Математические модели в расчетах на ЭВМ

к.т.н., доцент Уразбахтина Анжелика Юрьевна

2016-2017 уч. год

методов и ЭВМ при проектировании способствует повышению технического уровня и

качества проектируемых объектов, сокращению сроков разработки и освоения их в производстве.
Автоматизация проектирования особенно эффективна, когда от автоматизации выполнения отдельных инженерных расчетов переходят к использованию автоматизированных информационных систем (АИС) или систем автоматизированного проектирования (САПР).

САПР:
Моделирование и мониторинг разработки месторождений;
Информационные технологии в проектировании

объектов обустройства месторождений;
Стандартизация и техническое регулирование;
Комплексные решения для корпоративных информационных систем;
Моделирование последствий экологических катастроф.

Разработка математических моделей и алгоритмов является творческим

и сложным этапом создания АИС или САПР, от которого в наибольшей степени зависят производительность и эффективность автоматизированной системы, и качество проекта.

обеспечение (МО) - это математические модели (ММ), методы и алгоритмы,

по которым разрабатывается программное обеспечение (ПО) АИС или САПР, и которые позволяют осуществлять автоматизированное проектирование.

элементов понимают систему математических отношений, описывающих с требуемой точностью изучаемый

объект и его поведение в реальных или производственных условиях.

При построении ММ используют различные математические средства описания объекта – теорию множеств, графов, вероятностей, математическую логику, математическое программирование, дифференциальные или интегральные уравнения и т.д.

модели без конкретизации числовых значений фигурирующих в ней параметров.

Математическая модель

описывает зависимость между исходными (входными) данными и искомыми величинами.

переменных), из них: есть группа варьируемых переменных и группа независимых

переменных (констант).

L - математический оператор, определяющий операции над входными данными; это полная система математических операций, описывающих численные или логические соотношения между множествами входных и выходных данных;

Y - множество выходных данных (зависимых переменных); представляет собой совокупность критериев оценки моделируемого объекта или целевых функций улучшения объекта.

регрессионным анализом.

Цели регрессионного анализа: определить силу влияния факторов X (X1,X2,…)

на результат Y и найти неизвестные коэффициенты математической модели а,b,c и т.д.

При этом используются методы замены для преобразования нелинейных функций в линейные.

(X1,X2,…) определяет среду функционирования объекта, т.е. внешние условия, в которых

будет работать проектируемый объект, эти факторы разработчик ММ изменить не может

Это могут быть:
технические параметры объекта, не подлежащие изменению в процессе проектирования;
физические возмущения среды, с которой взаимодействует объект проектирования;
тактические параметры, которые должен достигать объект проектирования.

Разделение входных параметров X (X1,X2,…) по степени важности влияния их изменений на выходные данные Y называется ранжированием.

т.е. основные решения, касающиеся выбора вида математических соотношений, характера используемых

переменных и параметров, принимает человек (проектировщик) ММ.

Разработка ММ обычно выполняется специалистами конкретных областей с помощью традиционных экспериментальных исследований.

Методы получения математических моделей делят на теоретические и экспериментальные.

протекающих в объекте процессов, определении соответствующего этим закономерностям математического описания,

обосновании и принятии упрощающих предположений, выполнении необходимых выкладок и приведении результата к принятой форме представления модели.

свойств объекта, фиксируемых во время эксплуатации однотипных объектов или при

проведении целенаправленных экспериментов.

модели. Он основан на анализе возможных применений модели и определяет

степень ее универсальности.
2. Сбор исходной информации о выбранных свойствах объекта (входной, выходной информации. Источниками ее являются: опыт и знания человека, разрабатывающего модель; содержание научно-технической литературы; описания прототипов – имеющихся ММ для элементов, близких по своим свойствам к исследуемому; результаты экспериментального измерения параметров и т.п.
3. Синтез структуры ММ в виде алгоритма, блок-схемы, аналитической формы, матрицы решения. Синтез структуры – это поиск и упорядочивание аналитических, логических и других зависимостей для преобразования входных параметров в выходные.
4. Расчет числовых значений параметров ММ (разработка тестового или контрольного примера). На этом этапе решается задача минимизации погрешности математической модели.
5. Оценка точности и адекватности ММ. Здесь устанавливается степень расхождения с тестовым примеров или с реальным объектом.
6. Разработка и оформление документации к ММ завершает ее проектирование.

объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с

окружающим миром (понимание);

ММ нужна для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (управление);

ММ нужна для того, чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект (прогнозирование).

чтобы он был безопасным и экономически наиболее выгодным?

2. Как составить

график выполнения сотен видов взаимозависимых работ на объекте, чтобы они закончились в максимально короткие сроки?

