Математика в современном мире

Российской Федерации

общность понятий математики позволяют один и тот же математический аппарат применять в различных науках.

(6 в. до н.э. – 17 в.)
Математика переменных величин (17

в. – первая треть 19 в.)
Современная математика (первая треть 19 в. – настоящее время)

она сделала первый и самый значительный для человечества шаг и

возникла та основа, на которой она зиждется – логическое доказательство, то увидим, что произошло это на материале, который просто исключал возможность практических приложений.

здравомыслящего человека – вроде того, что диаметр делит круг на

две равные части. Гениальность нужна была не для того, чтобы увериться в справедливости этих положений, а для того, чтобы понять, что они нуждаются в доказательстве.

физико-математических наук, профессор, академик РАН (1991, член-корреспондент АН СССР с 1958). Основные труды

посвящены алгебре, теории чисел и алгебраической геометрии. Лауреат Ленинской премии. Известен также как диссидент, публицист, общественный деятель.

древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические

сведения об Евклиде крайне скудны. Достоверным можно считать лишь то, что его научная деятельность протекала в Александрии в III в. до н. э.

малых (математический анализ) (И.Ньютон, Г.Лейбниц).

раз надо метать две кости, чтобы надеяться получить наибольшее число

очков, то есть двенадцать. Вторая задача много сложнее. Страстный игрок, де Мере чрезвычайно интересовался следующим вопросом: каким образом разделить ставку между игроками в случае, если игра не была окончена?

один из основателей математического анализа, теории вероятностей и проективной геометрии, создатель первых образцов счётной

техники, автор основного закона гидростатики.

и что выигрыш считается окончательным после выигрыша одним из них

трех партий. Пусть ставка каждого игрока составляет 32 луидора, и предположим, что первый уже выиграл две партии (ему не хватает одной), второй выиграл одну (ему не хватает двух). Им предстоит сыграть еще партию. Если ее выиграет первый, он получит всю сумму, то есть 64 луидора; если второй, у каждого будет по две выигранные партии, шансы обеих будут равны, и в случае прекращения игры каждому, очевидно, надо дать поровну.Итак, если выиграет первый, он получит 64 луидора. Если выиграет второй, то первый получит лишь 32 луидора. Поэтому, если оба согласны не играть предстоящей партии, то первый вправе сказать:— Тридцать два луидора я получу во всяком случае, даже если я проиграю предстоящую партию, которую мы согласились признать последней. Стало быть, 32 луидора мои. Что касается остальных 32, может быть, их выиграю, я, может быть, вы. Поэтому разделим сомнительную сумму пополам!Значит, если игроки разойдутся, не сыграв последней партии, то первому надо дать 48 луидоров, или же три четверти всей суммы, второму 16 луидоров, или одну четверть, из чего видно, что шансы первого из них на выигрыш втрое больше, чем второго (а не вдвое, как можно было бы подумать при поверхностном рассуждении).

мостах (лат. Problema Regiomontanum de septem pontibus, нем. Königsberger Brückenproblem) — старинная математическая задача, в

которой спрашивалось, как можно пройти по всем семи мостам Кёнигсберга, не проходя ни по одному из них дважды. Впервые была решена в 1736 году математиком Леонардом Эйлером, доказавшим, что это невозможно, и изобретшим таким образом эйлеровы циклы.

Эмми Нетер).
Теория множеств (Георг Кантор).

создателей неевклидовой геометрии, деятель университетского образования и народного просвещения. Известный английский математик Уильям

Клиффорд назвал Лобачевского «Коперником геометрии».

и только одну прямую, параллельную данной.

проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой

в одной плоскости и не пересекающие её.

алгебры. Радикальный революционер-республиканец, был застрелен на дуэли в возрасте двадцати

лет.

с открытием бесконечно малых величин
Третий – с созданием теории множеств

исследований. При этом решение практических задач математическими методами последовательно осуществляется

по следующему алгоритму:
• математическая формулировка задачи (разработки математической модели);
• выбор метода проведения исследования полученной математической модели;
• анализ полученного математического результата.

функций, систем уравнений и т. п. Описание объекта (явления) может

быть представлено с помощью непрерывной или дискретной, детерминированной или стохастической и другими математическими формами.
Математическая модель представляет собой систему математических соотношений (формул, функций, уравнений, систем уравнений), описывающих те или иные стороны изучаемого объекта, явления, процесса или объект (процесс) в целом.

и планирования производства», в которой сформулировал новый класс экстремальных задач

с ограничениями и разработал эффективный метод их решения, таким образом были заложены основы линейного программирования (Нобелевская премия 1975 года по экономике).

и В. Агенты по продаже считают, что в неделю на

рынке может быть реализовано до 550 полок. Для каждой полки типа А требуется 2 м2 материала, а для полки типа В – 3 м2 материала. Компания может получить до 1200 м2 материала в неделю. Для изготовления одной полки типа А требуется 12 мин машинного времени, а для изготовления одной полки типа В – 30 мин; машину можно использовать 160 час в неделю. Если прибыль от продажи полок типа А составляет 3 денежных единицы, а от полок типа В – 4 денежных единицы, то сколько полок каждого типа следует выпускать в неделю, чтобы получить максимальную прибыль?

Математическая модель

A и 100 полок вида В, при этом прибыль составит

1750 ден. ед., а останется неиспользованными 1200 минут машинного времени.

как Фибоначчи, в его труде «Liber Abaci» (1202). Он рассматривает развитие

идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, предполагая, что: изначально есть новорожденная пара кроликов (самец и самка); со второго месяца после своего рождения кролики начинают спариваться и каждый месяц производить новую пару кроликов; кролики никогда не умирают. Сколько пар кроликов будет через год?
В начале первого месяца есть только одна новорожденная пара (1).
В конце первого месяца по-прежнему только одна пара кроликов, но уже спарившаяся (1)
В конце второго месяца первая пара рождает новую пару и опять спаривается (2)
В конце третьего месяца первая пара рождает ещё одну новую пару и спаривается, вторая пара только спаривается (3)
В конце четвёртого месяца первая пара рождает ещё одну новую пару и спаривается, вторая пара рождает новую пару и спаривается, третья пара только спаривается (5)
В конце  n-го месяца количество пар кроликов будет равно количеству пар в предыдущем месяце плюс количество новорожденных пар, которых будет столько же, сколько пар было два месяца назад. Таким образом: 

Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие ей и

не принадлежащие ей.
1.2 Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.
1.3 Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости и точки, не принадлежащие ей.
2. Аксиомы расположения
2.1 Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
2.2 Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
2.3 Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость и притом только одну.
2.4 Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он

разбивается любой его точкой.
3.2 Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 градусам. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
4. Аксиомы откладывания.
4.1 На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины и притом только один.
4.2 От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол, с заданной градусной мерой, меньшей   и притом только один.
4.3 Каков бы ни был треугольник, существует треугольник, равный ему, в заданном расположении относительно данной полупрямой.
5. Аксиома параллельности.
5.1 Через точку, не лежащую на данной прямой можно провести не более одной прямой, параллельной данной.