайте перечислением элементов множество:
1) A = {x / x
N, x2 – 4 = 0};
2) B = {x
/ x Z, | x | < 5};
3) C = {x / x N, x ≤ 20, x = 5k, k Z}.
Слайд 16 По числу элементов, входящих в множество, множества делятся на три
класса:
1 – конечные,
2 – бесконечные,
3 – пустые.
Слайд 17Множество является КОНЕЧНЫМ, если оно состоит из конечного числа элементов
Пример
Множество гласных букв в слове “математика” состоит из трёх элементов
– это буквы “а”, “е”, “и”, причем, гласная считается только один раз, т.е. элементы множества при перечислении не повторяются.
Слайд 18Множество является БЕСКОНЕЧНЫМ, если оно состоит из бесконечного числа элементов
Пример
Множество натуральных чисел бесконечно.
Пример
Множество точек отрезка [0;1] бесконечно.
Слайд 19Множество, не содержащее ни одного элемента, называется ПУСТЫМ. Символически оно
обозначается знаком
Пример
Множество действительных корней уравнения x2 +1=0.
Пример
Множество людей,
проживающих на Солнце.
Слайд 20Мощность множества
Число элементов конечного множества называют мощностью этого множества и
обозначают символом m(A).
С точки зрения мощности множество чисел
{-2,
0, 3,8} и множество букв {с, х, ф, а} эквивалентны, так как они содержат одинаковое число элементов.
Слайд 21УНИВЕРСАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО
В любой конкретной задаче приходится иметь дело с подмножествами
некоторого, фиксированного для данной задачи, множества, состоящего из допустимых для
этой задачи объектов.
Его принято называть универсальным (универсумом) и обозначать символом U.
Например, если мы рассматриваем множество действительных корней уравнения, то в качестве универсального можно взять множество всех действительных чисел.
Слайд 22Наглядное представление множеств
Наглядно свойства множеств, операции над множествами и отношения
между множествами изображают при помощи рисунков, называемых КРУГАМИ ЭЙЛЕРА (или
диаграммами Эйлера – Венна).
Для этого множества, сколько бы они ни содержали элементов, представляют в виде кругов или любых других замкнутых кривых (фигур)
Слайд 23Диаграммы Венна
При графическом изображении множеств удобно использовать диаграммы Венна, на
которых универсальное множество обычно представляют в виде прямоугольника, а остальные
множества в виде овалов, заключенных внутри этого прямоугольника
Слайд 24Отношения на множествах и между множествами
Слайд 25БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
Отношения между парами объектов называются бинарными.
Примеры:
Равенство
Неравенство
Принадлежности
Включения
«Быть братом», делиться
на какое-либо число
Слайд 26ОТНОШЕНИЕ РАВЕНСТВА
Два множества А и В называются равными ( А
= В ), если они состоят из одних и тех
же элементов, то есть каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А .
Слайд 27ОТНОШЕНИЕ ВКЛЮЧЕНИЯ
Если множество А является подмножеством множества В (А
В ), то отношение между множествами называется включением.
Для
любого множества А имеют место включения:
А и А А .
Слайд 28Определить, как между собой соотносятся множества A = {1, 2,
3, 5, 7}, B ={1, 3, 5}, С= {5, 3,
1}.
Слайд 30Объединение множеств
Сумма ( объединение ) множеств А и В (
пишется АВ ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит
либо А , либо В. Таким образом, е А В тогда и только тогда, когда либо е А , либо е В .
Слайд 31Операции над множествами
объединение
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6},
то А
B = {1,2,3,4,5,6}
1
2
4
А
4
3
5
6
В
Слайд 33Пересечение множеств
Пересечением множеств А и В называется множество А ∩
В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству
В.
Слайд 34Операции над множествами
пересечение
Например, если А={a,в,c}, B={в,d,f,e},
то А ∩
В = {в}
Слайд 36 Разностью
множеств А и В называется множество А\В, элементы которого
принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.
Слайд 373
4
Операции над множествами
разность
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}
то А\В = {1,2}
1
2
А
5
6
В
3
4
Слайд 40Операции над множествами
Симметрической разностью множеств А и В называется множество
А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА,
то есть А Δ В = (А\В) (В\А).
Слайд 41Операции над множествами
симметрическая разность
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6},
то
А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}
Слайд 43Операции над множествами
Абсолютным дополнением множества называется множество всех элементов, не
принадлежащих A, т.е. множество U\A, где U – универсальное множество
Слайд 44Свойства операций над множествами:
Слайд 45П р и м е р ы
Множество детей является подмножеством
всего населения.