3. Проследить (предсказать) экологические и климатические последствия прорыва крупного нефтепровода.

4. Проследить (предсказать) социальные последствия изменений цен на нефть.

MATLAB
Система MATLAB предназначена для выполнения инженерных и научных расчетов и

высококачественной визуализации получаемых результатов. Эта система применяется в математике, вычислительном эксперименте, математическом и имитационном моделировании.

Используя пакет MATLAB можно как из кубиков построить довольно сложную математическую модель, или написать свою программу.

пакет, предназначенный для выполнения инженерных и научных расчетов, математического моделирования.

Ориентирован

на естественный математический язык и “непрограммирующего пользователя”.

Пакет объединяет в себе: редактор математических формул, интерпретатор для вычислений, библиотеку математических функций, процессор символьных преобразований, текстовый редактор, графические средства представления результатов, возможности структурного программирования.

с матрицами и векторами, гиперболическими и тригонометрическими функциями, комплексными числами

и булевыми выражениями.
Поддерживается использование примитивного программирования - циклов FOR и WHILE, условий IF и т.д. Пользователь программы имеет возможность быстрой вставки единиц измерения, может экспортировать созданные проекты в форматы HTML и MathCad или сохранять их в виде изображений BMP, GIF, JPG и PNG.
В SMathStudio есть встроенный справочник, посвященный тригонометрии, логарифмам, производным, пределам и прочим математическим понятиям.
Также в программе имеется коллекция примеров по решению математических задач.

не только высокой скоростью моделирования.
Модели, разрабатываемые на базе этого поистине

«народного» инструмента, как правило, наиболее просты в освоении, и даже их самостоятельная адаптация к меняющимся условиям может быть для более или менее квалифицированных пользователей Excel вполне посильной задачей.
К тому же, на рабочих местах использование иных программных средств может оказаться затруднительным – хотя бы в силу ресурсных ограничений (это могут быть и устаревшие компьютеры, и отсутствие локальной сети, и низкая квалификация пользователей).

исследования зависимости изучаемой переменной Y от различных факторов X и

отображения их взаимосвязи в форме регрессионной математической модели.
В регрессионных моделях зависимая (объясняемая) переменная Y может быть представлена в виде функции одного фактора Y = f (x) или нескольких

где - независимые (объясняющие) переменные, или факторы.
ММ регрессии можно использовать не только для анализа, но и для прогнозирования явлений различной природы.

Y=y(x)=линейная функция у зависит от одного фактора х.
Математическая модель у(х)=а+b▪x

называется линейной и однофакторной.






Прямая зависимость: когда х возрастает, возрастает и у или х убывает – убывает и у.
Обратная зависимость: когда х возрастает, у - убывает или х убывает – у возрастает.

статистическим данным, обычно представляемым в виде таблиц, например

по значению коэффициента корреляции ry,x . Чем ближе значение

| ry,x | к 1, тем сильнее влияние фактора х на результат у.
2. по значимости фактора х для правильного функционирования объекта моделирования. Значимость устанавливается путем опроса экспертов в нефтегазодобывающей промышленности.

При разработке многофакторных регрессионных математических моделей проводят ранжирование факторов (X1,X2,…) . В результате ранжирования определяется – будет ли фактор хi входить в модель или нет.

регрессионных ММ
матрица независимых факторов х, в первый столбец этой матрицы

обязательно записываются только 1. Состав остальных столбцов зависит от предполагаемой математической формулы модели.



матрица результирующих значений процесса или работы производственной системы

где

(числами), но качественными. Например, диаметр скважины – величина числовая; расположение

скважины (вертикально, наклонно, искривлено …) – параметр качественный. Качественные параметры преобразуют в числа – 0 или 1.
Например, Х=1 – вертикальное расположение; Х=0 – горизонтальное расположение.

включаются и функции цели моделирования

явно выраженные зависимости выходных параметров от входных или внутренних параметров.
Пример

линеаризованной аналитической математической модели:




ММ=


где

, - параметры моделируемого объекта;

 ограничения, накладываемые на функционирование объекта окружающей средой;
- целевая функция моделирования.

систем с помощью линейного программирования, Симплекс-метода и др.:

«Имеется некоторая величина,

являющаяся линейной функцией ряда переменных, которые, в свою очередь, должны удовлетворять ограничениям, выраженным в виде системы линейных равенств или неравенств. Требуется отыскать такие неотрицательные значения переменных, удовлетворяющих системе ограничений, при которых величина, являющаяся их линейной функцией, принимала бы наименьшее или наибольшее значение.»

ее в табличную форму ММ для решения на ЭВМ.

М – материал (0 – сталь, 1 – другие материалы);

ФП – форма (0 – круглый, 4 – четырехгранник, 6 – шестигранник). И теперь заполняется ТА ММ.

