Оболочки вращения

вращения плоской кривой относительно оси, лежащей в плоскости этой кривой.

Такая кривая называется меридианом. Меридианы являются линиями главной кривизны и их принимают в качестве координатных линий.

Параллели — окружности, образованные пересечением срединной поверхности оболочки с плоскостями, перпендикулярными ее оси, — представляют семейство других координатных линий. В качестве криволинейных координат, отсчитываемых вдоль меридианов и параллелей, возьмем углы α и β: α — угол, который нормаль образует с осью оболочки, β — угол, отсчитываемый вдоль параллели от некоторой заданной меридиональной плоскости
Первый главный радиус кривизны поверхности вращения R1 равен радиусу кривизны меридиана. Второй главный радиус R2 равен отрезку нормали к поверхности до оси вращения, т. е. согласно рисунку

где r — радиус параллели.

Геометрические соотношения

следует, что, с одной стороны, dsα=R1∙dα, а с другой —

dsα=dr/cosα, т.e. R1∙cosα∙dα=dr. Подставляя сюда dr, получим:

Формула для линейного элемента поверхности вращения имеет вид:

т.е.

Осевая координата х связана с углом α следующим соотношением

из общих уравнений теории оболочек, если принять, что изгибная жесткость

оболочки D=0. Однако, учитывая практическую важность безмоментной теории, эти уравнения выводятся традиционным путем в результате непосредственного анализа равновесия и геометрии деформирования оболочки.
Итак, рассмотрим тонкую оболочку вращения, считая, что она находится в безмоментном напряженном состоянии.

Выделим бесконечно малый элемент оболочки, находящийся под действием безмоментных усилий Να, Νβ, Ναβ и заданной поверхностной нагрузки с компонентами qα, qβ, qγ, направленными вдоль координатных линий α, β и нормали. Составим уравнения равновесия, т. е. приравняем нулю суммы проекций сил, действующих на элемент. В направлении касательной к меридиану получим:

членов обусловлено наличием малого угла cosα∙dβ между боковыми гранями элементов.
Сумма

проекций действующих сил на нормаль к поверхности:

где учитывается угол между усилиями Nα на нижней и верхней гранях, равный π-dα, и угол между усилиями Nβ на боковых гранях, равный π — sinα∙dβ.

записываются в виде:
Примечательно, что безмоментное напряженное состояние оболочки является локально

статически определимым. Однако в целом для оболочки задача может оказаться статически неопределимой, если для определения произвольных функций интегрирования или произвольных констант потребуется использовать геометрические граничные условия.

меридиана и параллели (рис. а). До деформации их длины равны

и После деформации, которая характеризуется перемещениями u, v, w, длины этих элементов будут (см. рис. б, в):

Деформации и перемещения

где — радиальное перемещение точек оболочки

соответственно имеют вид:
В выражении для γ2 первое слагаемое представляет собой

угол поворота элемента параллели за счет разности перемещений его концов; второе слагаемое обусловлено поворотом этого элемента относительно оси оболочки на угол v/r.

Деформации вводятся следующим образом:

После подстановки:

а)
Перемещение точек оболочек в осевом направлении определяется соотношением
Усилия связаны с

деформациями законом Гука, т. е.

Поскольку моменты в рассматриваемой оболочке отсутствуют, напряжения распределены равномерно по толщине оболочки и связаны с усилиями следующим образом:

уравнений включают столько же неизвестных — три усилия Nα, Nβ,

Nαβ, три деформации εα, εβ, γαβ и три перемещения и, v и w. Уравнения равновесия могут быть проинтегрированы независимо от остальных, по найденным из них усилиям с могут быть определены деформации и в результате интегрирования геометрических соотношений — перемещения. На практике вместо перемещений и и w часто используются радиальное и осевое перемещения иr и ux которые выражаются через и и v.

