Многокритериальная оптимизация

критерии

есть, нужно оптимизировать одновременно не одну, а целое множество функций

(критериев оптимальности).
Пусть имеются критерии оптимальности (эффективности): ,

где
удовлетворяют ограничениям

Тогда задача оптимизации примет вид:

являются согласованными, если улучшение одного из них приводит к улучшению

другого.
Критерии являются нейтральными, если изменение одного из них не влияет на другие.
Критерии являются конфликтующими, когда улучшение одного из них приводит к ухудшению других.

В последнем случае решение возможно только на основе компромисса, для чего используется понятие множества Парето - множества точек несравнимых по предпочтению.

Парето, если во множестве допустимых решений не существуют решения, которое

по целевым функциям было бы не хуже, и по крайней мере по одной целевой функции было бы строго лучше чем .
Определение 2. Множество всех допустимых, оптимальных по Парето, точек называется множеством Парето в пространстве переменных.
Определение 3. Множество Парето в критериальном пространстве – это множество , , где – множество точек, оптимальных по Парето, в пространстве переменных.

целесообразно выбирать из множества Парето, так как любое другое может

быть улучшено некоторой точкой Парето как минимум по одному критерию без ухудшения других.

критериев оптимизации f1 и f2, которые соответствуют переменным X в

допустимой области.

Множество точек, оптимальных по Парето, лежит между точками минимума (если задача на минимум), полученных при решении многокритериальной задачи отдельно по каждому критерию. Точками Парето является множество контурных точек между точками А и В.

может быть много.
Чем больше точек Парето, тем хуже, так

как с формальных позиций они равноценны между собой.
Очевидно, что с точки зрения практики надо выйти на одну или несколько точек, оптимальными по Парето, для чего после построения множества Парето осуществляют его сужение.

методы:

1) методы свертки критериев,
2) методы, основанные на наложении ограничений на критерии,
3) методы, основанные

на отыскании компромиссного решения,
4) методы целевого программирования и др.

введением одного обобщенного критерия


где – вектор весовых коэффициентов критериев,

характеризующий относительную важность соответствующего критерия. Обычно, весовые коэффициенты используются в нормированном виде и удовлетворяют условиям

аддитивной свертки может быть получена точка, оптимальная по Парето.

Задача

должна решаться многократно, с изменением весовых коэффициентов, чтобы сгенерировать множество точек Парето.

Кроме того, при изменении коэффициентов во всем диапазоне может получаться одна и та же точка.

качества по одному из критериев компенсируется приращением качества по

другому. Оптимальное по свертке решение может характеризоваться низким качеством по ряду частных критериев и в связи с этим будет неприемлемым;

• не всегда удается задать веса критериев, чаще всего известна лишь сопоставимая важность критериев; в иных случаях нет никакой информации;

• величина целевой функции, полученная при решении по свертке, не имеет ни какого физического смысла.

самыми ограничениями, как в аддитивной свертке.
Такие виды сверток не нашли

широкого применения.
Иногда используется свертка нормализованного критерия:

где – оптимальные значения частных критериев, полученные путем их оптимизации при исходных ограничениях и отбрасывании других критериев. Эту свертку надо минимизировать.

метод.

Метод последовательных уступок.

ограничений.
Затем ищется оптимум по обобщенному критерию (в качестве обобщенного

критерия может быть использована аддитивная свертка), то есть решается задача


при наличии ограничений



где величины есть уступки, назначаемые из практических соображений.

уменьшения их приоритета (важности). Затем решается последовательность однокритериальных задач оптимизации

при дополнительных ограничениях на предыдущие по важности критерии.

Рассмотрим последовательность шагов процесса решения задачи.

и назначается уступка
2 этап. Решается задача

при при наличии ограничения

Определяется и назначается уступка .
k-ый этап. Решается задача при при наличии ограничений

Парето.

Чтобы получить несколько точек, надо менять приоритет критериев и

величины уступок.

Преимуществом этого подхода перед методом сверток состоит в том, что одновременно при генерации точек Парето происходит его сужение.

соизмеримы друг с другом, сложно их выбирать;

• в общем случае полученное

решение не оптимально по Парето.

сузить, для чего можно использовать следующие приемы:
• уменьшить количество целевых функций,

то есть отбросить часть критериев;
• наложить дополнительные ограничения на часть критериев;
• использовать диалоговую процедуру с целью корректировки постановки задачи.