Обыкновенные дифференциальные уравнения

производные (или дифференциалы) этой функции.
 
Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую

Общим решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y = (x, C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.

вообще говоря дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.
 
2) При каких-

Решение вида у = (х, С0) называется частным решением дифференциального уравнения.
 
Задачей Коши (Огюстен Луи Коши (1789-1857)- французский математик) называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = (х, С0), удовлетворяющего начальным условиям у(х0) = у0.

1- го порядка)
Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области

Интегралом дифференциального уравнения называется любое уравнение, не содержащее производных, для которого данное дифференциальное уравнение является следствием.

Интегральной кривой называется график y = (x) решения дифференциального уравнения на плоскости ХОY.

которого условие единственности Коши (см. Теорема Коши. ) не выполняется,

записать в виде

Перейдем к новым обозначениям
Получаем:

После нахождения соответствующих интегралов получается общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С, а, соответственно, и частное решение.

части, берется по частям :


 




это есть общий интеграл исходного дифференциального

Пример. Найти решение дифференциального уравнения
при условии у(2) = 1.



при у(2) = 1 получаем

Итого: или - частное решение;

Проверка: , итого

- верно

= 0, то

Итого, частный интеграл:

Пример. Решить уравнение

интеграл:


Пример. Решить уравнение

Преобразуем заданное уравнение:



Получили общий интеграл данного дифференциального

у0. Тогда:





Получаем частное решение

измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого

уравнению с разделяющимися переменными.
Рассмотрим однородное уравнение
Т.к. функция f(x, y)

.
Таким образом,

противном случае теряет смысл исходное дифференциальное уравнение, содержащее

Разделяем переменные:

Интегрируя, получаем:

Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение:

которые с помощью определенных подстановок могут приведены к однородным.

Это уравнения

у, коэффициенты которого являются функциями от y’.
Для нахождения общего решение

Дифференцируя это уравнение,c учетом того, что

получаем:

Если решение этого (линейного относительно х) уравнения есть

то общее решение уравнения Лагранжа может быть записано в виде:

функции и аргумента вида:
Вообще говоря, уравнение Клеро является частным случаем

С учетом замены

уравнение принимает вид:

Это уравнение имеет два возможных решения:

или

семейство прямых линий.

Во втором случае решение в параметрической форме выражается

Исключая параметр р, получаем второе решение F(x, y) = 0. Это решение не содержит произвольной постоянной и не получено из общего решения, следовательно, не является частным решением.
Это решение будет являться особым интегралом.

точке рассматриваемой области называется полем направлений.

Определение. Линии равного наклона в

x

y

A

a

b

S

позволяют найти решение в виде аналитической функции, однако эти методы

решения уравнений высших порядков. Этот метод дает возможность сравнительно легко

некотором промежутке
a < x < b, то решение может

решение Y может быть получено из общего решения, т.к. является

На практике удобно применять метод вариации произвольных постоянных.
Для этого сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения в виде:

искомые функции, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка.
Определение. Система дифференциальных

(1)

Для примера можно сказать, что график решения системы двух дифференциальных уравнений представляет собой интегральную кривую в трехмерном пространстве.

функции
…

, то для любой точки

этой области существует единственное решение

системы дифференциальных уравнений вида (1), определенное в некоторой окрестности точки х0 и удовлетворяющее начальным условиям

Определение. Общим решением системы дифференциальных уравнений вида (1) будет совокупность функций

,

, …

, которые при подстановке в систему (1) обращают ее в тождество.

(n = 3). Все нижесказанное справедливо для систем произвольного порядка.
Определение.

(2)

Решения системы (2) обладают следующими свойствами:
1) Если y, z, u – решения системы, то Cy, Cz, Cu , где C = const – тоже являются решениями этой системы.
2) Если y1, z1, u1 и y2, z2, u2 – решения системы, то y1 + y2, z1 + z2, u1 + u2 – тоже являются решениями системы.
Решения системы ищутся в виде:

(2) и перенеся все члены в одну сторону и сократив

Для того, чтобы полученная система имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, т.е.:

В результате вычисления определителя получаем уравнение третьей степени относительно k. Это уравнение называется характеристическим уравнением и имеет три корня k1, k2, k3. Каждому из этих корней соответствует ненулевое решение системы (2):

(2):