Пересечением множества целых чисел с множеством положительных чисел является
множество натуральных чисел.
Нуль является дополнением множества натуральных чисел относительно множества неотрицательных целых чисел.
Слайд 46Даны множества
Найти: объединение, пересечение, разность, симметрическую разность
Слайд 52Формула мощности объединения непересекающихся конечных множеств (1)
Если конечное множество А
представимо в виде объединения N попарно непересекающихся конечных множеств А1,
А2 …АN, то его мощность
m(A)=m(A1)+m(A2)+…+m(AN)
Слайд 53Формула включений и исключений для двух множеств (2)
Для любых
двух конечных А и В справедливо равенствo
m(AUB)=m (A)+m (B)-m (A
B)
Слайд 54Формула включений и исключений для трех множеств (2)
Для любых
трех конечных А, В и С справедливо равенствo
m(А U В
U С) = m(А )+ m(В)+ m(С)-
m(AB)- m(AC ) - m(BC) +
+ m(ABC)
Слайд 55Задача
На экзамене по математике были предложены три задачи: по алгебре,
планиметрии и стереометрии. Из 100 студентов задачу по алгебре решили
80, по планиметрии — 70, а по стереометрии — 60. При этом задачи по алгебре и планиметрии решили 60 студентов, по алгебре и стереометрии — 50, по планиметрии и стереометрии — 40. Все три задачи решили 30 студентов. Существуют ли студенты, не решившие ни одной задачи, и если да, то сколько их?
Слайд 56Решение.
Пусть U — множество всех студентов, А —. множество
студентов, решивших задачу по алгебре, В — множество студентов, решивших
задачу по планиметрии, С — множеств студентов, решивших задачу по стереометрии. По условию m(U) =100, m(A) = 80, m(В)=70, m(С)=60, m(AB)= 60, m(AC) = 50, m(BC) = 40, m(ABC) =30. В множество ABC включены все студенты, решившие хотя бы одну задачу.
По формуле включений и выключений (3):
m(АUВUС)=m(А)+m(В)+m(С)-m(AB)-m(AC)-(BC)+ m(ABC)
m(АUВUС) =80 + 70 + 60 - 60 - 50 - 40 + 30=90.
Отсюда следует, что не все экзаменуемые решили хотя бы одну задачу. Ни одной задачи не решили
m(U) - m(AUBUC)=100 - 90=10 (студентов).
Слайд 57Графическое решение
30
30
20
10
A
B
C
10
U
Слайд 58Декартово (прямое) произведение множеств
Декартовым произведением множеств А и В называется
множество всех пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а
вторая компонента принадлежит множеству В.
![Литература1. Математика для гуманитариев [Текст] : учеб. / ред. К. В. Балдин. - 2-е изд. - М. : Дашков](/img/tmb/6/593184/1a09c2eaeff4d4d5c71148ecbd8397e0-800x.jpg "Презентация на тему Литература1. Математика для гуманитариев [Текст] : учеб. / ред. К.")
![4. Буцык С.В. Математика для студентов-гуманитариев [Электронный ресурс]: учебное пособие/ С.В. Буцык— Электрон. текстовые данные.— Челябинск: Челябинский](/img/tmb/6/593184/3ee70ae1a29441b21d9c99f11f8c7de5-800x.jpg "Литература 4. Буцык С.В. Математика для студентов-гуманитариев [Электронный ресурс]: учебное пособие/ С.В.")
![6. Берникова И.К. Математика для гуманитариев [Электронный ресурс]: учебно-методическое пособие/ Берникова И.К., Круглова И.А.— Электрон. текстовые данные.—](/img/tmb/6/593184/52c6bd89f02815a4242ac2677639ebd3-800x.jpg "Литература 6. Берникова И.К. Математика для гуманитариев [Электронный ресурс]: учебно-методическое пособие/ Берникова")
![Множество является БЕСКОНЕЧНЫМ, если оно состоит из бесконечного числа элементов ПримерМножество натуральных чисел бесконечно.ПримерМножество точек отрезка [0;1]](/img/tmb/6/593184/4a0abb509dcc27e7aade1cabd0e73593-800x.jpg "Литература Множество является БЕСКОНЕЧНЫМ, если оно состоит из бесконечного числа элементов ПримерМножество")
