Модель учебного процесса по численным методам оптимизации

методам оптимизации
ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский университет(МЭИ)»
Кафедра прикладной математики

д.ф.-м.н., проф. Ижуткин В.С.

моделирование учебного процесса и
комплекс обучающих программ по численным методам

оптимизации

В последнее время немалая роль в обучении отводится компьютерным технологиям, так как с их помощью можно по-новому представить содержание учебного материала, регулировать формы и темп обучения, что помогает повысить качество обучения.

Модели компьютерного представления учебного материала:

модель аудиторной лекции - организация лекционного материала по математике в виде активной лекции.

2. модель лабораторного практикума, основанный на ознакомлении с примерами и выполнении разнообразных упражнений.

комплекс обучающих программ по численным методам оптимизации
РАЗДЕЛЫ

1. Выпуклый анализ

2. Методы

одномерной минимизации

3. Методы нелинейной безусловной
минимизации в конечномерном пространстве
3.1 Методы нулевого порядка
3.2 Методы первого порядка
3.3 Методы второго порядка

4. Методы поиска условного экстремума

5. Методы линейного и целочисленного программирования

по численным методам оптимизации
Решение алгоритмических задач

по численным методам оптимизации
Решение алгоритмических задач
Использование некоторого количества

итераций при нахождении оптимального решения

по численным методам оптимизации
Решение алгоритмических задач
Использование некоторого количества

итераций при нахождении оптимального решения
Возможность представления хода решения не только в аналитическом виде, но и в графическом

учебного процесса и
комплекс обучающих программ по численным методам оптимизации
Моделирование

процесса обучения на основе цепей Маркова

Моделирование логической структуры учебного материала

Моделирование учебного материала программных комплексов по математике на основе психолого-педагогических теорий усвоения знаний

Моделирование визуальных компонентов учебного материала с использованием когнитивной компьютерной графики

граф, содержащий узлы и дуги.
При этом каждый узел моделирует

один из шагов процесса изучения курса :
чтение теоретического материала,
ознакомление с материалом,
прохождение примера,
выполнение упражнения.

Дуги между узлами моделируют последовательность выполнения шагов, они помечаются вероятностями перехода от одного узла к другому.

Основная гипотеза, принятая при построении модели, состоит в том, что вероятности событий в системе не зависят от ее предыстории.

Компьютерное моделирование учебного процесса и
комплекс обучающих программ по численным методам оптимизации

следующие оценки:

построение индивидуальных образовательных траекторий как отдельных реализаций случайного процесса,

порожденного цепью Маркова;
распределение вероятностей прохождения различных разделов курса на каждом шаге процесса обучения, в том числе вероятность завершения курса учащимся за заданное число шагов;
распределение вероятностей различных вариантов завершения курса, если такая возможность предусмотрена;
средняя трудоемкость курса;
дисперсия трудоемкости курса.

Исходная информация для модели включает список узлов (шагов процесса обучения), граф связи между ними, матрицу вероятностей перехода от узла к узлу и оценку средней трудоемкости каждого шага.

Компьютерное моделирование учебного процесса и
комплекс обучающих программ по численным методам оптимизации

динамическая система, находящаяся в каждый из моментов tk в одном

из n состояний:

Компьютерное моделирование учебного процесса и
комплекс обучающих программ по численным методам оптимизации

Состояния изменяются со временем случайным образом. Это изменение определяется матрицей переходных вероятностей:

Каждая строчка матрицы Р соответствует состоянию, в котором процесс находится на данном шаге, а каждый столбец - состоянию, в которое переходит процесс на следующем шаге.

состояния (в том числе в себя) образуют полную группу событий,

поэтому для всех i=1,…,n, tk T.

Компьютерное моделирование учебного процесса и
комплекс обучающих программ по численным методам оптимизации

Вектор-строка X(tk) =[x1(tk),…,xN(tk)]– описывает распределение вероятностей нахождения системы в соответствующих состояниях в момент tk, то есть xi(tk) – это вероятность того, что в момент tk система находится в состоянии Si.

Пересчет распределения вероятностей на следующем шаге производится по формуле:

Средняя трудоемкость прохождения курса:

Среднеквадратичное отклонение трудоемкости процесса от средней:

независимость вероятностей перехода из одного состояния в другое от предыстории

процесса;
допущение об однородности цепи Маркова (т.е. о независимости вероятностей от времени);
допущение о независимости трудоемкости шага учебного курса от числа обращений к нему;
допущение о строгом следовании учащегося предписанному порядку выполнения шагов учебного процесса.

Компьютерное моделирование учебного процесса и
комплекс обучающих программ по численным методам оптимизации

так и в автоматизированном большую роль играют содержание каждого раздела

(фрагмента) учебного материала и последовательность их изложения.

Логическая структура учебного материала определяется как система внутренних связей между его понятиями. Такой метод позволил применить теорию графов к задаче анализа логической структуры учебного материала.

