Многомерные случайные величины

U, на нем построено поле событий и для каждого события

А из этого поля определена вероятность Р(А).
Каждому элементарному событию gi из U сопоставим несколько чисел: ξ i1 , ξ i2 , ξ i3 , ... ξ ik  или вектор ξi. Потребуем, чтобы для любых хj ( -∞ < хj <+∞ ) , j = 1, 2 ... k , множество А тех g , для которых ξ j < хj ( j = 1, 2, ... k) , принадлежало полю событий, т.е. для него определена вероятность Р{ ξ 1 < x1 ,  ξ 2 < x2 , ...  ξ k < xk } = P(A) = F( x1, x2,  ... xk ). Тогда ξ называется многомерной случайной величиной, или случайным вектором, а F( x1, x2,  ... xk ) ее функцией распределения.

газом, (x,y,z) или компоненты ее скорости (Vx,Vy,Vz) - можно рассматривать как

трехмерные случайные величины

участника (х1) и другого (х2), если условия их прихода известны

(скажем - любой момент в течение заданного часа), пару чисел х1, х2 можно рассматривать как двумерную случайную величину

раствора в зависимости от концентрации уксусной кислоты можно рассматривать как

девятимерную случайную величину

хоть один из аргументов принимает значение -∞, то F=0.
2

.   F( x1, x2,  ... xk ) не убывающая функция любого аргумента
3. F( x1, x2,  ... xk-1, ∞) = F( x1, x2,  ... xk-1 ), т.е. если один из аргументов принимает значение ∞, то размерность случайной величины уменьшается на 1.

т.е. принимать любые значения в некоторой области к-мерного пространства (например,

упомянутые выше компоненты скорости молекулы).
У них F( x1, x2,  ... xk ) непрерывная функция всех аргументов. Для них определена
к-мерная плотность распределения
p( x1, x2,  ... xk ), которая есть производная от функци распределения.

значение, лежащее в области V к-мерного пространства, равна интегралу по

этой области от к-мерной плотности распределения. Интеграл по всем переменным от - ∞ до + ∞ от к-мерной плотности распределения равен 1.
Интеграл по одной переменной от - ∞ до + ∞ от к-мерной плотности распределения равен плотности распределения (к-1)-мерной случайной величины.
Например:

дискретными, т.е. каждая компонента случайного вектора может принимать только конечное

или счетное множество определенных значений. Например, рассмотрим эксперимент по бросанию одновременно двух костей, с каждым элементарным событием свяжем два числа ( z1, z2 ), где z1 - число очков на первой кости, z2 - сумма очков на двух костях. Тогда ( z1, z2 ) - двумерная случайная величина, поскольку известна вероятность р( хi, хk ) пересечения событий, состоящих в том, что z1 примет значение хi, а z2 - хk . Для дискретных случайных величин закон распределения задается вероятностями всевозможных комбинаций их значений. Для двумерной величины при небольшом числе возможных значений это удобно представить в виде таблицы, где на пересечении столбца z1 и строки z2 стоит вероятность р( z1, z2 )

строки, мы получим вероятности определенных значений z2 , т.е. закон распределения

одномерной величины z2 . Аналогично, сумма по столбцам даст закон распределения одномерной величины z1 . Сумма всех чисел в таблице должна быть равна 1 .

Математическим ожиданием многомерной случайной величины называется вектор, компоненты которого являются математическим ожиданием каждой отдельной компоненты случайного вектора. M( z1, z2, ... zk ) = ( Mz1, Mz2,  ...  Mzk ).
Mzi вычисляются как сумма или интеграл так же, как и для одномерных случайных величин .

ковариационной матрицей . Это таблица чисел размерности К×К для

К-мерной величины, у которой на диагонали стоят дисперсии соответствующих одномерных величин, вычисляемых обычным образом, а ij-тым элементом является bij - коэффициент ковариации i-той и j-той компоненты случайного вектора.

 

обозначаемый иногда как cov(zi,zj), есть математическое ожидание произведения отклонений каждой

из этих величин от своего математического ожидания:

Для вычисления коэффициента ковариации надо знать закон распределения двумерной случайной величины (zi,zj). Тогда для непрерывных величин:

 

 

принимает величина zi и всем q значениям, которые принимает величина

zj .

Преобразовав , получим более удобную формулу для вычисления коэффициента ковариации

 

это коэффициент ковариации, деленный на корень из произведения дисперсий

i-той и j-той компонент случайного вектора

доказательство:

|rij|<=1

 

распределения, многомерная плотность распределения, вероятность определенного набора значений распадаются на

произведение соответствующих одномерных функций или вероятностей

Случайные величины независимы, если независимы
события А: ξi Для независимых событий Р(АВ)=Р(А)*Р(В), т.е.
F(xi,xk)=F(xi)*F(xk). Соответственно:

p(xi,yj,zk)=p(xi)p(yj)p(zk)

всегда
Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их матожиданий
Дисперсия

суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.



