Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Матрицы и определители
Содержание
- 1. Матрицы и определители
- 2. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИМатрицей размера m
- 3. Обозначение:гдеi=1,2…mj=1,2…n- матрица размерности m x n- элемент матрицы i –ой строки и j -го столбца,
- 4. матрица размерности m x n
- 5. Две матрицы называются равными, если у них
- 6. Пример:- квадратная матрица размерности 3х3
- 7. Элементы матрицы aij , у которых номер
- 8. единичная матрица
- 9. Матрица любого размера называется нулевой, если все ее элементы равны 0.нулевая матрица
- 10. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой иливектором-строкой.матрица-строка
- 11. Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом иливектором-столбцом.матрица-столбец
- 12. Распределение ресурсов по отраслям экономики:С помощью матриц удобно описывать различного рода зависимости.Например:
- 13. Эту зависимость можно представить в виде матрицы:Где
- 14. ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ1. Умножение матрицы на числоЧтобы
- 15. Пусть дана матрица Умножаем ее на число λ:Где каждый элемент матрицы В:Где:
- 16. Например:Умножая матрицу на число 2, получим:
- 17. 2. Сложение матрицСкладываются матрицы одинаковой размерности. Получается
- 18. Пусть даны матрицы Складываем их:Где каждый элемент матрицы С:Аналогично проводится вычитание матриц.
- 19. Пример.Найти сумму и разность матриц:
- 20. Решение:
- 21. 3. Умножение матрицУмножение матриц возможно, если число
- 22. Пусть даны матрицы Умножаем их:Где каждый элемент матрицы С:
- 23. Пример.Найти произведение матриц:
- 24. Число столбцов первой матрицы равно числу строк второй, следовательно их произведение существует:Решение:
- 25. Теперь перемножим матрицы в обратном порядке:Умножение матриц в общем случае некоммутативно:
- 26. Перечисленные операции над матрицами обладают следующими свойствами:А+В=В+А(А+В)+С=А+(В+С)12
- 27. λ(А+В)= λА+λВА(В+С)=АВ+АСА(ВС)=(АВ)С345
- 28. 4. Транспонирование матрицМатрица АТ называется транспонированной к
- 29. (АТ)Т=А(А+В)Т=АТ+ВТсвойства операции траспонирования:12
- 30. (λА)Т= λАТ(АВ)Т=ВТАТ34
- 31. Пример.Транспонировать матрицу:
- 32. Решение:
- 33. Определители. Свойства определителей.
- 34. Определителем (детерминантом) матрицы n-го порядка называется число:
- 35. Слайд 35
- 36. Слайд 36
- 37. Правило Сарруса:
- 38. Правило треугольника: « + » « - »
- 39. Примеры:
- 40. Примеры:
- 41. Примеры:
- 42. Свойства определителей.1. Определитель не изменится, если его транспонировать:
- 43. 2. При перестановке двух строк или столбцов определитель изменит свой знак на противоположный.
- 44. 3. Общий множитель всех элементов строки или столбца можно вынести за знак определителя.
- 45. Слайд 45
- 46. 4. Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен нулю.
- 47. 5. Если все элементы двух строк (или столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
- 48. 6. Если каждый элемент какого-либо ряда определителя
- 49. Слайд 49
- 50. Слайд 50
- 51. 7. Если к какой-либо строке (или столбцу)
- 52. ×2+
- 53. 8. Треугольный определитель равен произведению элементов главной диагонали.
- 54. Привести определитель к треугольному виду и вычислить его:×(-2)×(-5)=+
- 55. Разложение определителя по элементам строки или столбца.Минором
- 56. Слайд 56
- 57. Для данного определителя найти миноры: М22, М31,М43
- 58. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij det
- 59. Слайд 59
- 60. Сумма произведений элементов любой строки (или столбца) определителя на их алгебраические дополнения равна этому определителю.