Компьютерное моделирование учебного процесса и
комплекс обучающих программ по численным методам оптимизации

в комплексе по численным методам оптимизации
Компьютерное моделирование учебного процесса и

комплекс обучающих программ по численным методам оптимизации

элементы (наименования тем, разделов и т. п.) можно использовать в

качестве вершин графа. Тогда дуги графа будут указывать маршрут курса и объемы информации, которые необходимо освоить, чтобы перейти от одной вершины к другой.






При анализе структуры применение графов очень эффективно для программного комплекса, где имеется возможность постоянного выбора оптимального маршрута изучения учебного материала.

Компьютерное моделирование учебного процесса и
комплекс обучающих программ по численным методам оптимизации

квазиминоров

А =||aij|| М =||ωij||
Построив матрицу смежности, сформулировать полную матрицу путем М =||ωij|| .
Элементами такой матрицы являются результаты вычисления квазиминоров, которые устанавливают наличие пути между этими вершинами.

Компьютерное моделирование учебного процесса и
комплекс обучающих программ по численным методам оптимизации

помощью методов структурного анализа
Разделы курса связаны между собой. Чем большим

числом связей обладает какой-либо раздел или чем выше его значения, тем значительнее влияние такого раздела на остальные. Это естественно, т.к. плохое усвоение обучаемым этого раздела существенно затрудняет изучение материала других, связанных с ним разделов. Такое влияние иногда называют доминированием, а величины доминирования выражают через ранги.


Методы вычисления рангов для определения количественных значений величин доминирования разделов учебного материала :

Компьютерное моделирование учебного процесса и
комплекс обучающих программ по численным методам оптимизации

, где α(1)(k) - количество путей длины k, идущих от элемента i.

1.

2.

3.

знаний
При разработке программного комплекса по численным методам учитывались следующие основные

психолого-педагогические теории усвоения знаний:
Ассоциативно-рефлекторная теория
Теория программированного обучения
Теория формирования умственных действий и понятий
Теория проблемного обучения

Компьютерное моделирование учебного процесса и
комплекс обучающих программ по численным методам оптимизации

обучения помогает сформировать:
определенную логику (структуру, этапы) процесса познавания:
восприятие

учебного материала;
осмысливание изучаемого материала,
доведенное до понимания его внутренних связей и отношений;
запоминание и сохранение в памяти учебного материала;
применение закрепившихся знаний на практике.


Методику ассоциативно-рефлекторного обучения можно представить в виде схемы из шести следующих этапов:

Компьютерное моделирование учебного процесса и
комплекс обучающих программ по численным методам оптимизации

последовательности деятельности обучающих, что и реализовано в программном комплексе по

численным методам с помощью единого педагогического сценария обучения.

Компьютерное моделирование учебного процесса и
комплекс обучающих программ по численным методам оптимизации

напоминаний учебного материала из:
изучаемого курса;
других разделов математики.
Алгоритм,
пример или упражнения

метода градиентного спуска с постоянным шагом

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Математический анализ

Компьютерное моделирование учебного процесса и
комплекс обучающих программ по численным методам оптимизации

и разветвленной форме является стержневым фрагментом программного комплекса по численным

методам, что предусматривает:

1. правильный отбор и разбиение учебного материала на небольшие порции;

Компьютерное моделирование учебного процесса и
комплекс обучающих программ по численным методам оптимизации

и разветвленной форме является стержневым фрагментом программного комплекса по численным

методам, что предусматривает:

правильный отбор и разбиение учебного материала на небольшие порции;
частый контроль знаний: как правило, каждая порция учебного материала заканчивается контрольным вопросом или заданием;

Компьютерное моделирование учебного процесса и
комплекс обучающих программ по численным методам оптимизации

и разветвленной форме является стержневым фрагментом программного комплекса по численным

методам, что предусматривает:

правильный отбор и разбиение учебного материала на небольшие порции;
частый контроль знаний: как правило, каждая порция учебного материала заканчивается контрольным вопросом или заданием;
переход к следующей порции лишь после ознакомления учащегося с правильным ответом или характером допущенной им ошибки;

Компьютерное моделирование учебного процесса и
комплекс обучающих программ по численным методам оптимизации

и разветвленной форме является стержневым фрагментом программного комплекса по численным

методам, что предусматривает:

правильный отбор и разбиение учебного материала на небольшие порции;
частый контроль знаний: как правило, каждая порция учебного материала заканчивается контрольным вопросом или заданием;
переход к следующей порции лишь после ознакомления учащегося с правильным ответом или характером допущенной им ошибки;
обеспечение возможности каждому обучаемому работать со свойственной ему, индивидуальной, скоростью усвоения (реализация индивидуального подхода в обучении).

