Разделы презентаций


Неравенства и предельные теоремы

Содержание

НеравенстваНеравенство Маркова.Для любой случайной величины ξ и для любого ε > 0

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Теория вероятностей и математическая статистика
Неравенства и предельные теоремы
ЛЕКЦИЯ 8

Теория вероятностей и математическая статистикаНеравенства и предельные теоремыЛЕКЦИЯ 8

Слайд 2Неравенства
Неравенство Маркова.
Для любой случайной величины ξ и для любого ε

> 0

НеравенстваНеравенство Маркова.Для любой случайной величины ξ и для любого ε > 0

Слайд 3Доказательство.



Доказательство.

Слайд 4Неравенство Чебышёва
Для любой случайной величины ξ и для любого ε

>0

Неравенство Чебышёва Для любой случайной величины ξ и для любого ε >0

Слайд 5Доказательство
В неравенстве
Маркова (1)
подставим
вместо ξ
ξ –Mξ
и возьмем

k=2.

ДоказательствоВ неравенствеМаркова (1)подставимвместо ξ   ξ –Mξ и возьмем k=2.

Слайд 6Пример применения неравенства Чебышёва
Оценить вероятность того, что сл.в. отклонится от

своего матожидания
на величину
≥ 2σ,

где σ – средне –квадратичное отклонение.
Пример применения неравенства ЧебышёваОценить вероятность того, что сл.в. отклонится от своего матожидания  на величину  ≥

Слайд 7Неравенства
Неравенство Коши – Буняковского – Шварца.


НеравенстваНеравенство Коши – Буняковского – Шварца.

Слайд 8Сходимость по вероятности
Определение. Последовательность случайных величин ξ1, ξ2 ,…, ξn

сходится по вероятности
к сл. в. ξ, если для

любого ε > 0




Сходимость по вероятностиОпределение. Последовательность случайных величин ξ1, ξ2 ,…, ξn сходится по вероятности к сл. в. ξ,

Слайд 9Сходимость по вероятности
Обозначение:

Замечание:
«p» есть сокращение от «probability»


Сходимость по вероятностиОбозначение: Замечание:«p» есть сокращение от «probability»

Слайд 10Пример
Последовательность случайных величин
ξ1, ξ2 ,…, ξn задана законом:

ПримерПоследовательность случайных величин ξ1, ξ2 ,…, ξn задана законом:

Слайд 11Закон больших чисел (ЗБЧ)
Определение. Говорят, что к последовательности случайных величин

ξ1, ξ2 ,…, ξn с математическими ожиданиями Mξi = ai,

i=0,1,…,n, применим закон больших чисел, если


Закон больших чисел (ЗБЧ)Определение. Говорят, что к последовательности случайных величин ξ1, ξ2 ,…, ξn с математическими ожиданиями

Слайд 12
Смысл: среднее значение случайных величин стремится по вероятности к среднему

их матожиданий (то есть, к постоянной величине).
Замечание. ЗБЧ справедлив при

некоторых условиях. Различные группы условий определяют разные формы закона больших чисел.


Смысл: среднее значение случайных величин стремится по вероятности к среднему их матожиданий (то есть, к постоянной величине).Замечание.

Слайд 13ЗБЧ в форме Чебышёва
Теорема. Если для последовательности случайных величин {ξn}

с математическими ожиданиями Mξi=ai
и с

дисперсиями Dξi=σ2i, i=0,1,…,n, выполняются условия:
сл.в. {ξn} независимы;
дисперсии всех сл.в. {ξn} ограничены одним и тем же числом, (σ2i ≤ A для всех i),
то к {ξn} применим ЗБЧ, то есть
ЗБЧ в форме ЧебышёваТеорема. Если для последовательности случайных величин {ξn}  с математическими ожиданиями Mξi=ai

Слайд 14
Доказательство основано на неравенстве Чебышёва. Надо показать, что выполняется определение

сходимости по вероятности.

Доказательство основано на неравенстве Чебышёва. Надо показать, что выполняется определение сходимости по вероятности.

Слайд 15Доказательство ЗБЧ в форме Чебышёва

Доказательство ЗБЧ в форме Чебышёва

Слайд 17ЗБЧ в форме Бернулли
Теорема. Пусть осуществляется серия из n независимых

опытов, проводимых по схеме Бернулли с параметром p, пусть m

– число успехов, m/n – частота успехов в данной серии испытаний. Тогда


ЗБЧ в форме БернуллиТеорема. Пусть осуществляется серия из n независимых опытов, проводимых по схеме Бернулли с параметром

Слайд 18Доказательство ЗБЧ в форме Бернулли
Рассмотрим случайную величину ξi, равную числу

успехов в i –ом испытании, i = 1, …, n.

Случайные величины ξi имеют распределение Бернулли. Число успехов в n испытаниях, равное m, можно представить как сумму успехов в отдельных испытаниях.


Доказательство ЗБЧ в форме БернуллиРассмотрим случайную величину ξi, равную числу успехов в i –ом испытании, i =

Слайд 19ai = Mξi = p.
Таким образом,
(*) можно записать
в

виде (**),
что представляет
из себя
формулировку
ЗБЧ.

ai = Mξi = p.  Таким образом, (*) можно записатьв виде (**),что представляетиз себяформулировку ЗБЧ.