- 61. разложение по i-ой строке: разложение по j-му столбцу:
- 62. Разложить данный определитель по элементам: 1) 3-ей строки; 2) 1-го столбца.
- 63. 1) Разложим данный определитель по элементам 3-ей строки:
- 64. Слайд 64
- 65. 2) Разложим данный определитель по элементам 1-го столбца:
- 66. Слайд 66
- 67. Основные методы вычисления определителя.1. разложение определителя по
- 68. Метод эффективного понижения порядка: Вычисление определителя n-го
- 69. ×(-3)×(-1)
- 70. Слайд 70
- 71. Вычислить определитель приведением его к треугольному виду. ×(-3)×(-1)
- 72. ×2+
- 73. ×(-2)
- 74. Обратная Матрица
- 75. Определение. Матрица называется о б
- 76. Определение. Матрица, составленная из алгебраических дополнений
- 77. Формула для нахождения обратной матрицы
- 78. Слайд 78
- 79. Алгоритм нахождения 1. Находим определитель матрицы А.
- 80. Пример. Найти матрицу, обратную к матрице:
- 81. Р е ш е н и е.
- 82. 2. Находим алгебраические дополнения:
- 83. Слайд 83
- 84. 3. Составляем союзную матрицу:
- 85. 4. Записываем обратную матрицу по формуле
- 86. 5. Проверка Воспользуемся определением обратной матрицы и найдем произведение
- 87. Задача. Найти матрицу, обратную к данной
- 88. 1. Находим определитель
- 89. 2. Алгебраические дополнения для первой строки:
- 90. Алгебраические дополнения для второй строки:
- 91. Алгебраические дополнения для третьей строки:
- 92. Обратная матрица:
- 93. Элементарные преобразования матрицперестановка строк (столбцов) местами;исключение из
- 94. Определение. Э к в и в
- 95. Скачать презентанцию
МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИМатрицей размера m x n называетсяпрямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Слайды и текст этой презентации
Слайд 2МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ
НАД НИМИ
Матрицей размера m x n называется
прямоугольная
таблица чисел,
называются элементами матрицы.
Слайд 3Обозначение:
где
i=1,2…m
j=1,2…n
- матрица размерности m x n
- элемент матрицы i –ой
строки и j -го столбца,
Слайд 5Две матрицы называются равными, если
у них одинаковая размерность и
совпадают строки и столбцы.
Если число строк матрицы равно числу ее
столбцов, то такая матрица называется
квадратной.
Слайд 7Элементы матрицы aij , у которых номер
столбца совпадает с
номером строки,
называются диагональными.
Если в квадратной матрице все
диагональные элементы
равны 1, а остальные элементы равны 0, то
она называется единичной.
Слайд 10Матрица, состоящая из одной строки,
называется матрицей-строкой или
вектором-строкой.
матрица-строка
Слайд 11Матрица, состоящая из одного столбца,
называется матрицей-столбцом или
вектором-столбцом.
матрица-столбец
Слайд 12Распределение ресурсов по отраслям экономики:
С помощью матриц удобно описывать различного
рода зависимости.
Например:
Слайд 13Эту зависимость можно представить в виде матрицы:
Где элемент aij показывает
сколько i – го ресурса потребляет j – отрасль.
Например, a32
показывает, сколько воды потребляет сельское хозяйство.
Слайд 14ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ
1. Умножение матрицы на число
Чтобы умножить матрицу на
число, надо
каждый элемент матрицы умножить на
это число.
Полученные произведения образуют итоговую
матрицу.
Слайд 172. Сложение матриц
Складываются матрицы одинаковой
размерности. Получается матрица той же
размерности, каждый элемент которой
равен сумме соответствующих
элементов исходных матриц.
Слайд 18Пусть даны матрицы
Складываем их:
Где каждый элемент матрицы С:
Аналогично проводится
вычитание матриц.
Слайд 213. Умножение матриц
Умножение матриц возможно, если число столбцов первой матрицы
равно числу строк второй.
