Методы и Системы Поддержки Принятия Решений Methods and Systems for

Support
Л-2. Принятие решений на основе безусловной и условной оптимизации функций

нескольких переменных

(или влияние) внешней среды (неопределенности). В случаях определенности альтернативы и исходы

отождествляются (исход однозначно определен выбором альтернативы). Целевая ф-я: f = f(x1,…,xn); оптимизационная задача: f→opt (max/min)

Указывается множество Х (допустимых) альтернатив; 2. Задается модель/целевая ф-я f =

f(x1,…,xn); 3. Нахождения оптимума ц.ф. на множестве (допустимых) альтернатив [Существует ли оптимум решение и как его найти…] - Если мно-во Х конечно, поиск оптимума сводится к конечному перебору.

оптимума ф-ии f(x1,…,xn) в D. Дана ф-я Def. Точка

x0 назыв т. глобального максимума (в D), если для всех выполняется нер-во

на компакте K , достигает на этом компакте своего максимума

и минимума.

максимума ф-ии (в области D), если существует окрестность т. x0 ,

U(x0 ), такая, что для всех выполняется нер-во Примеры (лок и глоб экстремумов)

дифференцируемой ф-ии f(x), тогда

. Пусть St(f)={x: f’(x)=0} – множ-во стационарных точек. Тогда: точки экстремума содержатся в множ-ве стационарных точек (обратное не верно). Пусть D=[a, b] – отрезок на прямой. f задана на прямой, тогда точки глобального экстремума содержатся в множ-ве критических точек

т. локального экстремума дифференцируемой ф-ии f(x1,…,xn), тогда

Здесь: (опрератор набла)

точке x0 множ-ва D градиент должен быть =0, иначе, сдвинувшись

по градиенту (оставаясь в окрестности x0 ) получим противоречие. Правило. Точки глобального экстремума содержатся в множестве ее критических точек: где - граница области D.

f(x,y):

(min f≤ c ≤max f) Через каждую точку плоскости М(x0,y0) (входящую в область определения фу-ии) проходит только одна линия уровня: f(x,y)= f(x0,y0) 1. Графический метод нахожд. экстремумов ф-ий на основе нахождения линий уровня. (рис с.30,31, ВР). 2. Использование градиента функции: Направление градиента совпадает с направлением наибольшей скорости роста фу-и в каждой точке. Он перпендикулярен линии уровня.

области. Задача: Пусть

, т.е., f = f(x1,…,xn). f→opt (max/min) при условии, что x=(x1,…,xn) удовлетворяют системе ограничений (предполагается, что фу-ии f и gi являются ф-ями класса C1 в области определения

виде): Правило нахождения экстремумов: Точка условного экстремума является стационарной точкой фу-ии Лагранжа,т.е.:

и геометрич. обоснование: Г - линии условий, где g(x,y)=0. Точка условного

экстр М(x,y) представляет собой такую точку линии Г, где вектор grad f(x,y) и вектор нормали к Г в этой точке grad g(x,y) – колинеарны: Разъяснение – почему (если не колинеарны, тогда возможен сдвиг под острым углом в направл градиента и получить большее значение ц.ф.)

и неравенств. (допустимые элементы принадлежат нормированному пространству D (классический вариант -

(все функции рассматриваются (достат.) гладкими)

D – выпуклое множ-во. В случае, когда все функции fi -

линейные, получаем задачу линейного программирования.

Примеры исследуемых функционалов: Тип ограничений: дифференциальные связи и граничные условия)

классического вариационного исчисления:

быстродействии (движение управляемой тележки). Масса тележки m, начальная корд x0, скорость-

v0. Внешняя сила (тяга) – u, текущая координата – x(t), задаются физические ограничения на тягу. Задача: