Небесная механика Банникова Е.Ю. 2017 ( есть дефекты)

bsin
Длина эллипса
2

 
x
0

L dl rd
 y



/2



E(e) d 1e

sin
2


-

полный эллиптический интеграл 2-го рода

2

0

Длина окружности

E(0) / 2

L 2a

в невесомости.
Теорема Ньютона: обобщение на эллипсоидальный слой

dS r2
2
2
1
2
2
2
F r dm

2
dS r
 
1
1 2
2

F dm r



1

1

2

2

1

2

1

2

M S

F  Const

2
r r

2


внутр











     

внутр
шар

сфера








r

dr
r

r

a

2







 
r dr


внутр
шар

   

4

G










0

r

GM


внутр
шар

 

(3
3
a

a r )

2

2

2

GM
r


внеш
шар



0




  
r
2
r r
r,out0, c 0,

GM
r

out

2

2













out


G r2

1

2

c
1
r

  

ra 

2

    

r  4 G

inner

c2







  

r

2
r r

3

шара


GM
r


, ra


шар





GM
(3
a3
a r ), r a


2
2


2

силами,
одинаково направленными, а по величине пропорциональными их массам
F



x

/

/

F M

x

Теорема Ляпунова
Шар обладает минимальной потенциальной энергий

мнимой длины.
Метод эквигравитирующих стержней

R (t )


R R


N
R G

i

i



0




(0)



j

i

i

j

3

R R (t )
i

R
ij

j1

i

0

Порядок системы 6(n+1)

Первые интегралы:


















m R  a,


m R  atb

закон движения центра масс

i i

i i

i

i

 


i i

Rm R  I

закон сохранения момента количества движения

i

i

E TU

закон сохранения энергии

tot

В скалярном виде 10 первых интегралов в произвольной инерциальной с.к.

1
3




R  Gm
R
(0)
 R (t )
1,2
1,2


0
1
2
R
12




R R
1


R (t )
1,2 0



R

(0)



1,2

R  Gm

2

1

R

12



m

i i

0

Барицентрическая с.к.

i











m


3
2
m m )

1



G (
G (

 0
 0



1

2

3

1

2

1











m


3
1
m m )

2
3
2





2

2

1

2

)
0




r
 r(t )
0
Первые интегралы:




rr  I
момент на единицу массы
E

tot

Порядок системы =6, но 4 первых (в скалярах) интегралов. Не хватает…..

Лапласа






r

вектор Лапласа
rI 
r
Уравнения связи между первыми интегралами


I 0
5
независимых первых

Вектор момента и вектор Лапласа перпендикулярны

задача двух тел в относит с.к.
(система 6-го порядка) сводится к одному
уравнению

2

 

E I
tot

2

2

 r
r
 
I r
2
r
p
ecos
r1


p I
2
e

I


(1
n
2
0
n 1e E
tg 
tg
1e

2

Уравнение Кеплера

a3/2

E esinE  n(t )

 
T 2

G(M  m)


d 
n
m c
2 2
(1
E2
)

r u
g
3
u
2

u 



I
2
I
2
m c
2

Максимальное смещение перигелия наблюдается для Меркурия и составляет
43’’ за 100 лет.


y
)

U
2
1
r r
1
2

z

z
2


2
V 2U C
J
C

(x
 y
) 
2
2
1
2
2
r r
1
2
Поверхности нулевой скорости
2




  

CJ

2

2

2

n (x y )

1

2

r r

1

2

CJ - интеграл Якоби

1
  
r 1
1

F
возм


F  F
возм
0
На малом интервале – невозмущенное кеплеровское движения,
соответствующее разным

Планетные уравнения Лагранжа

Uвозм - возмущающий потенциал

dE




(E ,U )
i

i



 
E (i, , ,e, p, )

j

возм

dt

i

a
0
e e  A(cos cos)
0
0


 Bt
0
 Ct
0

 
 
sin(k M k M


cos(k M k M )
1 1 2 2

k ,k

k ,k

E E A (t t )




1

2

1

2



k n k n



0

0

0

1

1

2

2

k n k n

k1,k2

1 1

2 2

1 1

2 2

k1,2 – собственная частота движения
планеты и частота возмущающей силы (m2)

A(k ,k )

Периодические возмущения :

Amlp
T

1

2

k n k n

1

1

2 2

2



k n k n

1

1

2 2

орбите с Юпитером
a 5.20
TA
TJ
2n n

J

 0.5

J

a 3.27

A

орбиты каждой из планет периодически изменяется
с периодом 70 100лет
Наклонение –

k n
1
1
2 2
2
k1n1
k n k n




1 1

T

1

1

2 2

Периоды возмущений порядка орбитального периода, амплитуда мала.

•

Долгопериодические возмущения (при малых k1,k2)

k n k n 0

Отношение средних движений =простой дроби

1

1

2 2

n k



1

2
1

- резонансное состояние

n k
2

назван
в честь бога пастухов
Расположен внутри люка Энке
и движется почти в

gap in Saturn's rings is made all the
more exciting by

From the size of the waves seen in the scalloped edges of the Encke gap, imaging scientists were
able to estimate the mass of Pan. They expect to do the same eventually with S/2005 S1.
This image was obtained with the Cassini spacecraft narrow-angle camera on May 2, 2005, at a
distance of about 594,000 kilometers from Saturn.

https://www.nasa.gov/mission_pages/cassini/multimedia/pia06237.html

фазового пространства.
Для траектории на плоскости:
4-
х мерное фазовое пространство
 
x, y,x,

(

Одну из переменных можно исключить,
воспользовавшись интегралом Якоби
или полной энергией => 3D фазовое пр-во

(

x, y,x)

Выделяем одну из плоскостей, например, y=0 .

(

x,x)

Т.о. получаем проекцию на фазовую плоскость

y)  x
2
 y
2
 2x
2
3


2
E =1/40
tot
N=50 –

150

периодов

Траектория одной из частиц

150

периодов


y  y
3 
2
 y
2
 2x
2
3


2

N=50 – число

a few 100 periods

E =1/40
tot

y)  x
2
 y
2
2x
2
3


2
E =1/20
tot

y)  x
2
 y
2
2x
2
3


2
E =1/12
tot

y)  x
2
 y
2
2x
2
3


2
E =1/8
tot

y)  x
2
 y
2
2x
2
3


2
E =1/6
tot