Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Содержание
- 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
- 2. СодержаниеПростейшие тригонометрические уравненияМетод введения новой переменнойМетод решения
- 3. Простейшие тригонометрические уравненияarcsin(-a) = -arcsina
- 4. Простейшие тригонометрические уравненияarccos(-a) = π – arccos a
- 5. Простейшие тригонометрические уравненияarctg(-a) = -arctgaarcctg(-a) =π -arcctga
- 6. Метод введения новой переменнойСхема решенияШаг 1. Привести уравнение
- 7. Метод введения новой переменнойПример 1: Решим уравнение2
- 8. Метод введения новой переменнойТаким образом: sinx=1/2
- 9. Метод введения новой переменнойПример 2: Решим уравнение6
- 10. Метод введения новой переменной6 – 6 cos2 x +
- 11. Метод введения новой переменнойВведем опять новую переменную
- 12. Метод введения новой переменнойМы видим, что в
- 13. Метод решения однородных уравнений (первой и второй
- 14. Метод решения однородных уравнений (первой и второй
- 15. Метод решения однородных уравнений (первой и второй
- 16. Метод решения однородных уравнений (первой и второй
- 17. Метод решения однородных уравнений (первой и второй
- 18. Функциональный методИспользование свойств:1.Выделение полного квадрата из квадратичного
- 19. Функциональный методПример 1. Решите уравнение cos2π x=x2−8x+17 Решение: cos2πx=x2−8x+17
- 20. Функциональный методРешая второе уравнение системы, получаем x = 4.
- 21. Методы использования различных тригонометрических формулСхема решенияШаг 1. Используя
- 22. Методы использования различных тригонометрических формулПример.sin x +
- 23. Методы использования различных тригонометрических формулИз первого уравнения
- 24. Урок одной задачиРешим уравнение: sinx + cosx
- 25. 1 способ: С помощью формул приведения. Представим
- 26. 2 способ: (с помощью вспомогательного аргумента)
- 27. 3 способ: приведение уравнения к однородномуsin x+cos
- 28. 3 способ: приведение уравнения к однородномуsin x/2
- 29. 4 cпособ: Возведение обеих частей уравнения в
- 30. 5 способ: универсальная подстановкаИспользуемые формулы:sin x
- 31. 5 способ: универсальная подстановкаС учетом приведенных
- 32. СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ !
- 33. Скачать презентанцию
СодержаниеПростейшие тригонометрические уравненияМетод введения новой переменнойМетод решения однородных уравнений (первой и второй степеней)Функциональный методМетоды использования различных тригонометрических формулУрок одной задачи
Слайды и текст этой презентации
Слайд 2Содержание
Простейшие тригонометрические уравнения
Метод введения новой переменной
Метод решения однородных уравнений (первой
и второй степеней)
Слайд 6Метод введения новой переменной
Схема решения
Шаг 1. Привести уравнение к алгебраическому виду
относительно одной из тригонометрических функций.
Шаг 2. Обозначить полученную функцию переменной t
(если необходимо, ввести ограничения на t).Шаг 3. Записать и решить полученное алгебраическое уравнение.
Шаг 4. Сделать обратную замену.
Шаг 5. Решить простейшее тригонометрическое уравнение.
Слайд 7Метод введения новой переменной
Пример 1: Решим уравнение
2 sin2 x + sin
x – 1 = 0
Решение.
Вводим новую переменную
sin x =
y. Тогда мы получаем квадратное уравнение:2y2 + y – 1 = 0, из которого
у1=1\2 и у2 = -1
Слайд 8Метод введения новой переменной
Таким образом:
sinx=1/2 и sin x
= –1
Находим значения x:
1) x = (–1)n π/6 + πk
2) x = –π/2
+ 2πnОтвет: x = (–1)n π/6 + πk, k ∈ Z x = –π/2 + 2πn, n ∈ Z
Слайд 9Метод введения новой переменной
Пример 2: Решим уравнение
6 sin2 x + 5 cos x –
2 = 0.
Решение:
Мы знаем, что sin2 x + cos2 x = 1.
Отсюда выводим значение
sin2 x:sin2 x = 1 – cos2 x.
Вводим это значение sin2 x в наш пример:
6 (1 – cos2 x) + 5 cos x – 2 = 0.