Компьютерное моделирование учебного процесса и
комплекс обучающих программ по численным методам оптимизации

и разветвленной форме является стержневым фрагментом программного комплекса по численным

методам, что предусматривает:

правильный отбор и разбиение учебного материала на небольшие порции;
частый контроль знаний: как правило, каждая порция учебного материала заканчивается контрольным вопросом или заданием;
переход к следующей порции лишь после ознакомления учащегося с правильным ответом или характером допущенной им ошибки;
обеспечение возможности каждому обучаемому работать со свойственной ему, индивидуальной, скоростью усвоения (реализация индивидуального подхода в обучении).

Методику теории программированного обучения можно представить
в виде схемы из следующих этапов:

Компьютерное моделирование учебного процесса и
комплекс обучающих программ по численным методам оптимизации

соответствии с теорией поэтапного формирования умственных действий является разработка схем

ориентировочных основ их выполнения.
В программном комплексе по численным методам применяются следующие виды ориентировок:
ориентировочная основа действия представляет собой конкретный образец или описание действия без каких-либо указаний о методике его выполнения (идея метода);
ориентировочная основа действия содержит в себе полные и подробные указания о его правильном выполнении (пример);
ориентировочная основа действия создается обучаемыми самостоятельно на основе полученного задания (сравнительный анализ).


Методику теории формирования умственных действий и понятий можно представить в виде схемы из следующих этапов:

Компьютерное моделирование учебного процесса и
комплекс обучающих программ по численным методам оптимизации

действий и понятий на начальном этапе представляется целесообразным создание у

обучаемых необходимой познавательной мотивации, позволяющая им успешно овладевать каким-либо действием.

Предоставление студенту реальных задач из его профессиональной области, которые могут быть разрешены с помощью численных методов, является эффективным средством мотивации обучаемых.

Компьютерное моделирование учебного процесса и
комплекс обучающих программ по численным методам оптимизации

чтобы понять уровень усвоения понятий и обучить не отдельным мыслительным

операциям в случайном порядке, а системе умственных действий для решения нестереотипных задач.
Эта активность заключается в том, что студент, анализируя, сравнивая, синтезируя, обобщая, конкретизируя фактический материал, сам получил из него новую информацию.
Другими словами, это расширение, углубление знаний при помощи ранее усвоенных знаний или новое применение прежних знаний.

Методику теории проблемного обучения можно представить в виде схемы из следующих этапов:

Компьютерное моделирование учебного процесса и
комплекс обучающих программ по численным методам оптимизации

ситуаций, проблем и задач, соответствующих познавательным возможностям обучаемых.

Теория проблемного обучения

при разработке программного комплекса по численным методам использовалась при создании обстановки интеллектуального затруднения в тестовых упражнений с запланированными ошибками.

Компьютерное моделирование учебного процесса и
комплекс обучающих программ по численным методам оптимизации

ситуаций, проблем и задач, соответствующих познавательным возможностям обучаемых.

вопрос «на знание»
Компьютерное

моделирование учебного процесса и
комплекс обучающих программ по численным методам оптимизации

ситуаций, проблем и задач, соответствующих познавательным возможностям обучаемых.

вопрос «на

понимание»

вопрос «на вычисление»

вопрос «на применение»

Компьютерное моделирование учебного процесса и
комплекс обучающих программ по численным методам оптимизации

средств визуализации открывает для сферы обучения новые графические возможности, благодаря

которым обучающиеся могут в процессе анализа изображений динамически управлять их содержанием, формой и размерами, добиваясь наибольшей наглядности.

Когнитивная функция проявляется в ситуациях, когда учащиеся добывают знания с помощью исследований на математических моделях изучаемых объектов и процессов.

Компьютерное моделирование учебного процесса и
комплекс обучающих программ по численным методам оптимизации

отображения на примере математических объектов, обладающих высоким когнитивным потенциалом:
Сплошные цветографические

изображения

Компьютерное моделирование учебного процесса и
комплекс обучающих программ по численным методам оптимизации

сети
Способы отображения на примере математических объектов, обладающих высоким когнитивным потенциалом:
Компьютерное

моделирование учебного процесса и
комплекс обучающих программ по численным методам оптимизации

с частными производными
Итерационный метод решения системы конечно-разностных уравнений (→)
Метод

сеток для уравнения гиперболического типа (→)

Компьютерное моделирование учебного процесса и
комплекс обучающих программ по численным методам оптимизации

при университете Саарбрюкена (Германия) в рамках проекта LeActiveMath программы FP6-IST

Европейского Союза.




http://www.activemath.org
http://www.leactivemath.org

Компьютерное моделирование учебного процесса и
комплекс обучающих программ по численным методам оптимизации

которые необходимы для изучения численных методов оптимизации,

организовать различные

педагогические сценарии обучения в зависимости от специальности обучаемого, его уровня подготовки, целей обучения (например, подробное изучение, подготовка к экзамену, краткий обзор) и т.д.

изучить математический иностранный язык, так как учебный материал можно генерировать на шести языках, поддерживаемых системой (английский, немецкий, французский, испанский, русский, китайский).

Компьютерное моделирование учебного процесса и
комплекс обучающих программ по численным методам оптимизации

по численным методам оптимизации