Неопределённый интеграл

замены переменной;
интегрирование по частям

первообразной для функции в промежутке

если в любой точке этого промежутка её производная равна :

Отыскание первообразной функции по заданной её производной или по дифференциалу есть действие, обратное дифференцированию, - интегрирование.
Совокупность первообразных для функции или для дифференциала называется неопределённым интегралом и обозначается символом .
Таким образом,

Здесь, - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение,
С – произвольная постоянная.

функции плюс произвольная постоянная:
Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению,

а производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:

Неопределённый интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов этих функций:

Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак неопределённого интеграла:

Если и - любая известная функция, имеющая непрерывную производную, то

могут представиться следующие случаи:
данный интеграл находится непосредственно по соответствующему

табличному интегралу;
данный интеграл после применения свойств 3) и 4) приводится к одному или нескольким табличным интегралам;
данный интеграл после элементарны тождественных преобразований над подынтегральной функцией и применения свойств 3) и 4) приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

можно вынести за знак интеграла и, используя формулу 1, получим:

Решение:
Используя

свойство 4) и формулу 2, получим:


Решение:
Используя свойства 3) и 4) и формулы 2 и 1, имеем:


Постоянная интегрирования С равна алгебраической сумме трёх постоянных интегрирования, так как каждый интеграл имеет свою произвольную постоянную

в преобразовании интеграла

в интеграл , который легко вычисляется по какой-либо из основных формул интегрирования.
Для нахождения интеграла заменяем переменную x новой переменной u с помощью подстановки . Дифференцируя это равенство, получим . Подставляя в подынтегральное выражение вместо x и dx их значения, выраженные через u и du, имеем


После того как интеграл относительно новой переменной u будет найден, с помощью подстановки он приводится к переменной x.

. Дифференцируя, имеем

, откуда . Подставив в данный интеграл вместо и их выражения, получим:


Заменив u его выражением через x, находим:

. Дифференцируя, имеем

,
откуда . Таким образом,



Решение:
Введём подстановку . Дифференцируя, имеем ,
откуда . Таким образом,

. Дифференцируя, имеем

,
откуда . Таким образом,




Задачи для самостоятельной работы:

, получим


откуда
(14)

С помощью этой формулы вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла , если последний окажется проще исходного.

тогда т.е. Используя формулу (14), получим:



Решение:
Пусть тогда
Используя формулу (14), получим:

тогда По формуле (14) получим:


В числителе подынтегральной функции последнего интеграла прибавим и вычтем и представим этот интеграл в виде суммы двух интегралов:


Последний интеграл находим по формуле (11):

из правой части в левую, получим:


или

окончательно



Задачи для самостоятельной работы: