Разделы презентаций

Математика ППИ

Содержание

УЧЕБНЫЕ ВОПРОСЫ1. Уравнения, допускающие понижение порядка, их интегрирование. 2. Линейные ДУ второго порядка, однородные и неоднородные.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Математика ППИ
ЛЕКЦИЯ 16. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ высших порядков

Математика ППИЛЕКЦИЯ 16. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ высших порядков

Слайд 2УЧЕБНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Уравнения, допускающие понижение порядка, их интегрирование.


2. Линейные

ДУ второго порядка, однородные и неоднородные.


УЧЕБНЫЕ ВОПРОСЫ1. Уравнения, допускающие понижение порядка, их интегрирование. 2. Линейные ДУ второго порядка, однородные и неоднородные.

Слайд 3Литература
[2] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т 2. Москва:

Интеграл-Пресс, 2005. с. 13-90;
[3] Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. Краткий курс

высшей математики. Москва: Издательство АСТ, 2004. с. 446-490
Литература[2] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т 2. Москва: Интеграл-Пресс, 2005. с. 13-90;[3] Б.П. Демидович, В.А.

Слайд 4Учебный вопрос.
Уравнения, допускающие понижение порядка.

Учебный вопрос.Уравнения, допускающие понижение порядка.

Слайд 5Уравнения, допускающие понижение порядка.

Уравнения, допускающие понижение порядка.

Слайд 6Уравнения, допускающие понижение порядка, их интегрирование.
1. Простейшим уравнением n-го порядка

является уравнение вида


Найдём общий интеграл этого уравнения.
Интегрируем по x левую и правую части и принимая во внимание, что , получим
,
где С1  постоянная интегрирования.
Уравнения, допускающие понижение порядка, их интегрирование. 1. Простейшим уравнением n-го порядка является уравнение вида

Слайд 7Далее, аналогично находим

пока не найдём у.

Пример. Найти

общий интеграл уравнения .
Решение.

Далее, аналогично находим пока не

Слайд 92. Дифференциальное уравнение второго порядка вида

,
не содержащее искомой функции у ,
с помощью подстановки

,
преобразуется в уравнение первого порядка

.
2. Дифференциальное уравнение второго порядка вида

Слайд 10Пример
Найти решение дифференциального уравнения

.
Решение.
ПримерНайти решение дифференциального уравнения

Слайд 12
3. Дифференциальное уравнение второго порядка вида

,
не содержащее независимой переменной x, с помощью подстановки


сводится к уравнению первого порядка

.
3. Дифференциальное уравнение второго порядка вида

Слайд 13Пример.
Найти решение дифференциального уравнения

Решение.

Пример.Найти решение дифференциального уравненияРешение.

Слайд 15 Интегрирование ДУ движения авиабомбы без учета сопротивления воздуха.
Найдем траекторию

движения
авиационной бомбы, брошенной
с самолета на

скорости V0,
падающей под действием
одной только силы тяжести
(сопротивлением воздуха
пренебрегаем).
Интегрирование ДУ движения авиабомбы без учета сопротивления воздуха. Найдем траекторию движения авиационной бомбы, брошенной

Слайд 16
Положение авиабомбы после сброса в момент времени t будет

задаваться координатами x и у. Будем считать, что

Т.к.

рассматривается движение без сопротивления воздуха, при t=0 имеем x=0, y=0,

Решим дифференциальные уравнения,

поскольку , то , тогда


Положение авиабомбы после сброса в момент времени t будет задаваться координатами x и у. Будем считать,

Слайд 17

Подставим начальные условия

,

получим
и

,
Итак, .

Подставим начальные условия

Слайд 18Решаем уравнение для функции х,




Из начальных условий

получим

и ,
Итак, .
Решаем уравнение для функции х,Из начальных условий

Слайд 19Таким образом, координаты положения авиабомбы характеризуются уравнениями



Исключим параметр t:

и

.

Траектория движения авиабомбы без учета сопротивления воздуха представляет собой параболу .
Таким образом, координаты положения авиабомбы характеризуются уравнениямиИсключим параметр t: и

Слайд 20Учебный вопрос.
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ

Учебный вопрос.ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ

Слайд 21 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ
Определение. Линейное

неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами имеет

вид
где действительные числа; f(х) – непрерывная функция.
Определение. Если то уравнение

называется однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ), соответствующим данному неоднородному.
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕОпределение. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с

Слайд 22 Теорема (о структуре общего решения неоднородного уравнения).
Если известно

какое-либо частное решение yчн неоднородного уравнения, то его общее решение

равно сумме общего решения однородного уравнения yо и частного решения неоднородного yчн:


Теорема (о структуре общего решения неоднородного уравнения).Если известно какое-либо частное решение yчн неоднородного уравнения, то

Слайд 23Теорема (о структуре общего решения однородного уравнения).
Если у1(х) и

у2(х) - частные решения уравнения ЛОДУ, причем отношение



(по-другому, у1(х) и у2(х) - линейно независимые решения), то их линейная комбинация есть общее решение yо этого уравнения:
yо= у1(х) С1 + у2(х) С2.
Теорема (о структуре общего решения однородного уравнения). Если у1(х) и у2(х) - частные решения уравнения ЛОДУ, причем

Слайд 24Определение. Система { у1 (х), у2(х) }, функции которой удовлетворяют

условиям теоремы 2, называется фундаментальной системой решений (ФСР) ЛОДУ уравнения

2-го порядка.
Определение. Система { у1 (х), у2(х) }, функции которой удовлетворяют условиям теоремы 2, называется фундаментальной системой решений

Слайд 25Существуют общие методы нахождения ФСР. Один из них это метод

Эйлера. Суть его в следующем.
Решением однородного уравнения может быть

экспоненциальная функция вида так как она сохраняет свой вид при дифференциро-вании: и , где к – постоянная.
Подставив в однородное уравнение, имеем
Существуют общие методы нахождения ФСР. Один из них это метод Эйлера. Суть его в следующем. Решением однородного

Слайд 26Полученное квадратное уравнение называется характеристическим уравнением однородного уравнения. Решив характеристическое

уравнение, построим ФСР. Таким образом, найдем все частные решения уравнения

однородного уравнения.

Постановка задачи.
Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Полученное квадратное уравнение называется характеристическим уравнением однородного уравнения. Решив характеристическое уравнение, построим ФСР. Таким образом, найдем все

Слайд 271. Составим характеристическое уравнение

.
Найдем его корни k1 и k2.
2. В зависимости от значений k1 и k2 , построим ФСР и запишем общее решение однородного уравнения. При этом выделяют три случая:
1) Если корни k1 и k2 характеристического уравнения действительные и , тогда ФСР имеет вид { } и общее решение запишется так


1. Составим характеристическое уравнение

Слайд 282. Если корни k1 и k2 характеристического уравнения действительные

и , тогда

ФСР имеет вид и общее решение запишется так .
3. Если характеристическое уравнение имеет комплексно – сопряженные корни:

тогда ФСР имеет вид и общее решение запишется так

2. Если корни k1 и k2 характеристического уравнения действительные и

Слайд 29Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение.
1.

Составим характеристическое уравнение

Решим полученное квадратное уравнение:

2. Так

как и - комплексно – сопряженные корни, тогда
ФСР имеет вид и общее решение
запишется так

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения Решение. 1. Составим характеристическое уравнение Решим полученное квадратное уравнение: 2.

Слайд 30Задание на самостоятельную работу
[2] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления.

Т 2. Москва: Интеграл-Пресс, 2005. с. 13-90;
[3] Б.П. Демидович, В.А.

Кудрявцев. Краткий курс высшей математики. Москва: Издательство АСТ, 2004. с. 446-490
Задание на самостоятельную работу[2] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т 2. Москва: Интеграл-Пресс, 2005. с. 13-90;[3]

Слайд 31Я́коб Берну́лли  (27.12.1654-16.08.1705), Базель, Швейцария.
Якобу Бернулли принадлежат
значительные достижения
в теории рядов,

дифференциальном исчислении,
теории вероятностей и теории чисел, где его
именем

названы «числа Бернулли».
Я́коб Берну́лли  (27.12.1654-16.08.1705), Базель, Швейцария. Якобу Бернулли принадлежат значительные достижения в теории рядов, дифференциальном исчислении, теории вероятностей и теории чисел,

Слайд 32 учебный вопрос
Рассмотрим случай, когда в уравнении
функции p(x) и g(x)

– постоянные величины.

учебный вопросРассмотрим случай, когда в уравнениифункции p(x) и g(x) – постоянные величины.

Слайд 33Уравнение вида
называется линейным ДУ с
постоянными коэффициентами
1

Уравнение виданазывается линейным ДУ с постоянными коэффициентами1

Слайд 34Где у – искомая функция, p, g – постоянные величины.
Если

f(х)=0, то уравнение называется
линейным однородным.
Если f (х) не равно 0,

то уравнение
называется линейным неоднородным.
Где у – искомая функция, p, g – постоянные величины.Если f(х)=0, то уравнение называетсялинейным однородным.Если f (х)

Слайд 35Рассмотрим сначала однородное уравнение:
Будем искать решение этого уравнения в виде
Где

k - некоторое число.
Находим производные и подставляем в исходное уравнение:
2

Рассмотрим сначала однородное уравнение:Будем искать решение этого уравнения в видеГде k - некоторое число.Находим производные и подставляем

Слайд 36Это уравнение называется характеристическим уравнением для уравнения (1).

Это уравнение называется характеристическим уравнением для уравнения (1).

Слайд 37ПРИМЕРЫ.
Решить дифференциальное уравнение:
1

ПРИМЕРЫ.Решить дифференциальное уравнение:1

Слайд 38Решение:
Корни вещественные и разные, поэтому общее решение будет иметь вид:

Решение:Корни вещественные и разные, поэтому общее решение будет иметь вид:

Слайд 39Решить дифференциальное уравнение:
2

Решить дифференциальное уравнение:2

Слайд 40Решение:
Корни вещественные и одинаковые, поэтому общее решение будет иметь вид:

Решение:Корни вещественные и одинаковые, поэтому общее решение будет иметь вид:

Слайд 41Решить дифференциальное уравнение:
3

Решить дифференциальное уравнение:3

Слайд 42Решение:
Корни комплексные, поэтому общее решение будет иметь вид:

Решение:Корни комплексные, поэтому общее решение будет иметь вид:

Слайд 43Теперь рассмотрим решение неоднородного ЛДУ с постоянными коэффициентами (1).
Общее решение

неоднородного ЛДУ
с постоянными коэффициентами
находится как сумма общего решения
однородного уравнения и

какого-либо
частного решения неоднородного
уравнения.
Теперь рассмотрим решение неоднородного ЛДУ с постоянными коэффициентами (1).Общее решение неоднородного ЛДУс постоянными коэффициентаминаходится как сумма общего

Слайд 441
Пусть правая часть уравнения (1) имеет вид:
где Р(х) – многочлен.


Тогда частное решение неоднородного уравнения (1) будет иметь вид:

1Пусть правая часть уравнения (1) имеет вид:где Р(х) – многочлен. Тогда частное решение неоднородного уравнения (1) будет

Слайд 45где Q(х) – многочлен той же степени, что и Р(х).


Причем, если m не является корнем характеристического уравнения, то
r=0,


а если является, то r – кратность этого корня.
где Q(х) – многочлен той же степени, что и Р(х). Причем, если m не является корнем характеристического

Слайд 46ПРИМЕР.
Решить дифференциальное уравнение:

ПРИМЕР.Решить дифференциальное уравнение:

Слайд 47Решение:
Корни вещественные и одинаковые, поэтому общее решение однородного уравнения будет

иметь вид:
Сначала решаем однородное уравнение:

Решение:Корни вещественные и одинаковые, поэтому общее решение однородного уравнения будет иметь вид:Сначала решаем однородное уравнение:

Слайд 48Теперь решаем неоднородное уравнение. Правая часть представляет собой рассмотренный случай:
m

– не является корнем характеристического уравнения, следовательно r=0. Поэтому частное

решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
Теперь решаем неоднородное уравнение. Правая часть представляет собой рассмотренный случай:m – не является корнем характеристического уравнения, следовательно

Слайд 49Находим производные и подставляем в исходное уравнение:
Частное решение неоднородного уравнения

имеет вид:

Находим производные и подставляем в исходное уравнение:Частное решение неоднородного уравнения имеет вид:

Слайд 50Общее решение неоднородного уравнения запишем как сумму общего решения однородного

уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

Общее решение неоднородного уравнения запишем как сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

Слайд 512
Пусть правая часть уравнения (1) имеет вид:

2Пусть правая часть уравнения (1) имеет вид:

Слайд 52Если числа
не являются корнями характеристического уравнения, то частное решение неоднородного

уравнения (9) будет иметь вид:
Если числа
являются корнями характеристического уравнения, то

частное решение будет иметь вид:
Если числане являются корнями характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения (9) будет иметь вид:Если числаявляются корнями

Слайд 53ПРИМЕР.
Решить дифференциальное уравнение:

ПРИМЕР.Решить дифференциальное уравнение:

Слайд 54Решение:
Сначала решаем однородное уравнение:

Решение:Сначала решаем однородное уравнение:

Слайд 55Корни комплексные, поэтому общее решение будет иметь вид:
Теперь решаем неоднородное

уравнение. Правая часть представляет собой рассмотренный случай:
2i и –2i не

являются корнями характеристического уравнения, следовательно частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
Корни комплексные, поэтому общее решение будет иметь вид:Теперь решаем неоднородное уравнение. Правая часть представляет собой рассмотренный случай:2i

Слайд 56Находим производные и подставляем в исходное уравнение:

Находим производные и подставляем в исходное уравнение:

Слайд 57Частное решение неоднородного уравнения имеет вид:
Общее решение неоднородного уравнения запишем

как сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного

уравнения:
Частное решение неоднородного уравнения имеет вид:Общее решение неоднородного уравнения запишем как сумму общего решения однородного уравнения и

Слайд 583
Пусть правая часть уравнения (1) имеет вид:
где Р1(х) и Р2(х)

– многочлены.