вращения является осесимметричное нагружение, при котором поверхностные и краевые силы

не зависят от окружной координаты β и qβ=0. При этом в оболочке вращения отсутствует окружное перемещение v, а и и w так же, как и ненулевые силовые факторы Nα, Nβ, Qα, Mα, Mβ, зависят только от переменной α. В условиях осесимметричного нагружения работают баки, баллоны давления, резервуары и т. д. Метод расчета таких оболочек строится по аналогии с решением для цилиндрической оболочки, т. е. напряженное состояние разделяется на безмоментное и изгибный краевой эффект, локализующийся вблизи краев. Такое разделение для оболочки вращения произвольной формы является приближенным, однако для удлиненных в осевом направлении оболочек оно позволяет построить решение, обладающее приемлемой для практических расчетов точностью.

осесимметричной деформации принимает следующий вид:
Радиальное и осевое перемещения определяются
угол

поворота нормали к срединной поверхности

В уравнениях принято qα = q, qγ = р, ( )' обозначает производную по α.

для Νβ в первое уравнение системы. Непосредственной проверкой можно убедиться

в том, что уравнение после подстановки может быть записано в следующей форме:

Интегрируя, получим:

Постоянная интегрирования найдена из статического условия при α=α0, согласно которому ,

где Х0 — осевая сила, приложенная в сечении α=α0.

Полагая в полученных зависимостях q=0, р=const и учитывая, что

получим:

Для замкнутой в вершине оболочки r0=0. При отсутствии осевой силы(Х0=0) из равенств окончательно будем иметь

Формулы определяют усилия в замкнутых баллонах давления. В частности, для цилиндрической части баллона , и ; для сферического баллона и .

Деформации безмоментной оболочки вращения определяются из закона Гука

Для определения перемещений воспользуемся геометрическими соотношениями системы уравнений. Из второго соотношения с учетом имеем

этого уравнения имеет вид:
где
С0 — произвольная постоянная.
Из выражений

для u и w получим:

Радиальное и осевое перемещения, а также угол поворота согласно имеют вид:

виду:
Постоянная С0 определяется из геометрического граничного условия на закрепленном крае

оболочки, которое в соответствии с безмоментной теорией может быть задано только для тангенциального перемещения и.

Если безмоментная оболочка вращения в виде пояса закреплена по тангенциальным смещениям на обоих торцах (рис. а), то в этом случае продольная реакция на одном из торцов, например на нижнем Х0, является статически неопределимой и определяется совместно с константой С0 из заданных геометрических граничных условий .
Если сила Х0 задана (см. рис. б), постоянная С0 определяется из условия . В случае, когда оболочка является незакрепленной, например баллон под действием внутреннего давления, константа С0 является неопределенной — она представляет перемещение оболочки вдоль оси как недеформируемого твердого тела.

оно используется как приближенное решение на большей части поверхности оболочки

вращения при осесимметричном нагружении, если радиус r(α) и нагрузки q(α), р(α) являются достаточно плавными функциями.

сопрягается с другими оболочками вращения, круговыми шпангоутами или нагружается осесимметричными

нагрузками, граничные условия на практике редко соответствуют безмоментным условиям. Поэтому вблизи таких краев оболочка обычно подвергается изгибу.
Дифференциальные уравнения изгиба произвольной оболочки вращения при осесимметричном нагружении имеют переменные коэффициенты и их точные решения могут быть получены только в некоторых частных случаях в специальных функциях (например, для сферы и конуса).
В случае тонких непологих оболочек при плавном изменении радиуса и нагрузок q, р изгиб в основном происходит вблизи края и по мере удаления от края напряженное состояние приближается к безмоментному. Поэтому безмоментное решение приближенно используется в качестве частного решения неоднородной задач, и по аналогии с w0 в решении для цилиндрической оболочки. При этом однородное решение, описывающее изгиб оболочки, имеет характер затухающего краевого эффекта типа wK .
Для простоты и краткости изложения краевой эффект для тонкой непологой оболочки вращения рассмотрим на основе упрощающих допущений, которые примем, опираясь на аналогию с краевым эффектом для рассмотренной ранее цилиндрической оболочки.

