МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Маслов Евгений Анатольевич доц., к.ф.-м.н. Кафедра

ауд 234

УСЛОВИЕ ПЕРВОГО РОДА
ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ВТОРОГО РОДА
ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ТРЕТЬЕГО РОДА
2

является дискретизация – замена непрерывной области совокупностью изолированных точек (сеткой),

причем решение уравнений ищется лишь в этих точках (узлах сетки). Производные аппроксимируются конечными разностями и решение уравнения в частных производных сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Основные особенности получающейся СЛАУ определяются типом исходного уравнения в частных производных (или системы уравнений в частных производных). Стационарные задачи обычно сводятся к системам алгебраических уравнений, которые приходится решать одновременно во всей расчетной области, учитывая заданные граничные условия.

МКР к решению уравнения в частных производных является переход от

непрерывной области к конечно-разностной сетке.
Для каждого уравнения в частных производных существует множество его конечно-разностных аналогов, из которых обычно нельзя выбрать наилучший со всех точек зрения. В первую очередь при использовании метода конечных разностей надо стремиться к правильной аппроксимации уравнений поставленной задачи, а во вторую очередь выбрать «наилучшую» схему, т. е. оптимизировать ее, учитывая ее точность, экономичность, удобство программной реализации на ЭВМ и т. д.
Для того чтобы лучше понять идею конечно-разностной аппроксимации производных, вспомним определение производной от функции например одной переменной φ(х) в произвольной точке:



Если функция φ(х) непрерывна, а Δх — достаточно мало, но конечно, то значение разности [φ(x+Δх) – φ(x)] / Δх будет близко к значению производной ∂φ / ∂x. Действительно, из теоремы о конечном приращении следует, что разностное значение производной равно производной искомой функции в некоторой точке интервала длины Δх.

4

в ряд Тейлора с остаточным членом.
5
(1)

разность (φ3–φ2)/Δх, очевидно, является конечно-разностным представлением производной (∂φ/∂x)2. Погрешностью аппроксимации

называется разность значений частной производной и ее конечно-разностного аналога. Можно характеризовать погрешность аппроксимации стандартным математическим обозначением порядка малой величины (O).

7

(4)

(5)

имеет точный математический смысл. Представление погрешности аппроксимации в виде О(Δх)

обозначает, что погрешность аппроксимации по абсолютной величине не превосходит K∙|Δх| при Δх → 0 (для достаточно малых Δх), причем К > 0 — вещественная константа. Практически порядок погрешности аппроксимации в этом случае равен Δх и является самой высокой степенью, общей для всех членов уравнения. Таким образом представление производной в следующей форме



является приближенным, погрешность приближения равна погрешности аппроксимации Δх и называется «правой» разностью.
Отметим, что представление погрешности аппроксимации в виде О(Δх) ничего не говорит о величине погрешности, а лишь указывает на характер ее стремления к нулю. Если погрешность другой конечно-разностной аппроксимации производной равна O(Δх2), то можно ожидать, что во втором случае погрешность аппроксимации будет меньше, чем в первом. Это утверждение безусловно верно для достаточно малых Δх, но какое Δх будет «достаточно малым», определить заранее сложно.

8

(6)

(7)

Построим аппроксимацию этой производной с использованием разностей назад (их называют

также «левыми» разностями) используя выражение (2), тогда



Вычитая соотношение (2) из соотношения (3), получим аппроксимацию производной центральными разностями





Складывая выражение (2) и (3), найдем конечно-разностную аппроксимацию производной второго порядка

(8)

(9)

(10)

используемые обозначения показаны на рис. 2. Пусть, например, надо найти

решение φ(х, у) уравнения в частных производных в квадратной области 0 < х < 1, 0 < y < 1 (см. рис. 2). Введем сетку, т. е. будем рассматривать не φ(х, у), a φ(i∙Δх, j∙Δу).

Положение точек (узлов сетки) внутри области (○) определяется значениями величин i, j, поэтому разностные уравнения обычно записываются для произвольного узла (i, j), причем используются значения функции и в этом и соседних узлах сетки. х – граничные узлы

сетки
Тогда

теплопередаче, содержат лишь частные производные первого и второго порядков, при

этом для аппроксимации производных стараются использовать не более трех узлов разностной сетки. Поэтому на равномерной сетке чаще всего применяют приведенные ниже конечно-разностные аппроксимации первых производных.

