Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Математический анализ
Содержание
- 1. Математический анализ
- 2. Назначение курса Математический анализ является фундаментальной
- 3. Цели преподавания дисциплины Развитие интеллекта и
- 4. Литература Основная литература: Л.
- 5. Литература Дополнительная литература: Кудрявцев В.
- 6. Пределы функций
- 7. Определение функции Если
- 8. Определение предельной точкиδ-окрестностью точки а называется интервал
- 9. Точку а мы будем называть
- 10. Определение предела Число А называется пределом
- 11. Другое определение предела Говорят, что число
- 12. Утверждение
- 13. Геометрическая иллюстрацияаАа-δа+δА+εА-εY=f(x)хуо
- 14. Приведем еще один рисунок, поясняющий определение предела.аАА+εА-εа-δа+δхуУ=f(x)0о
- 15. На этом рисунке изображена функция, которая в точке а не имеет предела.аху0Y=f(x)
- 16. Односторонние пределы
- 17. Односторонние пределы Любой интервал (, а),
- 18. Односторонние пределы Символически запись
- 19. Односторонние пределы
- 20. Односторонние пределы Теорема о существовании предела
- 21. Бесконечно малые и бесконечно большие
- 22. Функция (x) называется бесконечно малой
- 23. Функция f(х) называется бесконечно большой
- 24. Лемма. Если f(х)→ при х→а,
- 25. Свойства бесконечно малых.
- 26. Теорема 2.
- 27. Теорема 3. Произведение бесконечно малой
- 28. Следствие.
- 29. Если
- 30. Тогда, полагая f(x)-A=(x), получим:
- 31. Теоремы о пределах
- 32. Теорема. Если функция f(х)
- 33. Функция f(х) называется ограниченной на
- 34. Лемма. Если функция f(х) имеет
- 35. Теорема 1. Если в точке
- 36. Теорема 2. Если в
- 37. Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
- 38. Теорема 3. Если в точке а существуют
- 39. Пример Найти
- 40. Пример Найти Преобразуем данную функцию так,
- 41. Пример Найти Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на
- 42. Пример Еще один пример. Вычислить Положим .
- 43. Признаки существования предела «Теорема о двух милиционерах» куда они меня тащут?
- 44. Теорема (о промежуточной функции).
- 45. Первый замечательный предел Теорема. Предел отношения
- 46. Первый замечательный предел Это объясняется тем,
- 47. Второй замечательный предел Второй замечательный предел:
- 48. Примеры Вычислим =
- 49. Примеры Найти
- 50. Сравнение бесконечно малых
- 51. Две бесконечно малые при х→а
- 52. Бесконечно малая при х→а функция
- 53. Приведем некоторые замечательные примеры в дополнение к первому и второму замечательным пределам.
- 54. Теорема. Если при
- 55. Скачать презентанцию
Назначение курса Математический анализ является фундаментальной дисциплиной, составляющей основу математического образования. Курс предназначен для ознакомления студентов с основными понятиями математического анализа и их применением к решению задач. В курсе излагаются
Слайды и текст этой презентации
Слайд 2Назначение курса
Математический анализ является фундаментальной дисциплиной, составляющей основу
Слайд 3Цели преподавания дисциплины
Развитие интеллекта и способностей к логическому
и алгоритмическому мышлению;
Обучение основным математическим методам, необходимым для
анализа и моделирования технических и других задач.
Слайд 4Литература
Основная литература:
Л. Д. Кудрявцев. Курс
математического анализа, т. 1, 2.- М.: высшая школа, 1981
Г. Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1987.Н. С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 1, 2. - М.: Наука, 1984.
Слайд 5Литература
Дополнительная литература:
Кудрявцев В. А., Демидович Б.
П. Краткий курс высшей математики.-М.: Наука, 1978.
Учебно-методические разработки:
Л. Я. Дубинина, Л. С. Никулина, И. В. Пивоварова. Курс лекций по высшей математике, ч. 1, 2.-Владивосток, изд. ВГУЭиС, 2001.Сборник задач по высшей математике. Сост. И. В. Пивоварова, Л. Я. Дубинина, Л. С. Никулина. -Владивосток, изд. ВГУЭиС, 2002.
Слайд 7Определение функции
Если каждому элементу хХ
поставлен в соответствие единственный элемент у=f(х) У ,где Х
и Y -данные числовые множества, и при этом каждому элементу у У поставлен в соответствие хотя бы один элемент хХ, то у называется функцией от х, определенной на множестве Х.
Слайд 8Определение предельной точки
δ-окрестностью точки а называется интервал (а–δ,а+δ), не содержащий
точку а, т.е. О (а, δ) = (а- δ, а)(а,
а + δ).Пусть функция f(x) определена на множестве X, кроме быть может точки а.
Слайд 9 Точку а мы будем называть предельной точкой множества
X,
если в любой δ -окрестности точки а содержится
бесконечно много точек xX, то есть О (а)∩X для О(а).
Слайд 10Определение предела
Число А называется пределом функции f(x) в
точке а (или при xа), если для любого
0 существует число δ() 0 такое, что для любого x X, удовлетворяющего условию0 x – а δ, следует неравенство
f (x) – A .
Слайд 11Другое определение предела
Говорят, что число А является пределом
функции f(x) при xа, если для 0
существует δ-окрестность точки а О (а,δ) = {x| 0< |x-a|<δ},гдеδ =δ (), такая, что для x O (а, δ) выполняется неравенство f(x) – A .