Слайд 20
ξi независимы и их дисперсии ограничены одним числом

(Dξi = pq < 1)
следовательно,
выполняются

условия ЗБЧ
в форме
Чебышёва.


ξi независимы и их дисперсии ограничены одним числом  (Dξi = pq < 1)  следовательно,

Слайд 21ЗБЧ в форме Пуассона
Теорема. Пусть осуществляется серия из n независимых

опытов, причем вероятность успеха в i –м опыте равна

pi. Пусть m – число успехов, m/n – частота успехов в данной серии испытаний. Тогда

ЗБЧ в форме ПуассонаТеорема. Пусть осуществляется серия из n независимых опытов, причем вероятность  успеха в i

Слайд 22Доказательство ЗБЧ в форме Пуассона
Рассмотрим случайную величину ξi, равную числу

успехов в i–м испытании, i =1, …, n.
Случайные

величины ξi имеют распределение Бернулли, ai = Mξi = pi.
Замечание. Единственное отличие от предыдущей теоремы – что величины имеют различные матожидания ai = Mξi = pi и различные дисперсии Dξi = piqi.
Доказательство проводится как в предыдущем случае.
Доказательство ЗБЧ в форме ПуассонаРассмотрим случайную величину ξi, равную числу успехов в i–м испытании, i =1, …,

Слайд 23ЗБЧ в форме Хинчина
Теорема. Для того, чтобы к последовательности
случайных величин

{ξn} был применим ЗБЧ,
достаточно, чтобы:
сл.в. {ξn} независимы;
сл.в. {ξn} одинаково распределены.
Тогда


ЗБЧ в форме ХинчинаТеорема. Для того, чтобы к последовательностислучайных величин {ξn} был применим ЗБЧ,достаточно, чтобы:сл.в. {ξn} независимы;сл.в.

Слайд 24Центральная предельная теорема (ЦПТ)
В теоремах этой группы выясняются условия, при

которых возникает нормальное распределение. Общим для этих теорем является следующее

обстоятельство: закон распределения суммы достаточно большого числа независимых случайных величин при некоторых условиях неограниченно приближается к нормальному.
Центральная предельная теорема (ЦПТ)В теоремах этой группы выясняются условия, при которых возникает нормальное распределение. Общим для этих

Слайд 25Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных сл. в.
Если случайные

величины {ξn} независимы, одинаково распределены и имеют конечные математические ожидания

Mξi=a и дисперсии Dξi=σ2,… i=0,1,…,n, то при n→∞

Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных сл. в. Если случайные величины {ξn} независимы, одинаково распределены и

Слайд 26Смысл ЦПТ для н.о.р.сл.в.
Закон распределения суммы достаточно большого числа независимых

одинаково распределенных случайных величин приближается к нормальному закону.
При числе

слагаемых около 10 закон распределения суммы уже близок к нормальному.
Смысл ЦПТ для н.о.р.сл.в.Закон распределения суммы достаточно большого числа независимых одинаково распределенных случайных величин приближается к нормальному

Слайд 27ЦПТ
Теорема Ляпунова. Если случайная величина ξ представляет собой сумму

большого числа независимых случайных величин ξ1, ξ2,…,ξn, влияние каждой из

которых на всю сумму равномерно мало, то величина ξ имеет распределение, близкое к нормальному, и тем ближе, чем больше n.
ЦПТТеорема Ляпунова.  Если случайная величина ξ представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин ξ1, ξ2,…,ξn,

Слайд 28Смысл ЦПТ в форме Ляпунова
Закон распределения суммы достаточно большого числа

независимых случайных величин, каждая из которых мало влияет на сумму,

приближается к нормальному закону.
При этом важно то, что законы распределения суммируемых случайных величин могут быть любыми, заранее не известными исследователю.
При числе слагаемых около 10 закон распределения суммы уже близок к нормальному.

Смысл ЦПТ в форме ЛяпуноваЗакон распределения суммы достаточно большого числа независимых случайных величин, каждая из которых мало

Слайд 29Зависимость от числа слагаемых

Зависимость от числа слагаемых

Слайд 30Практическое значение ЦПТ
Многие случайные величины можно рассматривать как сумму отдельных

независимых слагаемых.
Например:
ошибки различных измерений;
отклонения размеров деталей, изготовляемых

при неизменном технологическом режиме;
распределение числа продаж некоторого товара, объемов прибыли от реализации однородного товара различными производителями;
Практическое значение ЦПТМногие случайные величины можно рассматривать как сумму отдельных независимых слагаемых. Например: ошибки различных измерений; отклонения

Слайд 31
валютные курсы;
рост, вес животных и растений данного вида;
отклонение точки

падения снаряда от цели. Из ЦПТ следует, что они могут

рассматриваться как суммарный результат большого числа слагаемых и потому приближенно следовать нормальному закону распределения.
валютные курсы;рост, вес животных и растений данного вида; отклонение точки падения снаряда от цели. Из ЦПТ следует,

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика