Некоторые свойства преобразования Фурье

Содержание

1. Некоторые свойства преобразования Фурье
2. Изменение масштаба времениs2(t)=s1(nt), n > 1.Вводя новую переменную
3. Смещение спектра сигналаПрименим (2.6) к произведению s(t)cos(ω0t+θ0)Из
4. Дифференцирование и интегрирование сигнала*Производная функции еiωt равна
5. Сложение сигналовТак как преобразование Фурье является линейным,
6. (2.20)В частном случае ω=0 Заменяя х на ω, получаем (2.21)Здесь
7. Аналогично можно показать, что произведению двух спектровсоответствует
8. Взаимная заменяемость ω и t в преобразованиях
9. Из п. 1 вытекает, что при четной
10. Распределение энергии в спектре непериодического сигналаИз (2.21):
11. Скачать презентанцию

Изменение масштаба времениs2(t)=s1(nt), n > 1.Вводя новую переменную интегрирования τ=nt, получаемПри сжатии сигнала в n раз на временной оси во столько же разрасширяется его спектр на оси частот. Модуль спектральнойплотности при этом

Главная
Разное
Некоторые свойства преобразования Фурье

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Некоторые свойства преобразования Фурье

Сдвиг сигналов во времени

Вводя новую переменную интегрирования

τ=t–t0, получаем

Сдвиг во времени функции s(t) на ± t0 приводит

к изменению
фазовой характеристики спектра на величину ±ωt0.

от t1+t0 до t2+t0

(2.15)

Некоторые свойства преобразования ФурьеСдвиг сигналов во времениВводя новую переменную интегрирования τ=t–t0, получаемСдвиг во времени функции s(t) на

Слайд 2Изменение масштаба времени
s2(t)=s1(nt), n > 1.

Вводя новую переменную интегрирования τ=nt, получаем

При

сжатии сигнала в n раз на временной оси во столько

же раз
расширяется его спектр на оси частот. Модуль спектральной
плотности при этом уменьшается в n раз.

Изменение масштаба времениs2(t)=s1(nt), n > 1.Вводя новую переменную интегрирования τ=nt, получаемПри сжатии сигнала в n раз на временной

Слайд 3Смещение спектра сигнала
Применим (2.6) к произведению s(t)cos(ω0t+θ0)

Из выражения (2.16) вытекает,

что расщепление спектра на две части, смещенные соответственно на +ω0

и –ω0 эквивалентно умножению функции s(t) на гармоническое колебание cosω0t
(при θ0=0).

где

– спектральная плотность сигнала s(t).

(2.16)

Смещение спектра сигналаПрименим (2.6) к произведению s(t)cos(ω0t+θ0)Из выражения (2.16) вытекает, что расщепление спектра на две части, смещенные

Слайд 4Дифференцирование и интегрирование сигнала
*Производная функции еiωt равна iωеiωt.

(2.17)

Аналогичным образом можно

показать, что сигналу

соответствует спектральная плотность

(2.18)
*Данная операция законна только для

сигналов, отвечающих
условию S(0) = 0, т.е. для сигналов с нулевой площадью .

Дифференцирование и интегрирование сигнала*Производная функции еiωt равна iωеiωt.(2.17)Аналогичным образом можно показать, что сигналусоответствует спектральная плотность(2.18) *Данная операция

Слайд 5Сложение сигналов
Так как преобразование Фурье является линейным, очевидно, что
при сложении

сигналов s1(t), s2(t),..., обладающих спектрами

суммарному сигналу s(t)=s1(t)+s2(t)+... соответст-
вует спектр

Произведение двух сигналов

Пусть рассматриваемый сигнал s(t) является произведением
двух функций времени f(t) и g(t).

