Математика Определители. Системы

столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа

называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются
ai j , где i- номер строки, j- номер столбца.


А=
 

Замечание. Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.
 

.

Матрицы (основные определения)

равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной порядка n.

Каждой квадратной матрице А может быть поставлено в соответствие некоторое число. Такое число называют определителем матрицы и обозначают символом IAI или
det A. При этом порядком определителя называют порядок соответствующей матрицы
Замечание
Пусть n=1. Тогда А=(a11) и IAI= a11 , т. е. определитель матрицы первого порядка равен ее единственному элементу.

2) Пусть n=2, тогда

IAI=
Примеры:




3) 4) 5)

Ответы( выбрать правильный вариант):
3) А. -5 В. 10 С. -14 4) А. -5 В. 10 С.20 5) А. 0 В. 10 С. -4

порядка



Правило вычисления определителя третьего порядка можно схематически изобразить

так, дописав два первых столбца:


.

=( 1 1 2-1 1 1+1 2 1) – ( 1 1 1 + 1 1 1 + 2 2 (-1))=
=(2 -1 +2) – (1+ 1 – 4) =3 – (-2) = 3 +2 = 5

Пример: вычислить определители:
1) 2) 3)

Ответы
1) 19
2) 19
3) 0

вычислен с помощью определителей второго порядка по теореме о разложении

определителя по первой строке:

Используем правило Саррюса, дописав в определителе два первых столбца

= (1·2·1+ 1·3·(-1)+0·1·2)– (0·2·(-1)+1·3·2+1·1·1)=-8

2 способ. Используем разложение определителя по элементам первой строки


= ( 2·1 – 3·2) -1 (1·1+3) +0= -4-4=-8

перестановки двух строк определитель меняет знак.
Общий множитель всех элементов строки

(столбца) можно выносить за знак определителя.
Определитель равен нулю, если соответствующие элементы двух строк (столбцов) пропорциональны ( в частности равны).
Определитель равен нулю, если все элементы строки (столбца) равны нулю.

n неизвестными .Числа
коэффициенты при

неизвестных; свободные члены.





Если ,то система называется однородной, в противном случае - неоднородной.
Если m=n, т.е. число уравнений равно числу неизвестных,
то система называется квадратной.

m=3 n=3 ( система квадратная) ;
а 11= 1

а 12 = 2 а 13 =0 b 1 =-1
а 21 =2 а 22 = 3 а 23 =1 b 2 =3
а 31 =3 а 32 = -1 а 33 =-2 b 3 =8

Δ

Решение системы
Определение. Совокупность n чисел называется решением системы ,

если после замены
этими числами каждое из уравнений системы превращается в верное равенство.
Покажем, что линейная система может:
1) не иметь решений,
2) иметь единственное решение,
3) иметь бесконечное множество решений.

геометрическая интерпретация

1)Система

решений не имеет,
( прямые параллельны)
2) Система имеет единственное решение
х=2 , у= -1
( прямые пересекаются)
3) Система имеет бесконечно много решений:
х=t , у=1-t, где t- любое число.
( одна и та же прямая)

имеющая ни одного решения, называется несовместной.
Система, обладающая хотя бы

одним решением, называется совместной .
Если система имеет единственное решение, то она называется совместной определенной.
Если система имеет бесчисленное множество решений, то она называется совместной неопределенной.

Метод Крамера( метод определителей). Этот метод применим только для решения

квадратных систем, у которых матрица коэффициентов при неизвестных невырождена ( ее определитель отличен от нуля).
Такие системы имеют единственное решение.
2.Метод Гаусса. Этот метод является универсальным и может быть применим к любым системам.

Пусть дана система 3-х уравнений с тремя неизвестными .

Составим из коэффициентов при неизвестных определитель третьего порядка и обозначим его символом Δ, т.е.

Δ = - главный определитель системы.

по формулам Крамера

Если главный определитель системы Δ≠0,

тогда система имеет единственное решение , которое может быть найдено по формулам Крамера:
Х1=Δ1/Δ Х2=Δ2/Δ Х3=Δ3/Δ ,
где Δi ( i=1,2,3) – определитель, полученный из главного,
заменой i столбца столбцом свободных членов, т.е.

Δ1 = Δ2 = Δ3 =

Замечание: после нахождения решения необходимо сделать проверку.

что он отличен от нуля.
2) Вычисляем Δ 1, Δ 2

, Δ 3 .
3) Вычисляем х 1, х 2 , х 3.
4) Делаем проверку.
5) Пишем ответ.
Замечание. Рассмотренный метод можно применять для решения системы двух уравнений с двумя неизвестными.
При этом в пункте 2) находят только Δ 1 и Δ 2

построить прямые ,заданные уравнениями
х-3у+2=0 и

3х+у-3=0
Решение. Для нахождения точки пересечения непараллельных прямых следует решить систему двух уравнений с двумя неизвестными х и у

формулы Крамера
х=Δ1/Δ у=Δ2/Δ, где

х = 0,7 у=0,9 . Проверим  полученный результат подстановкой в систему: 0,7-3 0,9=-2 (верно) 3 0,7+0,9=3 (верно).
Ответ:х=0,7у=0,9–координаты точки пересечения прямых.

продолжение) 1) Вычислим главный определитель системы

1 2
Δ= 2 3 = (1∙ 3 ∙ (-2) + 2 ∙ 1 ∙ 3 + 3 ∙ 2 ∙ 1) -
3 1 - ( 3 ∙ 3 ∙ 3 +1 ∙ 1 ∙ 1+2 ∙ 2 ∙ (-2)) =
= (-6+6+6) – (27+1-8)=6-20=-14 ≠0
следовательно , метод Крамера применим, т.е.
далее считаем Δ1 Δ2 Δ3

= -28, Δ2 =

=0, Δ3 = = 14

3) Подставляем в формулы Крамера Δ, Δ1 , Δ2 , Δ3
Δ = -14 Δ1 = -28 , Δ2 = 0, Δ3 = 14

х1 =(-28)/(-14), х 2 =0/(-14), х 3 =14/(-14) или
х1 =2, х 2 =0, х 3 =-1.

Δ

часть исходной системы
( х1 =2, х 2

=0, х 3 =-1) :





5) Ответ: х1 =2, х 2 =0, х 3 =-1.