Тогда каждый элемент полученной матрицы равен сумме
произведений элементов i – ой строки первой матрицы на соответствующие элементы j-го столбца второй.
Слайд 24Число столбцов первой матрицы равно числу строк второй, следовательно их
произведение существует:
Решение:
Слайд 25Теперь перемножим матрицы в обратном порядке:
Умножение матриц в общем случае
некоммутативно:
Слайд 26Перечисленные операции над матрицами обладают следующими свойствами:
А+В=В+А
(А+В)+С=А+(В+С)
1
2
Слайд 284. Транспонирование матриц
Матрица АТ называется
транспонированной к матрице А, если
в ней поменяли местами строки
и столбцы.
Слайд 432. При перестановке двух строк или столбцов определитель изменит свой знак
на противоположный.
Слайд 475. Если все элементы двух строк (или столбцов) определителя
пропорциональны, то определитель равен нулю.
Слайд 486. Если каждый элемент какого-либо ряда определителя представляет собой сумму
двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей, в
первом из которых соответствующий ряд состоит из первых слагаемых, а во втором- из вторых слагаемых.
Слайд 517. Если к какой-либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие
элементы другой строки (или столбца) , умноженные на одно и
то же число, то определитель не изменится.×к
Слайд 55Разложение определителя по элементам строки или столбца.
Минором Mij элемента aij
det D называется такой новый определитель, который получается из данного
вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца содержащих данный элемент.
Слайд 58 Алгебраическим дополнением Aij элемента aij det D называется минор
Mij этого элемента, взятый со знаком
т.е.
Слайд 60Сумма произведений элементов любой строки (или столбца) определителя на их
алгебраические дополнения равна этому определителю.
Слайд 67Основные методы вычисления определителя.
1. разложение определителя по элементам строки или
столбца;
2. метод эффективного понижения порядка;
3. приведение определителя к треугольному виду.
Слайд 68Метод эффективного понижения порядка:
Вычисление определителя n-го порядка сводится к
вычислению одного определителя (n-1)-го порядка, сделав в каком-либо ряду все
элементы, кроме одного, равными нулю.
Слайд 75Определение. Матрица называется о б р а т
н о й к квадратной матрице , если
Обратная
матрица обозначается символом Примечание. Операция деления для матриц не определена. Вместо этого предусмотрена операция обращения (нахождения обратной) матрицы.
Слайд 76 Определение. Матрица, составленная из алгебраических дополнений для элементов исходной матрицы
, называется с о ю з н о й
м а т р и ц е й .
Слайд 79Алгоритм нахождения
1. Находим определитель матрицы А. Он должен быть
отличен от нуля.
2. Находим алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы
А.3. Составляем союзную матрицу и транспонируем ее.
4. Подставляем результаты п.1 и п.4 в формулу обратной матрицы.
Слайд 81Р е ш е н и е. Действуем по алгоритму:
1.
Находим определитель матрицы:
Определитель отличен от нуля
, следовательно, обратная матрица существует.
Слайд 93Элементарные преобразования матриц
перестановка строк (столбцов) местами;
исключение из матрицы строк (столбцов),
состоящих из нулей;
умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на
любое число, отличное от нуля;прибавление к одной строке (столбцу) другой, предварительно умноженной на любое число, отличное от нуля.
Слайд 94Определение. Э к в и в а л е
н т н ы м и называются матрицы, полученные
одна из другой путем элементарных преобразований.Важным понятием для матриц является понятие РАНГА.
Существует несколько определений этого понятия. Мы остановимся на одном из них, основанном на элементарных преобразованиях.
Определение. Р а н г о м м а т р и ц ы называется число ненулевых строк в матрице, после приведения ее к ступенчатому виду (путем элементарных преобразований).
Обозначение. Ранг матрицы будем обозначать
или .
Теорема. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях.