(2.19)

Сложение сигналовТак как преобразование Фурье является линейным, очевидно, чтопри сложении сигналов s1(t), s2(t),..., обладающих спектрами

Слайд 6

(2.20)
В частном случае ω=0

Заменяя х на ω, получаем
(2.21)

Здесь

Слайд 7Аналогично можно показать, что произведению двух спектров
соответствует функция времени s(t),

являющаяся сверткой функций
f(t) и g(t):

Последнее выражение особенно широко используется при

анализе
передачи сигналов через линейные цепи. В этом случае функции
времени f(t) и g(t) имеют смысл соответственно входного сигнала
и импульсной характеристики цепи, a и – спектральной плотности сигнала и передаточной функции цепи.

(2.22)

Аналогично можно показать, что произведению двух спектровсоответствует функция времени s(t), являющаяся сверткой функцийf(t) и g(t):Последнее выражение особенно

Слайд 8Взаимная заменяемость ω и t в преобразованиях Фурье
Если s(t) есть

функция, четная относительно t, то функция

есть функция вещественная и четная относительно ω:

2. Если s(t) нечетна относительно t, то нечетная и чисто
мнимая функция.

3. Если, наконец, s(t) не является четной или нечетной функцией
относительно t, то ее можно разложить на две функции: четную
s1(t) и нечетную s2(t). При этом представляет комплексную
функцию, причем действительная её часть чётна, а мнимая
нёчетна относительно ω.

Взаимная заменяемость ω и t в преобразованиях ФурьеЕсли s(t) есть функция, четная относительно t, то функция

Слайд 9Из п. 1 вытекает, что при четной функции s(t) можно

произвольно
выбирать знак перед t в обратном преобразовании Фурье [см. (2.7)]:
выберем

знак минус и запишем формулу (2.7) в виде

Заменим переменную интегрирования ω на t и параметр t на ω.
Тогда левая часть должна быть записана в виде функции от
аргумента ω

(2.23)

Этот результат показывает, что переменные ω и t в преобразованиях Фурье взаимно заменимы; если колебанию (четному) s(t) соответ- ствует спектр , то колебанию соответствует спектр 2πs(ω).

Из п. 1 вытекает, что при четной функции s(t) можно произвольновыбирать знак перед t в обратном преобразовании

Слайд 10Распределение энергии в спектре непериодического сигнала
Из (2.21): если

то интеграл

Кроме

того,

Таким образом, в соответствии с (2.21)

(2.24)
Это соотношение, устанавливающее

связь между энергией сигнала и модулем его спектральной плотности, известно под названием равенства Парсеваля.

Распределение энергии в спектре непериодического сигналаИз (2.21): если то интегралКроме того, Таким образом, в соответствии с (2.21)

Скачать презентацию

Разделы презентаций

Некоторые свойства преобразования Фурье

Содержание

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Некоторые свойства преобразования Фурье

Сдвиг сигналов во времени

Вводя новую переменную интегрирования

τ=t–t0, получаем

Сдвиг во времени функции s(t) на ± t0 приводит

Слайд 2Изменение масштаба времени
s2(t)=s1(nt), n > 1.

Вводя новую переменную интегрирования τ=nt, получаем

При

сжатии сигнала в n раз на временной оси во столько

Слайд 3Смещение спектра сигнала
Применим (2.6) к произведению s(t)cos(ω0t+θ0)

Из выражения (2.16) вытекает,

что расщепление спектра на две части, смещенные соответственно на +ω0

Слайд 4Дифференцирование и интегрирование сигнала
*Производная функции еiωt равна iωеiωt.

(2.17)

Аналогичным образом можно

показать, что сигналу

соответствует спектральная плотность

(2.18)
*Данная операция законна только для

Слайд 5Сложение сигналов
Так как преобразование Фурье является линейным, очевидно, что
при сложении

сигналов s1(t), s2(t),..., обладающих спектрами

Слайд 6

(2.20)
В частном случае ω=0

Заменяя х на ω, получаем
(2.21)

Здесь

Слайд 7Аналогично можно показать, что произведению двух спектров
соответствует функция времени s(t),

являющаяся сверткой функций
f(t) и g(t):

Последнее выражение особенно широко используется при

Слайд 8Взаимная заменяемость ω и t в преобразованиях Фурье
Если s(t) есть

функция, четная относительно t, то функция

Слайд 9Из п. 1 вытекает, что при четной функции s(t) можно

произвольно
выбирать знак перед t в обратном преобразовании Фурье [см. (2.7)]:
выберем

Слайд 10Распределение энергии в спектре непериодического сигнала
Из (2.21): если

то интеграл

Кроме

того,

Таким образом, в соответствии с (2.21)

(2.24)
Это соотношение, устанавливающее

Обратная связь

Что такое TheSlide.ru?