(11)

(12)

(13)

(14)

(или)

(или)

(или)

(или)

распределение температуры на поверхности (или границе) тела для каждого момента

времени:

Т(x, y, t)=TW,

(15)

где TW – температура на поверхности тела (на границе). Во многих практически значимых вариантах TW = const.

Рис. 4. Расположение узлов в расчетной области решения: × – узлы на границе расчетной области; ○ – узлы внутри расчетной области

Математическое представление граничного условия:
t > 0, x = 0, y = yfix: Т(x, y, t)=TW.

Аппроксимация граничного условия на расчетной сетке в узле (i = 0):
Т0,j = TW.

(16)

(17)

прогонки. Для этого запишем разностный шаблон (см. лекция 1, формула

(2) для i = 0), для простоты выкладок опустим индекс j:
a0∙T–1 + b0∙T0 + c0∙T1 = d0.
Теперь необходимо подобрать, такой набор значений коэффициентов (a0, b0, c0, d0) входящих в (18), чтобы получившееся выражение соответствовало выражению (17). Для этого необходимо решить совместно эти два равенства и найти значения коэффициентов, выпишем эту систему:





очевидно, что значение температуры T–1 – выходит за границу области решения, поэтому необходимо принять a0 = 0. Значение a0 = 0 принимается всегда, независимо от вида граничного условия. Затем коэффициент b0 = 1, c0 = 0 и d0 = TW.

(18)

(19)

решения.



очевидно, что значение температуры TN+1 – выходит за границу области

решения, поэтому необходимо принять cN = 0. Значение cN = 0 принимается всегда, независимо от вида граничного условия. Затем коэффициент aN = 0, bN = 1,и dN = TW.

2. Граничные условия второго рода – задается значение удельного теплового потока для каждой точки поверхности (или границы) тела в любой момент времени (закон Фурье):




где n – нормаль к поверхности тела, qW – удельный тепловой поток (Вт/м2). Наиболее часто используется условие qW = const.

(20)

– узлы на границе расчетной области; ○ – узлы внутри

расчетной области

Математическое представление граничного условия:

t > 0, x = 0, y = yfix:

знак «–» означает, что происходит подвод тепла в расчетную область.
Аппроксимация граничного условия на расчетной сетке в узле (i = 0) будем осуществлять левой конечной разностной схемой (11):

(21)

(22)

и разностного шаблона (18) относительно коэффициентов (a0, b0, c0, d0):





для

этого преобразуем верхнее выражение в системе (23), получим





Тогда необходимо принять следующие коэффициенты разностного шаблона:

(23)

(24)

решения.
Математическое представление граничного условия:

t > 0, x = L, y = yfix:

знак «+» означает, что

происходит отвод тепла из расчетной области.
Аппроксимация граничного условия на расчетной сетке в узле (i = N) будем осуществлять левой конечной разностной схемой (11):




или

(25)

(26)

и разностного шаблона (20) относительно коэффициентов (aN, bN, cN, dN):




Тогда

необходимо принять следующие коэффициенты разностного шаблона:



3. Граничные условия третьего рода – задается взаимосвязь между потоком тепла за счет теплопроводности от твердой стенки и тепловым потоком из окружающей среды за счет температурного напора (закон Ньютона – Рихмана) [1]:



где αe – коэффициент теплообмена (Вт/(м2·ºС)), Te – температура окружающей среды вблизи поверхности тела.

(27)

(28)

– узлы на границе расчетной области; ○ – узлы внутри

расчетной области
Левая граница Правая граница

жидкости. – М.: Энергоатомиздат, 1984. – 152 с.
Андерсон Д., Таннехилл

Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: В 2-х т., Т. 1: Пер. с англ. — М.: Мир, 1990. — 384 с., ил. ISBN 5-03-001927-8
Численные методы. Сборник задач: учеб. Пособие для вузов / В.Ю. Гидаспов, И.Э. Иванов, Д.Л. Ревизников и др.; под ред. У.Г. Пирумова. — М.: Дрофа, 2007. — 144 с.: ил. ISBN 978-5-358-01310-0

21