Метод наименьших квадратов (МНК)

результате опытных измерений с некоторой погрешностью ε, то точного выполнения

условий интерполяции не требуется.
В этих случаях для интерполирующей функции F(x) необходимо лишь приближенное выполнение условий интерполяции: |F(xi) – fi| < ε .
Данное условие означает, что интерполирующая функция F(x) проходит не точно через заданные точки, а в некоторой их окрестности.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ (МНК)

Существует много таких полиномов, каждый из которых определяется своим набором

коэффициентов (a1, a2, a3, a4).
Суть метода наименьших квадратов (МНК) состоит в том, что среди всех возможных полиномов этого вида выбирается тот, который имеет наименьшую сумму квадратов отклонений в узлах интерполяции от заданных значений.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ (МНК)

величину (P3(xi)–fi). Суммируя квадраты отклонений полинома по всем точкам i=1,…,N,

получим функционал квадратов отклонений:




Найдем минимум этого функционала. Для этого приравняем к нулю его частные производные по переменным a1, a2, a3, a4.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ (МНК)

системой.














Решая СЛАУ одним из известных методов, находим неизвестные коэффициенты (a1, a2, a3, a4).
ПОСТАНОВКА

ЗАДАЧИ (МНК)

степени, имеющий в узлах интерполяции минимальное отклонение от заданных значений

fi.
Полином 1-ой степени представляет собой линейную зависимость вида: P1(x)=a1+a2x.
Исходные данные


Решение



Нормальная система

МНК (пример)

систему методом обратной матрицы:
МНК (пример)

[a, b].
Исходя из геометрической интерпретации определенного интеграла, основой методов численного

интегрирования является нахождение площади криволинейной трапеции, ограниченной подынтегральной функцией f(x), осью x, прямыми x=a и x=b.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

общая формула прямоугольников, которая вычисляется с помощью приближенного равенства:

где xi,

i =0,1,…,n – заданная система точек на отрезке интегрирования [a, b]; ξi – произвольная точка элементарного промежутка [xi-1, xi].
Геометрически это означает, что площадь криволинейной трапеции заменяется на сумму площадей прямоугольников, основанием которых является i-й интервал [xi-1, xi], а высотой – значение функции f(ξi ).
Погрешность любой квадратурной формулы определяется модулем разности между значением, вычисленным по квадратурной формуле In, и точным значением интеграла I:

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

).









При равномерной сетке длина интервала:

Получим формулу:


Формула левых прямоугольников

помощью оператора интегрирования.
Используя формулу левых прямоугольников при сетке с количеством

отрезков n=10 составить П-Ф и вычислить приближенное значение интеграла. Оценить погрешность.

Формула левых прямоугольников (пример)

).









При равномерной сетке получим формулу:


Формула правых прямоугольников

на ее значение в середине интервала, т.е.








При равномерной сетке

:

Получим формулу:

Формула средних прямоугольников

зависимостью (кусочно-линейная интерполяция). В этом случае криволинейная трапеция заменяется прямоугольной

трапецией.
Площадь прямоугольной трапеции
вычисляется по формуле:




Суммируя площади всех трапеций при равномерной сетке получим формулу:

Формула трапеций

зависимостью, т.е. параболой, проходящей через три точки:

, ,

где ‒ середина отрезка.

Интерполируя на каждом отрезке подынтегральную функцию полиномом Лагранжа второй степени при равномерной сетке получим формулу:

Формула Симпсона