Разделы презентаций

Некоторые свойства преобразования Фурье

Содержание

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Некоторые свойства преобразования ФурьеСдвиг сигналов во времениВводя новую переменную интегрирования

τ=t–t0, получаемСдвиг во времени функции s(t) на ± t0 приводит

Слайд 2Изменение масштаба времениs2(t)=s1(nt), n > 1.Вводя новую переменную интегрирования τ=nt, получаемПри

сжатии сигнала в n раз на временной оси во столько

Слайд 3Смещение спектра сигналаПрименим (2.6) к произведению s(t)cos(ω0t+θ0)Из выражения (2.16) вытекает,

что расщепление спектра на две части, смещенные соответственно на +ω0

Слайд 4Дифференцирование и интегрирование сигнала*Производная функции еiωt равна iωеiωt.(2.17)Аналогичным образом можно

показать, что сигналусоответствует спектральная плотность(2.18) *Данная операция законна только для

Слайд 5Сложение сигналовТак как преобразование Фурье является линейным, очевидно, чтопри сложении

сигналов s1(t), s2(t),..., обладающих спектрами

Слайд 6(2.20)В частном случае ω=0 Заменяя х на ω, получаем (2.21)Здесь

Слайд 7Аналогично можно показать, что произведению двух спектровсоответствует функция времени s(t),

являющаяся сверткой функцийf(t) и g(t):Последнее выражение особенно широко используется при

Слайд 8Взаимная заменяемость ω и t в преобразованиях ФурьеЕсли s(t) есть

функция, четная относительно t, то функция

Слайд 9Из п. 1 вытекает, что при четной функции s(t) можно

произвольновыбирать знак перед t в обратном преобразовании Фурье [см. (2.7)]:выберем

Слайд 10Распределение энергии в спектре непериодического сигналаИз (2.21): если то интегралКроме

того, Таким образом, в соответствии с (2.21) (2.24)Это соотношение, устанавливающее

Похожие презентации

Обратная связь

Что такое TheSlide.ru?

Слайд 1Некоторые свойства преобразования Фурье

Сдвиг сигналов во времени

Вводя новую переменную интегрирования

τ=t–t0, получаем

Сдвиг во времени функции s(t) на ± t0 приводит

Слайд 2Изменение масштаба времени
s2(t)=s1(nt), n > 1.

Вводя новую переменную интегрирования τ=nt, получаем

При

Слайд 3Смещение спектра сигнала
Применим (2.6) к произведению s(t)cos(ω0t+θ0)

Из выражения (2.16) вытекает,

Слайд 4Дифференцирование и интегрирование сигнала
*Производная функции еiωt равна iωеiωt.

(2.17)

Аналогичным образом можно

показать, что сигналу

соответствует спектральная плотность

(2.18)
*Данная операция законна только для

Слайд 5Сложение сигналов
Так как преобразование Фурье является линейным, очевидно, что
при сложении

Слайд 6

(2.20)
В частном случае ω=0

Заменяя х на ω, получаем
(2.21)

Здесь

Слайд 7Аналогично можно показать, что произведению двух спектров
соответствует функция времени s(t),

являющаяся сверткой функций
f(t) и g(t):

Последнее выражение особенно широко используется при

Слайд 8Взаимная заменяемость ω и t в преобразованиях Фурье
Если s(t) есть

произвольно
выбирать знак перед t в обратном преобразовании Фурье [см. (2.7)]:
выберем

Слайд 10Распределение энергии в спектре непериодического сигнала
Из (2.21): если

то интеграл

Кроме

того,

Таким образом, в соответствии с (2.21)

(2.24)
Это соотношение, устанавливающее