Кусок проволоки данной длины L согнуть в виде прямоугольника так,

чтобы площадь прямоугольника была наибольшей.
Этап 1. Анализ требований. На рисунке представлен прямоугольник и его стороны: а – длина прямоугольника, b – ширина прямоугольника.





Периметр прямоугольника L=2a+2b
Площадь прямоугольника S=ab, эта функция будет являться целевой функцией поиска значений параметров а и b.

Разработка ММ. Математическая модель (ММ) для решения задачи имеет вид:




Сформулируем

словесный алгоритм:
Ввести значение L.
Вычислить =L/1000.
Назначить a=; S max =0; a max =0; b max =0;.
Вычислить b=(L2a)/2.
Вычислить S= a  b.
Если S S max, то a max =a; b max =b; S max =S.
Вычислить a=a+.
Если aПечать a max; b max; S max.
Конец.

в таблице: Этап 5. Реализация ММ. Например, в редакторе электронных таблиц

EXCEL (приведена лишь часть электронной таблицы)

Результат моделирования в EXCEL совпадает со значениями из тестового примера

моделирования, но в реальных задачах их может быть несколько.

Такие задачи называют многокритериальными.

Для реализации ММ на ЭВМ требуется множество целевых функции
свести к одной формуле. Например, аддитивный критерий объединяет (свертывает) несколько целевых функций в одну:



где i  важность i -ой целевой функции для заказчика моделирования, выраженная в весовых коэффициентах; m  количество целевых функций.
Недостатки аддитивного критерия  субъективный подход к выбору весовых коэффициентов и все целевые функции должны стремиться либо к min, либо к max.

В случае, когда одни целевые функции стремятся к min, другие - к max, применяется минимаксный метод.

Pi,j  текущее значение i-го параметра для j-го варианта; i

 весовые коэффициенты значимости; max(Pi,j) или min(Pi,j)  наилучшее значение i-го параметра, наблюдаемое у множества анализируемых альтернатив; k – количество параметров проектируемого объекта, входящих в комплексную оценку.

Каждый из параметров «стремится» к своему оптимальному значению opt.

Решение сводится к поиску наибольшего значения целевой функции F из m вариантов.

параметрам
Пример расчета эффективности 1 варианта W1=
0,150,76/0,81+0,350,23/0,23+0,1511/12+0,2572/85+0,08250/270+0,021,2/1,25
=0,9332.
Результаты расчетов эффективности W

и целевых функций F
остальных вариантов занесем в таблицу.

диаграмма значений комплексной целевой функции по вариантам
Вывод:
лучший –

3-й вариант,
так как значение
целевой функции
здесь достигает
максимума.

практическим занятием узнайте свой № варианта по списку фамилий в

журнале.
2. Скачайте файлы: 1) Практические занятия https://yadi.sk/i/jZtiILoT3H8RHv 2) «Перечень тем и заданий 2017» https://yadi.sk/i/LhNOw3Ag3H8RHX 3) Вопросы https://yadi.sk/i/aMXZl_zs3H8RHL
3. Если у вас нет MathCAD, скачайте SmathStudio самостоятельно из интернета здесь http://ru.smath.info/обзор/SMathStudio/резюме или отсюда https://yadi.sk/d/pXFJdeGtsoFGh
4. Мой имейл angeluza@yandex.ru

Следующие занятия будут практическими.
1. Перед первым практическим занятием узнайте свой № варианта по списку фамилий в журнале.
2. Скачайте файлы: 1) Практические занятия https://yadi.sk/i/jZtiILoT3H8RHv 2) «Перечень тем и заданий 2017» https://yadi.sk/i/LhNOw3Ag3H8RHX 3) Вопросы https://yadi.sk/i/aMXZl_zs3H8RHL
3. Если у вас нет MathCAD, скачайте SmathStudio самостоятельно из интернета здесь http://ru.smath.info/обзор/SMathStudio/резюме или отсюда https://yadi.sk/d/pXFJdeGtsoFGh
4. Мой имейл angeluza@yandex.ru

варианта. В ходе чтения лекции, отметьте слайды, которые помогут ответить

вам на вопросы. Ответы оформить документом формата doc или pdf. Прикрепить в Moodle.
2. В большой перерыв скачайте и установите SmathStudio и подготовьтесь к практике:
3. Скачайте презентацию с практикой и откройте его.
Скачайте файл с заданиями на практику. Определите свои варианты. Каждое практическое задание скопируйте на отдельный лист книги EXCEL. Должно быть 6 заданий. В 1 и 2 практическом задании n замените на число. В 3 и 5 практике таблицу из задания наберите так, что бы значения х и у были в СТОЛБЦАХ.

А.А. Хамухин. - Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2009.- 284

с.