решения (обозначаем его верхним индексом «0») и однородного решения в

виде краевого эффекта (с индексом «к»):

В изгибных силовых факторах естественно, фигурируют только составляющие краевого эффекта.

При описании краевого эффекта в качестве координаты будем рассматривать расстояние s, отсчитываемое от края оболочки вдоль меридиана. Вместо угла α введем угол ψ, отсчитываемый от края, при этом ds = R1∙dψ.

Введение координаты s и угла ψ вместо sα и α позволяет одинаковым образом описать краевой эффект как на нижнем, так и на верхнем краях, причем на нижнем крае ds=dsα, ψ=α, а на верхнем крае ds=-dsα, ψ=π-α.
Оболочку в районе рассматриваемого края будем считать непологой, если |ctg ψ|<3.

и поэтому изменением радиусов кривизны оболочки и угла ψ в

пределах этой зоны можно пренебрегать, принимая их значения равными значениям на крае.
В случае оболочки типа пояса, имеющей два края, краевые эффекты на этих краях будем рассматривать независимо как затухающие, считая, что ширина зоны каждого из них меньше расстояния между краями вдоль меридиана.

Получим уравнения равновесия. Выделим элемент оболочки, показанный на рисунке. Составим уравнения проекций сил в направлении нормали и моментов относительно касательной к верхней грани элемента, выделенного из оболочки в зоне краевого эффекта:

Здесь внешние нагрузки q, р и безмоментные усилия , не учитываются, так как они находятся в равновесии.

получим

,

Из уравнения равновесия отсеченной части оболочки, учитывая, что внешняя нагрузка уравновешивается усилиями Ν0α, найдем

откуда

В случае непологой оболочки (|ctgψ|< 3) из полученной зависимости следует, что ΝKα и QKα являются величинами одного порядка. Поперечная сила на основании второго уравнения равновесия выражается через изгибающие моменты, в результате чего она зависит от изгибной жесткости оболочки D, пропорциональной h3. Напомним, что толщина h считается малой. Поэтому для тонких оболочек усилия ΝKα, так же как и QKα, можно считать пренебрежимо малым по сравнению с ΝKβ, которое пропорционально h.

можно предположить, что тангенциальное перемещение uK является пренебрежимо малым по

сравнению с нормальным перемещением wK. На основании этого примем следующие допущения:
Определим угол поворота в плоскости меридиана и изменения главных кривизн при изгибной деформации оболочки:

где R+1, R+2 — радиусы кривизн деформированной срединной поверхности оболочки с учетом поворота нормали на малый угол ϑKα. Изменением этих радиусов за счет деформаций удлинения срединной поверхности пренебрегаем.

быстрой изменяемости решения по переменной s. Из выражения

следует, что

для цилиндрической оболочки составляющая wK пропорциональна e-kα, т. е. при дифференцировании по α она умножается на -k. Если k велико, то можно утверждать, что функции, описывающие краевой эффект, при дифференцировании существенно возрастают по абсолютной величине, т. е. в уравнениях краевого эффекта можно пренебречь низшими производными по сравнению с высшими. Из этого, в частности, следуёт, что согласно полученным зависимостям
и общие соотношения между моментами и изменениями кривизн


можно приближенно записать с учетом полученных выше зависимостей в виде

Выведем теперь уравнение краевого эффекта. В соответствии с принятыми выше допущениями в первом уравнении равновесия пренебрегаем членами, содержащими и при этом считаем, что у непологой оболочки ctgψ не является большой величиной, а радиус R1 не является малым по сравнению с радиусом R2.