Раскрываем скобки:
Слайд 10Метод введения новой переменной
6 – 6 cos2 x + 5 cos x – 2
= 0.
Сводим подобные члены:
4 – 6 cos2 x + 5 cos x =
0.Поменяем местами слагаемые от большей степени к меньшей (как того требует правило):
– 6 cos2 x + 5 cos x + 4 = 0.
Слайд 11Метод введения новой переменной
Введем опять новую переменную y = cos x и
в результате получим квадратное уравнение:
– 6у2 + 5у + 4 =
0.Решив его, находим корни:
у = – 1/2 или у =4/3
Обратная замена:
Рассмотрим вариант cosx= 4\3
Слайд 12Метод введения новой переменной
Мы видим, что в этом случае cos x >
1. Т.Е. решений нет.
В другом уравнении cos x меньше 1 (cos x < 1).
Значит, решаем его.Сначала находим значение арккосинуса:
1 2π arccos( – —) = —— 2 3
Осталось найти x:
2π x = ± — + 2πk, k ∈ Z
3
Слайд 13Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней)
Схема решения
Шаг 1. Привести
данное уравнение к виду
a) a sin x + b cos
x = 0 (однородное уравнение первой степени)или к виду
б) a sin2 x + b sin x · cos x + c cos2 x = 0 (однородное уравнение второй степени).
Слайд 14Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней)
Шаг 2. Разделить обе
части уравнения на
а) cos x ≠ 0;
б) cos2 x ≠ 0;
и
получить уравнение относительно tg x:а) a tg x + b = 0;
б) a tg2 x + b arctg x + c = 0.
Пример 1: Решите уравнение
3 cosx - 2 sinx = 0.
Решение:
Слайд 15Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней)
3 cosx -
2 sinx = 0/: cosx,
3 – 2 tgx= 0,
tgx= 1,5,
x
= arctg1,5 +πn, nϵZОтвет: x = arctg1,5 +πn, nϵZ
Слайд 16Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней)
Пример 2:
5sin2 x +
3sin x · cos x – 4 = 0.
Решение.
1) 5sin2 x +
3sin x · cos x – 4(sin2 x + cos2 x) = 0;5sin2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos2 x = 0;
sin2 x + 3sin x · cos x – 4cos2 x = 0 /cos2 x ≠ 0.
Слайд 17Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней)
2) tg2 x + 3tg
x – 4 = 0.
3) Пусть tg x = t, тогда
t2 + 3t – 4 = 0;t = 1 или t = -4, значит
tg x = 1 или tg x = -4.
Из первого уравнения
x = π/4 + πn, n Є Z;
из второго уравнения
x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Ответ: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Слайд 18Функциональный метод
Использование свойств:
1.Выделение полного квадрата из квадратичного трехчлена.
2.Свойство ограниченности функции
косинус: −1≤ cosх≤ 1
3.Свойство ограниченности квадратичной функции:
(x+ m)2+ k≥ k
Слайд 19Функциональный метод
Пример 1. Решите уравнение
cos2π x=x2−8x+17
Решение: cos2πx=x2−8x+17
cos2πx= (x−4)2+1 .
Оценим левую и правую
части уравнения: −1 ≤cos2πx≤ 1 и (x−4)2+1≥1 . Следовательно, равенство достигается, если cos2πx=1 и (x−4)2+1 =1.
Слайд 20Функциональный метод
Решая второе уравнение системы, получаем x = 4. Подставляем это значение
в первое уравнение и убеждаемся в верности равенства. Следовательно, x = 4
корень исходного уравнения.Ответ: x = 4
Слайд 21Методы использования различных тригонометрических формул
Схема решения
Шаг 1. Используя всевозможные тригонометрические формулы,
привести данное уравнение к уравнению, решаемому методами I, II, III.
Шаг
2. Решить полученное уравнение известными методами.
Слайд 22Методы использования различных тригонометрических формул
Пример.
sin x + sin 2x +
sin 3x = 0.
Решение:
1) (sin x + sin 3x) + sin
2x = 0;2sin 2x · cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x · (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0;
Слайд 23Методы использования различных тригонометрических формул
Из первого уравнения
2x = π/2
+ πn, n ϵZ;
из второго уравнения: cos x =
-1/2.Имеем х = π/4 + πn/2, n ϵ Z;
получим x = ±(π – π/3) + 2πk, k ϵ Z.
В итоге х = π/4 + πn/2, n ϵ Z;
x = ±2π/3 + 2πk, k ϵ Z.
Ответ: х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k ϵ Z.
Слайд 24Урок одной задачи
Решим уравнение:
sinx + cosx = 1 .
Это уравнение можно решить несколькими способами,
предложим 5 способов. 
Слайд 251 способ:
С помощью формул приведения
. Представим sinx = cos(π/2 +x).
Воспользуемся формулой суммы косинусов:
2cos((π/2 +2x)\2)cos π/4=1, тогда
√2
cos (π/4 +x)=1,π/4 +x=±arccos(1/√2) +2πn, nϵZ
x1=2πn, nϵZ; x2= - π/2 +2πn, nϵZ
Слайд 262 способ: (с помощью вспомогательного аргумента)
Разделим обе части уравнения
на √2 , получим: (1/√2) sinx + (1/√2) cosx =
(1/√2), тогда sinx cosπ/4 +sinπ/4 cosx= (1/√2),sin(π/4 +x)= (1/√2),
sin(π/4 +x)= (1/√2),
π/4 +x1= π/4 + 2πn, nϵZ,
π/4 +x2= 3π/4 + 2πn, nϵZ,
x1=2πn, nϵZ,
x2= π/2 + 2πn, nϵZ.
Слайд 273 способ: приведение уравнения к однородному
sin x+cos x =1
Разложим левую
часть по формулам двойного аргумента, а
правую часть заменим тригонометрической единицей:
2sin
x/2 * cos x/2 + cos² x/2 -sin² x/2 = sin² x/2 + cos² x/22sin x/2 * cos x/2 – 2sin² x/2 = 0
sin x/2 * (cos x/2 - sin x/2) =0
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом не теряют смысла, поэтому
sin x/2 * (cos x/2 - sin x/2) =0 => sin x/2 = 0 или
cos x/2 - sin x/2 = 0
sin x/2 = 0; x/2 = πk; x = 2πk; k Є Z;
Слайд 283 способ: приведение уравнения к однородному
sin x/2 – cos x/2
= 0 – однородное уравнение первой степени. Делим обе его
части на cos x/2 (cos x/2 ≠ 0, так как, если cos x/2 = 0, sin x/2 – 0 = 0 => sin x/2 = 0, что противоречит тождеству sin² x/2 + cos² x/2 = 1). Получимtg x/2 – 1 = 0; tg x/2 = 1; x/2 = π/4 = πn;
x = π/2 + 2πn; n Є Z.
Ответ:
x = 2πk; k Є Z или x = π/2 + 2πn, n Є Z.
Слайд 294 cпособ: Возведение обеих частей уравнения в квадрат
sin x +
cos x = 1
sin² x+2sin x cos x + cos²
x = 1;1 + sin 2x = 1;
sin 2x = 0;
2x = πk; x = πk/2, k Є Z.
Полученное решение эквивалентно объединению четырех решений:
x = 2πk, k Є Z,
x = π/2 + 2πn, n Є Z,
x = π + 2πm, m Є Z,
x = - π/2 + 2πl, l Є Z.
Проверка показывает, что второе и третье решения – посторонние.
Ответ: x = 2πn, n Є Z, или x = - π/2 + 2πl, l Є Z.
Слайд 305 способ: универсальная подстановка
Используемые формулы:
sin x = 2tg x/2
/ (1 + tg² x/2);
cos x = (1 – tg²
x/2) / (1 + tg² x/2);tg x = 2tg x/2 / (1 – tg² x/2).
Слайд 315 способ: универсальная подстановка
С учетом приведенных формул уравнение
sin
x + cos x = 1
запишем в виде
2tg x/2
/ (1 + tg² x/2) + (1 – tg² x/2 )/( 1 + tg² x/2) = 1.Умножим обе части уравнения на (1 + tg² x/2):
2tg x/2 + 1 - tg² x/2 = 1 + tg² x/2;
2tg2 x/2 - 2tg x/2 = 0;
tg x/2 = 0; tg x/2 =1
x/2 = πn, n Є Z., x = 2πn, n Є Z.
x/2 = π/4 + πn; x = π/2 + 2πn, n Є Z.
