Слайд 1Математический анализ
Кабанов Александр Николаевич
к.ф.-м.н., доцент кафедры кибернетики
Слайд 2Предел последовательности
Число A называется пределом последовательности {xn}, если ε
> 0 N ℕ: n > N
|xn – A| < ε.
По другому: число A называется пределом последовательности {xn}, если окрестности V(A) N ℕ: n > N xn V(A).
Обозначение:
При этом говорят, что последовательность xn сходится к A или стремится к A.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Не имеющая – расходящейся.
Слайд 3Ограниченная последовательность
Последовательность {xn} называется ограниченной сверху, если такое число
M, что xn < M n ℕ.
Последовательность {xn}
называется ограниченной снизу, если такое число M, что xn > M n ℕ.
Последовательность {xn} называется ограниченной, если такое число M, что |xn| < M n ℕ.
Слайд 4Свойства предела последовательности
Теорема:
Любая окрестность предела последовательности содержит все члены последовательности,
за исключением конечного их числа.
Последовательность не может иметь двух различных
пределов.
Сходящаяся последовательность ограничена.
Слайд 5Предел и арифметические операции
Пусть {xn} и {yn} – числовые последовательности.
Их суммой называется последовательность {xn + yn}.
Их произведением называется последовательность
{xnyn}.
Если yn 0 n ℕ, то их частным называется последовательность {xn / yn}.
Слайд 6Предел и арифметические операции
Теорема: Пусть {xn} и {yn} – числовые
последовательности. Если
и , то:
если yn 0 n ℕ и B 0.
Слайд 7Предел и неравенства
Теорема: Пусть {xn} и {yn} – числовые последовательности,
, .
Если A < B, то такой номер N ℕ, что n > N xn < yn.
Лемма «о двух милиционерах»: Пусть {xn}, {yn} и {zn} – числовые последовательности, и такой номер N ℕ, что n > N xn ≤ yn ≤ zn. Если при этом
то
Слайд 8Предел и неравенства
Теорема: Пусть {xn} и {yn} – числовые последовательности,
, .
Если такой номер N ℕ, что n > N:
xn ≤ yn, то A ≤ B;
xn < yn, то A ≤ B;
xn ≥ yn, то A ≥ B;
xn > yn, то A ≥ B;
xn ≥ B, то A ≥ B;
xn > B, то A ≥ B.
Слайд 9Критерий Коши
Теорема: Числовая последовательность {xn} сходится тогда и только тогда,
когда ε > 0 номер N ℕ:
m, n > N |xm – xn| < ε.
Последовательность с таким свойством называется фундаментальной или последовательностью Коши.
Слайд 10Монотонная последовательность
Последовательность {xn} называется возрастающей, если n ℕ
xn+1 > xn.
Последовательность {xn} называется убывающей, если n
ℕ xn+1 < xn.
Последовательность {xn} называется невозрастающей, если n ℕ xn+1 ≤ xn.
Последовательность {xn} называется неубывающей, если n ℕ xn+1 ≥ xn.
Последовательности таких типов называются монотонными.
Слайд 11Предел монотонной последовательности
Теорема Вейерштрасса: Монотонная последовательность сходится тогда и только
тогда, когда она ограничена.
Замечание: Для сходимости неубывающей последовательности необходимо и
достаточно, чтобы последовательность была ограничена сверху.
Замечание: Для сходимости невозрастающей последовательности необходимо и достаточно, чтобы последовательность была ограничена снизу.
Слайд 12Предел функции
Пусть f: X ℝ. Число A называется пределом
функции f(x) при x, стремящимся к a, если ε
> 0 δ > 0: x X: |x – a| < δ |f(x) – A| < ε.
По другому: число A называется пределом функции f(x) при x, стремящимся к a, если окрестности V(A) проколотая окрестность Ů(a): x Ů(a) f(x) V(A).
Обозначение:
Слайд 13Предел функции
Утверждение: Функция f(x) имеет предел A при x, стремящимся
к a последовательности {xn}, сходящейся к a, последовательность
{f(xn)} сходится к A.
Функция называется финально постоянной при x a, если она принимает одно и то же значение x Ů(a).
Слайд 14Ограниченная функция
Функция f: X ℝ называется ограниченной сверху, если
такое число M, что f(x) < M x
X.
Функция f: X ℝ называется ограниченной снизу, если такое число M, что f(x) > M x X.
Функция f: X ℝ называется ограниченной сверху, если такое число M, что |f(x)| < M x X.
В случае, если эти условия выполняются x Ů(a), говорят, что функция f(x) финально ограничена сверху, финально ограничена снизу или финально ограничена соответственно при x a.
Слайд 15Свойства предела функции
Теорема:
Если функция f(x) финально постоянна при x
a, то у функции f(x) есть предел при x
a.
Функция f(x) не может иметь двух различных пределов при x a.
Если функция f(x) имеет предел при x a, то f(x) финально ограничена при x a.
Слайд 16Предел и арифметические операции
Теорема: Пусть f: X ℝ и
g: X ℝ.
Если
и , то:
если g(x) 0 x X и B 0.
Слайд 17Бесконечно малые
Если функция имеет предел, равный нулю, при x
a, то говорят, что эта функция – бесконечно малое при
x a.
Утверждение: Пусть α: X ℝ и β: X ℝ – бесконечно малые функции при x a. Тогда
1. α + β – бесконечно малая функция при x a.
2. αβ – бесконечно малая функция при x a.
Утверждение: Пусть α: X ℝ – бесконечно малая функция при x a, β: X ℝ – финально ограниченная функция при x a. Тогда αβ – бесконечно малая функция при x a.