содержащим

по сравнению с первым членом, представляющим производную от быстроизменяющейся функции. Тогда с учетом полученных выражений для моментов из второго уравнения равновесия будем иметь

с учетом указанных выше допущений получим

Запишем выражения для окружной деформации εKβ. Из равенств
и с учетом принятых допущений и формулы имеем

Приравнивая получим

где

Здесь радиус R2 в пределах зоны краевого эффекта можно считать постоянным и равным его значению на рассматриваемом крае. Отметим, что полученное линейное ДУ аналогично однородному уравнению, соответствующему уравнению для цилиндрической оболочки. Затухающая часть решения аналогична выражению для затухающей части цилиндрической оболочки, т. е.

Используя дифференциальные зависимости находим

приводятся к радиальной силе ТK см. верхний

рисунок

Радиальное перемещение за счет краевого изгиба определяется приближенной формулой, следующей из

Положительные направления кинематических и силовых факторов на краях оболочки показаны на нижнем рисунке.
Произвольные постоянные С1 и С2, входящие в полученные равенства удобно выразить через радиальное перемещение и угол поворота на крае оболочки s=0. Полагая в полученных уравнениях s=0, , получим

Все величины с чертой относятся к краю оболочки.
Далее находим

где

края оболочки. Для безмоментной оболочки D=0, cij=0,
Погрешность формул, полученных на

основе приближенного решения для краевого эффекта, зависит от величины и не превышает 5 %, если на рассматриваемом крае .
В случае цилиндрической оболочки (ψ=π/2) полученные формулы являются точными. Практически для тонких оболочек (R2/h>100) построенным приближенным решением можно пользоваться при значениях краевого угла ψ в пределах 20°<ψ<160°. Ширина зоны краевого эффекта примерно равна π/k, что при μ=0,3 составляет .

оболочки вращения записывается в виде суммы безмоментного решения и краевого

эффекта. Оно содержит три произвольные постоянные С0, С1, С2, которые должны быть определены из граничных условий или условий сопряжения на крае оболочки. В качестве граничных условий на крае должны быть заданы две компоненты перемещений и угол поворота в меридиональной плоскости или соответствующие имраспределенные силы и момент, например, u или Nα, w или Qα, ϑα или Mα.
Приведем основные типы граничных условий: жесткое защемление – u=w=ϑα=0; шарнирное закрепление – u=w=Mα=0, при этом вместо условий u=w=0 можно использовать условия ur=ux=0.
Условия жесткого соединения оболочек по краям записываются в виде трех геометрических условий совместности перемещений и углов поворота и трех статических условий, на основании которых реакции (две силы и момент) на соединяемых краях должны быть равны по величине и противоположны по направлению.

условия записываются в виде уравнений равновесия соединительного шпангоута под действием

сил и моментов, в число которых включаются реакции со стороны оболочек Nα, Т и М.

Реакции и можно выразить через радиальное перемещение и угол поворота края оболочки по формулам, аналогичным полученным в предыдущем вопросе. Суммарные величины и складываются из слагаемых, представляющих безмоментное решение и краевой эффект .

,

Значения определяются по формулам безмоментного решения, полученным ранее

В формулах за положительное направление принимается направление от края оболочки. В связи с тем, что оно совпадает с координатой sα, соответствующей безмоментному решению только для нижнего края, во втором равенстве для нижнего края следует принять знак «+», а для верхнего края — знак «-».

при рассмотрении краевого эффекта,


знак «—» при соответствует нижнему, а

знак «+» — верхнему краю оболочки.
Радиальное перемещение и угол поворота на крае оболочки, связанной со шпангоутом, исходя из геометрических условий сопряжения выражают через радиальное перемещение в центре тяжести поперечного сечения шпангоута wш и угол поворота этого сечения . В итоге при любом числе сопрягаемых со шпангоутом оболочек, если они являются статически определимыми относительно безмоментных усилий , задача сводится к двум линейным алгебраическим уравнениям относительного wш, ϑш. После их определения находятся , и константы C1, C2 для каждой из сопрягаемых оболочек.
Для определения константы С0 ,входящей в уравнения безмоментного состояния ставится граничное условие или условие сопряжения для осевого перемещения uх, которое равно

где – полное радиальное перемещение.

шпангоут, который свободно оперт по контуру радиуса r0 . (см.

рис) Будем считать, что на опорном контуре вертикальное смещение равно нулю, т. е. u0=0. Распределенную вертикальную силу Р0 находим из уравнения равновесия всей системы. Затем для каждой из

оболочек 1 и 2 записываются решения по безмоментной теории и теории краевого эффекта. Геометрические условия жесткого сопряжения оболочек со шпангоутом имеют вид:

Уравнения равновесия радиальных сил и моментов, действующих на шпангоут, записываются в форме

Здесь Fш и Iш — площадь и момент инерции поперечного сечения шпангоута относительно радиальной оси, проходящей через его центр тяжести; множители в виде отношения радиусов (r1/Rш и другие) вошли в уравнения в силу того, что соответствующие распределенные силы и моменты ( и другие) отнесены к единице длины тех линий, на которых они приложены.

нагрузку и распределенный момент, которые возникают за счет реакций безмоментныx

оболочек (от известных меридиональных усилий ) и внешней нагрузки, действующей не шпангоут. В рассматриваемом случае имеем:

Уравнение проекций сил в направлении оси оболочки

позволяет определить реакцию P0.

для каждой из оболочек и геометрических соотношений приводятся к

виду

Коэффициенты уравнений в рассматриваемом случае будут равны

Здесь B11, B12=B21 и B22 представляют собой коэффициенты жесткости шпангоута с учетом присоединенных оболочек. Эти коэффициенты легко обобщаются путем суммирования на случай произвольного числа оболочек (в формулах коэффициенты жесткости cij различных оболочек отмечаются верхним индексом).

с его радиусом. В таких случаях при приближенных расчетах можно

пренебречь всеми эксцентриситетами, положив в полученных уравнениях r=r1=r2=Rш, a1=a2=b1=b2=0. Шпангоут при таком упрощении по существу рассматривается как упругая линия в виде окружности радиуса
После решения уравнений для каждой из оболочек определяются константы C1, С2, и С0.

распространенным расчетным случаем является антисимметричное нагружение, вызывающее общий изгиб оболочки.

Такое нагружение характерно, например, для отсеков летательных аппаратов.
Рассмотрим тонкую оболочку вращения (рис. а), находящуюся под действием поверхностных нагрузок вида

Пусть распределенные нагрузки (или реакции) на краях оболочки заданы аналогичным образом, т. е. меридиональные усилия, поперечные усилия и изгибающие моменты распределены вдоль краев по закону cosβ, а окружные усилия — по закону sinβ. Все эти нагрузки в каждом поперечном сечении х = const приводятся к равнодействующей поперечной силе Y и изгибающему моменту L, вызывающим общий изгиб и сдвиг оболочки как балки (см. рис. б).

направлении достаточно плавно, то при антисимметричном нагружении так же, как

и при осесимметричном, оболочка в основном испытывает безмоментное напряженное состояние. На краях, где оболочка нагружается распределенными поперечными силами и изгибающими моментами, а также в местах сопряжения различных оболочек возникает быстро затухающее моментное напряженное состояние типа краевого эффекта, который изменяется в окружном направлении пропорционально cosβ.
На основании этого приближенное решение задачи при антисимметричном нагружении оболочки вращения может быть получено так же, как и при осесимметричном нагружении, в виде суммы безмоментного решения и моментного решения в виде краевого эффекта.

следует из уравнений равновесия безмоментной оболочки вращения








распределенные усилия изменяются

в окружном направлении следующим образом:

где — неизвестные функции, которые можно определить, интегрируя уравнения равновесия по α. Однако проще составить уравнения равновесия отсеченной части оболочки.

