Логарифм и его свойства

идее логарифмических вычислений и составил первые таблицы логарифмов, опубликовал труд

«Описание удивительных таблиц логарифмов». В этом труде содержались определение логарифмов, объяснение их свойств. Изобрел логарифмическую линейку, счетный инструмент, использующий таблицы Непера для упрощения вычислений.

годовых. Через сколько лет эта сумма составит S руб.?

равно 304 мм рт. ст. Вычислим, на какой высоте находились

альпинисты. ( =760 мм рт. ст.)
Решение.
Высота над уровнем моря вычисляется по формуле



где - Р0 давление на уровне моря, p – давление на высоте h м.

не различимых простым глазом. При этом предельная «звёздная величина» k

звёзд, видимых через телескоп, вычисляется по приближённой формуле где D – диаметр объектива телескопа в см. Например, при D = 8 см Значит, через телескоп можно увидеть звёзды до 12-й величины.

в ступор. Традиционно тема логарифмов считается сложной, непонятной и страшной.

Особенно -уравнения с логарифмами.
Это абсолютно не так. Абсолютно! Не верите?
Хорошо. Сейчас, за какие-то 10 - 20 минут вы:

Даже если ничего о них не слышали.
3. Научитесь вычислять простые

логарифмы.
Причём для этого вам нужно будет знать только таблицу умножения, да как возводится число в степень...
Чувствую, сомневаетесь вы...
Ну ладно, засекайте время!
Поехали!

да, х = 2. Три в квадрате - это девять.
А теперь

решите почти то же самое:
3x = 8

икса,
не принимается!
Согласитесь, что это как-то нечестно – с девяткой

пример решается в уме, а с восьмеркой не решается вовсе! Ну чем девятка лучше восьмерки?!
Математика не терпит такой дискриминации. Для математики все числа равны! Ну, не буквально, конечно….

Можно сообразить, что икс – какое-то дробное число, между единичкой (31 = 3) и двойкой (32 = 9). И даже приближенно подобрать, найти это число. Но так возиться каждый раз.... Математика решает вопрос как всегда радикально и элегантно.

надо возвести 3, чтобы получить 8.
Фраза понятна?
Если непонятна,

прочитайте ещё раз. И ещё. Это важно.

как:
х = log38
Читаем ещё раз: "икс равен логарифму восьми по основанию

три".
Где что пишется – запомнить легко: число 3 – называется основанием, пишется в логарифме и в показательном выражении внизу. 
Основание у чего угодно - оно, обычно, внизу бывает.
И это правильный ответ!

возвести 5, чтобы получить 12.
В математической записи:

х = log512
Оформление решения:
5x = 12
х = log512

верные ответы! 
Приятно, правда?
Представьте, мы в обыденной жизни спросили, например:

"как доехать до вокзала?" И нам честно и правильно ответили: "На автобусе, который идёт до вокзала!" В жизни толку с такого ответа мало.
А в математике - пожалуйста!

с цифрами? Ну ладно, только для вас... Я покажу вам

это конкретное число:
х = log38 = 1,892789260714.....
Легче стало? Учтите ещё, что это число никогда не кончается. Иррациональное оно...
Поэтому и записывают логарифмы вместо страшно лохматых чисел. Кому надо числовой ответ - посчитает на калькуляторе.

Если логарифм считается без калькулятора, его надо считать.
Ответ, например, х = log24

нехорош.
Этот логарифм вычисляется, и его вы обязаны посчитать. Собственно, это и есть решение логарифма.
И чему же равен log24?

log416 =
log55 =

1
3
4
5
6
4
1
2

log416 =
log55 =

log6216 =

2

1

4

5

6

2

4

1

3

log416 =
log55 =

log6216 =

2

4

1

3

убедились, что они не опасны. Но есть, есть у них

свои фишки! Самая важная - это ограничения.
До сих пор мы знали два жёстких ограничения. Нельзя делить на ноль и извлекать корень чётной степени из отрицательного числа. Эти ограничения играют огромную роль в решении заданий. Про ОДЗ помните? Теперь добавляются ограничения, связанные с логарифмами.
Запишем в общем виде, т.е. через буквы:
c = logab
или, что едино:
logab = c
Вспомним: а - это основание, которое нужно возвести в степень с, чтобы получить b.

Забавно получится, единица в любой степени - единица. Как-то оно

не очень... Как не меняй с, а а и b единичками останутся... Та же история и с нулём. Не годятся эти числа в качестве основания. Отрицательные числа - капризные. В одну степень их можно возводить, в другую нельзя... Вот и поступили с ними, как со всеми капризными – вовсе исключили из рассмотрения.
В результате получилось:
а > 0;   a ≠ 1
А если мы положительное число возведём в любую степень, мы получим... получим... Да! Положительное число и получим. Отсюда:
b > 0

В математике два основания употребляются очень часто.
Это основание 10

и основание число е.
log10b = lgb
logeb = lnb