3Пусть правая часть уравнения (1) имеет вид:где Р1(х) и Р2(х) – многочлены.

Слайд 59Если числа
не являются корнями характеристического уравнения, то частное решение неоднородного

уравнения (9) будет иметь вид:
Если числа
являются корнями характеристического уравнения, то

частное решение будет иметь вид:
Если числане являются корнями характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения (9) будет иметь вид:Если числаявляются корнями

Слайд 60где R1(х) и R2(х) – многочлены той же степени, что

и многочлены Р1(х) и Р2(х) .

где R1(х) и R2(х) – многочлены той же степени, что и многочлены Р1(х) и Р2(х) .

Слайд 61 учебный вопрос.
Решить дифференциальное уравнение:

учебный вопрос.Решить дифференциальное уравнение:

Слайд 62Решение:
Сначала находим общее решение однородного уравнения:

Решение:Сначала находим общее решение однородного уравнения:

Слайд 63Корни вещественные и разные, поэтому общее решение будет иметь вид:
Теперь

находим частное решение неоднородного уравнения методом вариации постоянных в виде:

Корни вещественные и разные, поэтому общее решение будет иметь вид:Теперь находим частное решение неоднородного уравнения методом вариации

Слайд 64Пусть
Тогда
Подставляем в уравнение:

Пусть Тогда Подставляем в уравнение:

Слайд 65Получаем:

Получаем:

Слайд 66Вычитаем из второго уравнения первое:
Теперь подставляем в первое уравнение:

Вычитаем из второго уравнения первое:Теперь подставляем в первое уравнение:

Слайд 67Интегрируем эти выражения:
Частное решение неоднородного уравнения имеет вид:
Общее решение будет:

Интегрируем эти выражения:Частное решение неоднородного уравнения имеет вид:Общее решение будет:

Похожие презентации

Как добиваться того, чего не могут другие? Как добиваться того, чего не могут другие? 389
Свойства корня n -ой степени Свойства корня n -ой степени 266
Spanish by Niki Spanish by Niki 228
Малокомплектная школа и ее характерные черты Малокомплектная школа и ее характерные черты 302
управление карьерой управление карьерой 232
Местная религиозная организация христиан веры евангельской (пятидесятников) Местная религиозная организация христиан веры евангельской (пятидесятников) 187
Аудит информационной безопасности Аудит информационной безопасности 478
Портфолио президента ученического с амоуправления Пламя Портфолио президента ученического с амоуправления Пламя 223
Связь между напряжением и напряжённостью Н ам необыкновенно повезло, что мы Связь между напряжением и напряжённостью Н ам необыкновенно повезло, что мы 282
ВИЧ - инфекция Лекция для студентов лечебного факультета. Кафедра ВИЧ - инфекция Лекция для студентов лечебного факультета. Кафедра 403
Священные сооружения. Христианские храмы. Успенский храм в пос. Таксимо. Священные сооружения. Христианские храмы. Успенский храм в пос. Таксимо. 516
Transcranial Functional Ultrasound Imaging in Freely Moving Awake Mice and Transcranial Functional Ultrasound Imaging in Freely Moving Awake Mice and 229
Родительское собрание «Школьные конфликты» Родительское собрание «Школьные конфликты» 605
Валы и оси. Валы служат для поддержания вращающихся деталей (зубчатые колеса, Валы и оси. Валы служат для поддержания вращающихся деталей (зубчатые колеса, 187
Торговая политика Торговая политика 317
Оказание правовой помощи по уголовным делам Оказание правовой помощи по уголовным делам 376
Сенсорные функции челюстно-лицевой области Сенсорные функции челюстно-лицевой области 874
Инвестиционный менеджмент Инвестиционный менеджмент 172
Институт пищевых технологий и дизайна филиал Государственного бюджетного Институт пищевых технологий и дизайна филиал Государственного бюджетного 190
Патология иммунитета. Аллергия Патология иммунитета. Аллергия 489

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.

Для правообладателей

Яндекс.Метрика