МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Маслов Евгений Анатольевич доц., к.ф.-м.н. Кафедра

ауд 234

МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

3. РЕШЕНИЯ СЛАУ МЕТОДОМ «ПРОГОНКИ»
МЕТОД ПРОГОНКИ
ПРИМЕР

ОТЧЕТНОСТЬ!!! – бумажный (рукописный)

отчет

2

Метод решения
5. Основные результаты и выводы
6. Листинг программы
7. Список используемой

литературы

3

ЭТО НЕ ПОНАЦЕЯ! НО…
Чаще всего, когда нет вышеперечисленных пунктов в отчете – ТОР 10 высказываний:
1. А я незнал(а), как надо…
2. А я думал(а)…
3. А вы не говорили!
4. А можно я титульный лист от руки напишу?
5. А зачем содержание? И так понятно…
6. Ой скрепить забыл(а), а можно так?
7. А можно я схожу/сбегаю распечатаю?
8. А что п. (2-7), действительно надо было?
9. А что расписываться надо?
10. А как называется лабораторная?

самых различных областях человеческой деятельности стали широко применять математические методы

и ЭВМ.

Математическая модель — это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования — исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование — это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им.

Математическое моделирование и связанный с ним компьютерный эксперимент незаменимы в тех случаях, когда натурный эксперимент невозможен или затруднен по тем или иным причинам. Например, нельзя поставить натурный эксперимент в истории, чтобы проверить, «что было бы, если бы...» Невозможно проверить правильность той или иной космологической теории. В принципе возможно, но вряд ли разумно, поставить эксперимент по распространению какой-либо болезни, например чумы, или осуществить ядерный взрыв, чтобы изучить его последствия. Однако все это вполне можно сделать на компьютере, построив предварительно математические модели изучаемых явлений.

4

деятельность по математическому моделированию. Несмотря на это, определения полезны тем,

что в них делается попытка выделить наиболее существенные черты.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Определение модели по Самарскому и Михайлову, математическая модель — это «„эквивалент“ объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства — законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям, и т. д.» Существует в триадах «модель-алгоритм-программа». «Создав триаду „модель-алгоритм-программа“, исследователь получает в руки универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который вначале отлаживается, тестируется в пробных вычислительных экспериментах. После того, как адекватность (достаточное соответствие) триады исходному объекту установлена, с моделью проводятся разнообразные и подробные „опыты“, дающие все требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта.»

5

задается некоторый «нематематический» объект — явление природы, конструкция, экономический план,

производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования.


2. Решение математической задачи, к которой приводит модель. На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время.

модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной

области.


4. Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.


5. Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.

Обещанного не каждый дождется…ПЕРЕРЫВ

7

применяется для решения СЛАУ с трехдиагональными матрицами. Такие системы часто

возникают при конечно-разностной аппроксимации задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и уравнений в частных производных второго порядка. Рассмотрим следующую СЛАУ

8

(1)

будем полагать, что
Из первой строки системы (1) определим x1

(2)

Таким образом, если построчно перебирая индексы от 1 до n используя выражение (2), с учетом (3), ПОЛУЧИМ ИСХОДНУЮ СИСТЕМУ (1) !!!

(3)

Перепишем полученное выражение, введя соответствующие обозначения

(4)

через x3 получим
10
преобразуем полученное выражение, получим
разрешим последнее выражение относительно

x2, получим

Аналогично, полученное выше выражение можно привести к виду (4)

где

(5)

x3 через x4 получим
преобразуем полученное выражение, получим
разрешим последнее выражение относительно

x3, получим

Аналогично, полученное выше выражение можно привести к виду (4) или (5)

где

(6)

степени, в какой посещение гаража делает его автомобилем.
12
Продолжая

этот процесс, получим из i-го уравнения системы (1), с помощью (2) выразим xi через xi+1

преобразуем полученное выражение и разрешим относительно xi, получим

Следовательно,

где

(7)

прогоночных коэффициентов Pi и Qi (i=1,2…n), завершен. В результате эти

коэффициенты вычисляются по следующим формулам:

(8)

(9)

(10)

соответствии с выражением (7). Операция осуществляется в обратном направлении (n…1).
(11)
Замысел

без умысла называется вымыслом.

Формулы (8) – (11) являются формулами правой прогонки. Аналогично, начиная с последнего уравнения СЛАУ (1), можно вывести формулы левой прогонки.
Общее число операций в методе прогонки равно 8n+1, т.е. пропорционально числу уравнений. Такие методы решения СЛАУ называют экономичными. Для сравнения число операций в методе Гаусса пропорционально n3.

выполнение следующих условий:
причем строгое неравенство имеет место хотя бы при

одном i. Здесь устойчивость понимается в смысле накопления погрешности решения в ходе вычислительного процесса при малых погрешностях входных данных (правых частей и элементов матрицы СЛАУ).

вузов / В.Ю. Гидаспов, И.Э. Иванов, Д.Л. Ревизников и др.;

под ред. У.Г. Пирумова. — М.: Дрофа, 2007. — 144 с.: ил. ISBN 978-5-358-01310-0

19