Нестационарная теплопроводность Охлаждение бесконечного цилиндра

, теплоотдача осуществляется через боковую поверхность с постоянным коэффициентом теплоотдачи

. Температура среды

в процессе охлаждения не изменяется.

Распределение температуры в неограниченном цилиндре

температура есть функция

. Введем обозначение:

. Уравнение теплопроводности примет вид:

В начальный момент времени

Граничные условия при

при

при

Для решения уравнения теплопроводности используем метод разделения переменных Фурье, т.е. ищем решение в виде произведения двух функций:

Подставляя это выражение в уравнение и выполняя те же действия, как и для плоской пластины имеем:

быть решением уравнения Бесселя
или
где
– функции Бесселя I и II

рода нулевого порядка

Переходя к безразмерным координатам

, получим уравнение температурного поля в виде:

где

– функция Бесселя I рода первого порядка

Для определения температур на оси и поверхности цилиндра построены номограммы.
Также как для пластины,

для цилиндра равняется изменению его внутренней энергии за период полного охлаждения до

Но в расчетах используется количество теплоты, отнесенное к единице длины:

– удельная теплоемкость и плотность цилиндра.
Тогда за любой промежуток времени внутренняя энергия изменится:

где

где

(рис.) в среде с постоянной температурой и постоянным коэффициентом теплоотдачи

.

на всех его гранях.

Параллелепипед имеет размеры

К охлаждению параллелепипеда

. При

все точки имеют одинаковую температуру

Необходимо определить распределение температур в его объеме для любого момента времени и среднюю температуру по объему.
Поместим начало координат

в центр параллелепипеда

и запишем уравнение теплопроводности в виде:

Граничные условия:
на поверхности при

в центре при

пересечением соответственно трех взаимно перпендикулярных неограниченных пластин конечной толщины, цилиндра

и пластины. В теории теплопроводности используется теорема перемножения решений: безразмерная температура тела конечных размеров равна произведению безразмерных температур одномерных тел, пересечением которых образовано тело конечных размеров. Как было сказано, параллелепипед образован в результате пересечения трех взаимно перпендикулярных безграничных пластин конечными толщинами

Следовательно, для него и решение можно представить, как произведение безразмерных температур для трех безграничных пластин:

где

Данное решение удовлетворяет и дифференциальному уравнению, и граничным условиям. Безразмерная температура для каждой из пластин рассчитывается как функция безразмерной координаты, чисел Био и Фурье, как представлено выше.
Средняя безразмерная температура параллелепипеда определяется следующим образом:

случаю условиях безразмерное поле температуры может быть записано в виде:
Если

рассматривать цилиндр конечной длины

и диаметром

(рис.) как результат пересечения бесконечного цилиндра диаметром

и пластины толщиной

, то безразмерная температура

К охлаждению цилиндра конечной длины

будет определена следующим образом:

Средняя безразмерная температура цилиндра определяется следующим образом:

состояния материала. При этом теплофизические характеристики материала изменяются скачкообразно, и

при фазовых переходах происходит выделение или поглощение теплоты. Решение подобного рода задач имеет большое практическое значение в строительной теплотехнике и в других прикладных дисциплинах. В большинстве случаев решения задач о движении границы между жидкостью и твердым телом проводят по методу Стефана.
Рассмотрим плоскую задачу (рис.), когда поверхностью раздела является фазовая плоскость

Пусть температура фазового перехода

При фазовом переходе поглощается некоторое количество теплоты – теплоты фазового перехода.

К задаче о промерзании

За период времени

граница

переместится от

к

За этот промежуток затвердевшая масса составит –

количество выделившейся теплоты –

( )

Тогда уравнение теплового баланса примет вид:

– теплота фазового перехода

Здесь индексы 1 и 2 относятся соответственно к жидкой и твердой фазам.

При

получим условия на границе раздела:

вносимую жидкой фазой, второй – теплоту, уходящую в твердую фазу,

а правая часть – теплоту фазового перехода. Граница промерзания

, величина

– это скорость движения фронта промерзания.

Запишем уравнения теплопроводности для жидкой (талой) и твердой (мерзлой) фазы (грунта):

при

при

Если рассматривать процесс замерзания воды, то при

Будем искать решение в виде:

т.е фронтом промерзания будет изотерма нулевой температуры.

где

– автомодельная переменная.

получим из следующих соображений:

Значения

обозначение:
, так, что
. Отсюда получим:
или
Т.к.
, то
здесь

Запишем уравнения теплопроводности для мерзлого и талого грунта в следующем виде:

Граничные и дополнительные условия:

Тогда уравнение теплового баланса примет вид:

Значения постоянных интегрирования определяются следующим образом:

математической теории теплопроводности, развитой Фурье, к изучению явлений природы.
Температура на

поверхности земли носит ярко выраженную суточную и годовую периодичность. Обратимся к задаче о распространении периодических температурных колебаний в почве, которую будем рассматривать как однородное полупространство

.Если подобные колебания продолжаются достаточно долго, то влияние начального распределения температуры на ход процесса исчезает. В теле устанавливается квазистационарное состояние, при котором температура в каждой точке совершает гармонические колебания около неизменного среднего значения.