отсеченную часть оболочки (см. рис. ), имеют вид:

где Y0

и L0 — равнодействующие распределенных нагрузок, приложенных на нижнем крае оболочки; х — координата рассматриваемого сечения; x1 — текущая координата (х0 <х1< х, dx1=R1·sinα·dα).

Уравнения равновесия отсеченной части оболочки (рис. б)

Эти уравнения являются интегралами первых двух дифференциальных уравнений
равновесия

определяются амплитудные функции распределенных усилий и

Усилие Nβ затем находится из третьего уравнения равновесия

Деформации оболочки определяем из закона Гука

где

Из геометрических соотношений, связывающих деформации и перемещения в оболочках вращения, получим

Из первого уравнения второй группы выразим w1, подставим w1 во второе уравнение и поделим его на sinα ; третье уравнение продифференцируем по α. В результате этих преобразований получим

последнее уравнение можно записать в виде
где
Интегрируя полученное уравнение получим
После этого

из третьего и первого уравнений геометрических соотношений найдем

представляют перемещения недеформированной оболочки как твердого тела за счет поворота

на угол А1 и смещения A2 в сечении х=0. Если оболочка закреплена на крае безмоментным образом (только по тангенциальным перемещениям), то константы А1 и А2 определяются из условий v1=0, и1=0 на этом крае. В общем случае, когда условия закрепления или сопряжения не являются безмоментными, константы А1 и А2 определяются совместно с произвольными константами, входящими в моментную часть решения.

в окружном направлении медленно (по закону cos β), то антисимметричное

(моментное) состояние по характеру его изменения в меридиональном направлении очень близко к осесимметричному краевому эффекту. На основании этого в районе края, где при антисимметричной деформации оболочка испытывает изгиб, приближенное общее решение представляется в виде суммы безмоментного решения и краевого эффекта, т. е.

где wK берется в таком же виде, как и при осесимметричной деформации

Дуга s отсчитывается от рассматриваемого края (ds=R1·dψ, ψ=α — на нижнем крае и ψ=π-α – на верхнем крае).

Изгибающие моменты и усилия в зоне краевого эффекта

где определяются по тем же формулам, что и для осесимметричного нагружения

A2, входящими в безмоментное решение, из граничных условий на крае.

При этом константы А1, A2 определяются для оболочки в целом, а константы С1 и С2 —только на рассматриваемом крае. Всего на каждом крае должно быть задано четыре граничных условия, например, для и или Να, v или Ναβ, w или Qα, ϑα или Μα.

В качестве примера запишем граничные условия на краях оболочки, жестко закрепленной при х=l и нагруженной при х=0:
а) тангенциальной сдвигающей нагрузкой q0·sinβ
б) радиальной нагрузкой q0·cosβ (см. рис.).
В обоих случаях эти нагрузки приводятся к одной и той же равнодействующей силе Y0=π·r0·q0. Следовательно, вдали от края х=0 напряженные состояния оболочки будут одинаковыми.

Граничные условия на краях оболочки записываются в виде: при х=l: и=0, ν=0, w=0, ϑα=0; при х=0 в случае (a): Nα=0, Nαβ=q0·sinβ, Qα=0, Мα=0
в случае (б): Nα=-q0·cosα0·cosβ, Ναβ=0, Qa= q0·sinα0·cosβ, Mα=0.

В случае «а» напряженное состояние оболочки является безмоментным, за исключением зоны краевого эффекта вблизи закрепленного края х=l. В случае «б» возникает также изгибный краевой эффект вблизи края х=0.

с другом так же, как и при осесимметричной деформации, вместо

перемещений и, w удобнее рассматривать радиальное и осевое перемещения иr и их, которые связаны с и и w формулами, полученными в общей теории оболочек




При этом вместо усилий и вводится их равнодействующая — радиальное усилие Тк, которое наряду с моментом Мα выражается через перемещение и угол поворота на рассматриваемом крае оболочки по формулам




где и при антисимметричной деформации заменены на и