При этом пишут:
Слайд 12 Утверждение
эквивалентно следующему:
f(x) – A при x ∆, где ∆ = ∆() зависит от и по смыслу определения является достаточно большим положительным числом.
Множество всех точек x, для которых
x ∆, очевидно является симметричной окрестностью символа .
Слайд 17Односторонние пределы
Любой интервал (, а), правым концом которого
является точка а, называется левой окрестностью точки а.
Аналогично
любой интервал(a, ), левым концом которого является точка а, называется ее правой окрестностью.
Слайд 18Односторонние пределы
Символически запись
означает, что х стремится к а справа,
оставаясь большим а, то есть при х > а;запись
означает, что х стремится к а слева, то есть при х < а.
Слайд 19Односторонние пределы
левосторонним пределом
функции (при слева),
- это
правосторонний предел функции.
Слайд 20Односторонние пределы
Теорема о существовании предела
Функция у =
f(х) имеет
в том и
только том случае, когда существуют и равны друг другу ее левосторонний и правосторонний пределы при . Tогда = =
=
Слайд 22 Функция (x) называется бесконечно малой при ха, если
Ясно, что тогда (x) для всех x O(а, δ) и > 0.
Например, функция является бесконечно малой при x0.
Слайд 23 Функция f(х) называется бесконечно большой при
если
.Это равносильно тому, что каким бы ни было число М > 0, найдется такая окрестность О (а, δ), что для всех
x O (а, δ) M.
Например, бесконечно большая при x0 .
Слайд 24 Лемма.
Если f(х)→ при х→а,
→0 при ха.
Если
(x) 0 при x a, то при x a и (x) 0.
Слайд 25 Свойства бесконечно малых.
Теорема
1.
Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых при
x а функций есть функция бесконечно малая при x а.
Слайд 26 Теорема 2.
Произведение
конечного числа бесконечно малых при x a функций есть
бесконечно малая при x a функция.
Слайд 27 Теорема 3.
Произведение бесконечно малой при xa функции
на функцию, ограниченную при
x a, есть бесконечно малая
при x a.
Слайд 28 Следствие.
Целая положительная
степень бесконечно
малой при x a функции (x) есть бесконечно малая при x a.
Слайд 29
Если
, то в силу
определения
предела функцииполучаем: f(x)-A< при
x O(а,δ), что означает, что f(x) – A является бесконечно малой при
x a.
Слайд 30 Тогда, полагая f(x)-A=(x), получим: f(x) = A
+ (x), где
(x) 0 при x
a.Таким образом, имеем:
<=> f(x) = А+ (x),
где (x)→ 0 при x a.
Слайд 32 Теорема.
Если функция f(х) = с постоянна
в некоторой окрестности точки а, то
Теорема.
Если f(х) имеет предел при х→а, то этот предел единствен.
Слайд 33 Функция f(х) называется ограниченной на данном множестве Х,
если существует такое положительное число М, что |f(х)| М
при всех х Х.Если такое число М не существует, то функция f(х) называется неограниченной
Слайд 34 Лемма. Если функция f(х) имеет предел А при
х→а, то она ограничена в некоторой окрестности точки х =
а.Теорема. Пусть существует
и пусть М < f(x) < N в
некоторой окрестности точки x = a. Тогда М А N.
Положительная функция не может иметь отрицательного предела.
Слайд 35 Теорема 1.
Если в точке а существуют пределы
функций f(x) и g(x), то в этой точке существует и
предел суммы f(x)g(x),причём.
Слайд 36 Теорема 2.
Если в точке а существуют
пределы функций f (x) и g (x), то существует и
предел произведения f(x)g(х), причем
Слайд 38Теорема 3. Если в точке а существуют пределы функций f(х)
и g (x) и при этом
, тосуществует и предел частного , причем
.
.
Слайд 40Пример
Найти
Преобразуем данную функцию так, чтобы выделить в
числителе и знаменателе множитель , на
который и разделим далее числитель и знаменатель:
Слайд 44 Теорема (о промежуточной функции).
Пусть в
некоторой окрестности О (а) точки а функция f(x) заключена между
двумя функциями и , имеющими одинаковый предел А при x a, то естьи
Тогда функция f(x) имеет тот же предел:
Слайд 45Первый замечательный предел
Теорема. Предел отношения синуса бесконечно малой
дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице, то
есть.
Этот предел называют первым замечательным пределом.
Слайд 46Первый замечательный предел
Это объясняется тем, что бесконечно малая
дуга почти не успевает изменить свое направление, т.е. искривиться.
x
x
y
А
В
Слайд 50 Сравнение бесконечно малых
Две бесконечно малые
при х→а функции (х) и (х) называются бесконечно малыми
одинаковогопорядка, если k, где k 0 и конечно.
При этом пишут: (х) =О((х))
Слайд 51 Две бесконечно малые при х→а функции (х) и
(х) называются эквивалентными при х→а, если
.Это записывают так: (x) (x) при x→a.
Слайд 52 Бесконечно малая при х→а функция (х) называется функцией
более высокого порядка по сравнению с функцией (х) при х→а,
если.
В этом случае пишут (х) = о ((х)) при x→a.
Слайд 53 Приведем некоторые замечательные примеры в дополнение к первому
и второму замечательным пределам.