Слайд 18Предел и неравенства
Теорема: Пусть f: X ℝ и g:
X ℝ.
, .
Если A < B, то такая проколотая окрестность Ů(a), что x Ů(a) f(x) < g(x).
Лемма «о двух милиционерах»: Пусть f: X ℝ, g: X ℝ и h: X ℝ, и x X f(x) ≤ g(x) ≤ h(x). Если при этом
то
Слайд 19Предел и неравенства
Теорема: Пусть f: X ℝ и g:
X ℝ.
, .
Если В некоторойй проколотой окрестности :
f(x) ≤ g(x), то A ≤ B;
f(x) < g(x), то A ≤ B;
f(x) ≥ g(x), то A ≥ B;
f(x) > g(x), то A ≥ B;
f(x) ≥ B, то A ≥ B;
f(x) > B, то A ≥ B.
Слайд 20Предел композиции
Теорема: Пусть f: X Y, g: Y
Z, a X,
и Тогда предел функции h(x) = g◦f:
Слайд 21Критерий Коши предела функции
Теорема: Пусть f: X ℝ. Функция
f(x) имеет предел при x, стремящимся к a, если
ε > 0 δ > 0: x1, x2 X: |x1 – a| < δ и |x2 – a| < δ |f(x1) – f(x2)| < ε.
Другими словами:
Теорема: Пусть f: X ℝ. Функция f(x) имеет предел при x, стремящимся к a, если ε > 0 проколотая окрестность Ů(a): x1, x2 Ů(a) |f(x1) – f(x2)| < ε.
Слайд 22О-символика
Говорят, что функция f(x) бесконечно малая по сравнению с функцией
g(x) при x, стремящимся к a, если в некоторой окрестности
точки a функцию f(x) можно представить в виде f(x) = α(x) · g(x), где α(x) бесконечно малая функция при x, стремящимся к a.
При этом пишут: f(x) = o(g(x)) при x a, и читают: f(x) есть «о» малое от g(x) при x a.
Пример: x2 = o(x) при x 0, так как x2 = x · x.
Если при этом g(x) бесконечно малая, то говорят, что f(x) бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с g(x).
Слайд 23О-символика
Говорят, что функция f(x) есть «О» большое от g(x) при
x, стремящимся к a, если в некоторой окрестности точки a
функцию f(x) можно представить в виде f(x) = β(x) · g(x), где β(x) ограниченная в этой окрестности функция.
Пишут: f(x) = O(g(x)) при x a.
Пример: x2 = О(x) при x 0, так как x2 = x · x.
Слайд 24Свойства О-символики
o(f(x)) + o(f(x)) = o(f(x)).
o(f(x)) есть O(f(x)).
o(f(x)) + O(f(x))
= O(f(x)).
O(f(x)) + O(f(x)) = O(f(x)).
Если g(x) 0, то
и
Слайд 25Непрерывные функции
Функция f: X ℝ называется непрерывной в точке
a, если окрестности V(f(a)) окрестность U(a): f(U(a))
V(f(a)).
Точка a X называется предельной, если Ů(a)∩X проколотой окрестности Ů(a). В противном случае точка a называется изолированной.
Утверждение 1: Функция f(x) непрерывна в любой изолированной точке из области определения.
Утверждение 2: Функция f(x) непрерывна в предельной точке a
Слайд 26Непрерывные функции
Функция называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна
в каждой точке этого множества.
Класс всех функций, непрерывных на множестве
X, обозначается C(X).
Класс всех функций, непрерывных на интервале (a, b) обозначается C(a, b).
Класс всех функций, непрерывных на отрезке [a, b] обозначается C[a, b].
Слайд 27Точки разрыва
Если функция f(x) не является непрерывной в точке a,
то точка a называется точкой разрыва функции f(x).
Таким образом, функция
f(x) имеет разрыв в точке a, если окрестности V(f(a)): окрестности U(a) f(U(a)) V(f(a)).
Точка разрыва a называется устранимой точкой разрыва функции f(x), если существуют и равны конечные односторонние пределы этой функции
Слайд 28Точки разрыва
Точка разрыва a называется точкой разрыва первого рода функции
f(x), если существуют конечные односторонние пределы
Точка разрыва a называется
точкой разрыва второго рода функции f(x), если хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.
Слайд 29Свойства непрерывной функции
Теорема: Пусть функция f: X ℝ непрерывна
в точке a, тогда:
Функция f(x) ограничена в некоторой окрестности
точки a.
Если f(a) 0, то в некоторой окрестности точки a все значения функции положительны или отрицательны вместе с f(a).
Если функция g: X ℝ непрерывна в точке a, то функции f(x) + + g(x), f(x) · g(x) и f(x) / g(x) (при условии g(x) 0) также непрерывны в точке a.
Если f(a) = b X и функция g(x) непрерывна в точке b, то функция h(x) = g(f(x)) также непрерывна в точке a.
Слайд 30Теорема Больцано-Коши
Теорема Больцано-Коши о промежуточном значении: Если функция, непрерывная на
отрезке, принимает на его концах значения разных знаков, то на
отрезке есть точка, в которой функция обращается в ноль.
Другими словами, если функция f: [a, b] ℝ непрерывна и f(a) · f(b) < 0, то c [a, b]: f(c) = 0.
Следствие: Если функция f: [a, b] ℝ непрерывна, f(a) = A и f(b) = B, то С (A, B) c [a, b]: f(c) = C.
Слайд 31Теорема Вейерштрасса
Теорема Вейерштрасса о максимальном значении: Функция, непрерывная на отрезке,
ограничена на нем. При этом на отрезке есть точка, где
функция принимает максимальное значение, и есть точка, где функция принимает минимальное значение.