Коэффициенты ковариации и корреляции независимых случайных величин равны 0, следовательно, ковариационная матрица - диагональна

генератора, вырабатывающие числа z1. z2, равные 0 или 1 с

вероятностями 1/2. Рассмотрим закон распределения двумерной величины х1, х2 , построенной по правилу: х1= z1+ z2, х2= z1- z2.

Mx1=1; Mx2=0

M(x1x2)=
-1/4+1/4=0

Cov(x1x2)=0
r12=0

Они не независимы: p(1,1)=1/4; p(1)p(1)=1/8

0

1/4

0

1/4

1/4

1/4

1/4

1/4

1/4

1/4

1/2

1/2

0

0

0

1

лежат с наибольшей вероятностью.
Пример: х, у независимы. Мх=а, My=b

C=1

В данном случае это эллипс
с центром в точке а, b
и осями

большом числе независимых опытов частота появления какого-то события близка к

его вероятности.
Этот известный факт следует из теоремы Чебышева.

Сначала докажем неравенство

Обозначим:

от обычной сходимости тем, что нельзя указать такого n, при

котором разность станет наверняка меньше ε , хотя и ничтожно малая, но существует вероятность и большего отклонения.

При независимых испытаниях

при n→∞

При большом числе испытаний частота появления события мало отличается от его вероятности

то

х~N(a,σ2)
Положим:
=
z~N(0,1)

распределение случайных величин. Математическим обоснованием этого факта служит центральная предельная

теорема:

Сумма большого числа как угодно распределенных независимых случайных величин распределена асимптотически нормально, если только слагаемые вносят равномерно малый вклад в сумму.

Это значит, что чем больше независимых слагаемых в сумме, тем ближе закон ее распределения к нормальному. Вместо суммы часто рассматривают среднее арифметическое большого числа случайных величин, оно отличается от суммы только множителем (1/n) , поэтому его распределение также стремится к нормальному с ростом числа n суммируемых величин. Поскольку случайные величины, с которыми мы сталкиваемся, например, при измерениях, есть результат действия множества независимых факторов, понятно, почему измеряемые значения, как правило, распределены нормально.

Mxк =a; Dxk =σ2
Образуем
Mwк=0. Dwк=1
Построим

характеристическую функцию

Dξ=pq

теорема Муавра-Лапласа
Поскольку плотность нормального

распределения с матожиданием 0 и дисперсией 1, а также значение интеграла от этой плотности в пределах от 0 до z как функция z табулированы , то легко найти вероятность попадания х, а значит и m, при известных n, p в любой интервал.

элементарному событию сопоставляется не набор чисел ( случайный вектор), а

функция некоторого параметра t - f(t) и при каждом значении t определена функция распределения F t (x)=P{f(t)

Образно говоря - это "бесконечномерная случайная величина".

, процесс называется стационарным. Числовые характеристики случайного процесса ( математическое

ожидание и дисперсия ) при фиксированном t определяются так же, как и для обычной случайной величины , если известны плотность распределения рt(х) или рt(xi) (если f принимает дискретный ряд значений). Для стационарного процесса эти характеристики от t не зависят.

Характеристики стационарного процесса можно определить усреднением по параметру

Если результаты вычисления числовых характеристик стационарного процесса путем усреднения по параметру и по ансамблю реализаций дают одинаковый результат, процесс называется эргодическим.

вектора, для случайного процесса служит автокорреляционная функция Г(τ), показывающая как

быстро с изменением параметра могут меняться значения случайной функции.

Г(0)=Df

Связь спектра и автокорреляционной функции
Спектр- это Фурье образ f(t)

Положим, что процесс стационарный и Mf=0

Спектр мощности сигнала f(t), т. е. квадрат модуля Фурье-образа f(t), S(ω)=V(ω)*V(ω) пропорционален Фурье-образу функции корреляции Г(τ).

t и

Отсюда
Df= Г(0)~S(ω)Δω

и вероятность перехода в следующий момент времени из состояния

хк в состояние хр не зависит от состояния предшествующего хк, то процесс называется марковский Наиболее яркий пример: процесс возбуждения и распада энергетических состояний атома в плазме. Находясь на определенном энергетическом уровне Ек
атом может перейти на какой-то другой
уровень с вероятностью , которая не
зависит от того , с какого уровня атом
попал на Ек.

Другой пример: игра в кости. Вероятность
выиграть не зависит от того, выиграл ты прошлый раз или проиграл