Пусть температура

поверхности

полуограниченного тела изменяется по гармоническому закону:

где

– среднее значение температуры поверхности;

– амплитуда колебаний температуры;

– соответственно, текущее время и период изменения.

Температурное поле может быть записано в следующем виде:

получим:
Тогда:
Учитывая бесконечные размеры грунта в 2-х направлениях,

задачу можно считать одномерной, т.е.

Тогда :

И далее выполним ряд преобразований:

Интегрируя, получим:

колебаний которой экспоненциально убывает с глубиной грунта. На расстоянии, равном

одной длине волны

( )

, где

– циклическая частота колебаний температуры;

– количество колебаний в ед.вр-ни

Температурные колебания в почве происходят со сдвигом фазы. Время

запаздывания максимумов (минимумов) температуры в почве от соответствующих моментов на поверхности пропорционально глубине:

амплитуда составляет менее 0,2% от

закон запаздывания

Колебания температуры поверхности отстают по фазе на
от колебаний плотности

теплового потока

формы, можно видеть их одинаковую структуру, которая представляет собой сумму

бесконечного ряда. Члены этого ряда расположены по быстро убывающим экспоненциальным зависимостям. Запишем решение для безразмерной пластины:

где

При этом:

и

Очевидно, что подобное уравнение описывает температурные поля и для тел других геометрических форм. При малых значениях

в диапазоне от

до некоторого значения

распределение температуры внутри тела и скорость изменения температуры в различных точках тела зависят от начального распределения температуры. В этом случае температурное поле определяется как первым, так и последующими членами ряда. Этот начальный период носит название неупорядоченного периода. С увеличением

последующие члены ряда быстро уменьшаются, т.е. влияние начального распределения температуры становится несущественным, и процесс определяется условиями теплообмена на границе тело – среда, физическими свойствами, геометрической формой и размерами тела. Во втором периоде, получившем название регулярного теплового режима, температурное поле описывается только первым членом ряда:

линейная зависимость
.

Зависимость

Продифференцировав по
, получим:
Отсюда видно, что относительная

скорость изменения температуры равна постоянному значению, которое не зависит ни от времени, ни от координат точки поля. Величина

называется темпом охлаждения (с-1). Для определения

воспользуемся методом теплового баланса. Запишем уравнение изменения внутренней энергии:

и уравнение количества теплоты, отводимой в окружающую среду:

где

– средняя температура по объему

– средняя температура по площади поверхности тела

– средний коэффициент теплоотдачи.

Приравняв эти выражения и обозначив

(полная теплоемкость тела), получим:

охлаждения.
Выражение определяет первую теорему Кондратьева: темп охлаждения однородного и

изотропного тела при конечном значении коэффициента теплоотдачи пропорционален коэффициенту теплоотдачи, поверхности тела и обратно пропорционален полной теплоемкости.

Рассмотрим зависимость

от числа

. При

что соответствует внешней задаче, распределение температуры тела не зависит от его размеров и физических свойств, т.е.

и, следовательно

При

, что соответствует внутренней задаче, распределение температуры

только размерами и физическими свойствами тела. В связи с большой интенсивностью теплообмена на поверхности температура тела на поверхности принимает постоянное значение, равное температуре окружающей среды. Следовательно

определяется

. Таким образом,

изменяется в интервале от 0 до 1. Отсюда следует 2-я теорема Кондратьева: при

( )

темп охлаждения становится прямо пропорционален коэффициенту температуропроводности тела:

- коэффициент пропорциональности, зависящий от геометрической формы и размеров тела.

Следовательно, для всех значений
величина
изменяется от 0 до

.

Т.к. при

можно принять

, то из уравнения получим:

или

Отсюда следует, что для пластины

теплопроводности при нестационарном режиме теплообмена делятся на аналитические и численные

(приближенные).
Аналитические методы основаны на получении решения непосредственным интегрированием дифференциальных уравнений. В большинстве случаев уравнения теплопроводности есть дифференциальные уравнения второго порядка, которые решаются наряду с методом разделения переменных Фурье, методами математической физики с помощью преобразований неоднородных граничных условий в однородные, методом разложения неоднородных уравнений по собственным функциям, методом использования интегральных и т.д. Эти методы подробно изложены в литературе по математической физике.
Из численных методов наиболее известными являются метод конечных элементов и метод конечных разностей.
Чаще в инженерной практике применяется метод конечных разностей. Метод заключается в замене в дифференциальном уравнении теплопроводности производных искомой температуры приближенными соотношениями между конечными разностями в отдельных узловых точках температурного поля. В результате получается уравнение в конечных разностях, т.е. приобретает вид, в котором будущая температура в рассматриваемой узловой точке является функцией времени, действительной температуры в данной точке и действительной температуры в соседних точках. Эти уравнения составляются для всех узловых точек области, включая граничные. В результате получается замкнутая система алгебраических уравнений, решаемая численно на компьютере.